探求多元等式條件的最值有妙招

孫國濤

【摘要】用基本不等式解決某些含有多元等式條件的最大值或最小值問題是一種常見手段，但有些題目的結構復雜，條件隱晦，會出現相對比較難的題目，需要有扎實的基本功和一定的解題技巧，那么這些能力的來源是接受規范的解題方法指導和有一定量的典型題目的訓練，本文從介紹常用解題方法的角度，以題例說方法，希望給讀者朋友有一點啟發.

【關鍵詞】多元等式;解題方法;數學解題

1 配湊等式

例1 已知a，b為實數，且a>0，b>-1，若a+b=1，求a2+2a+b2b+1的最小值.

分析 因為a2+2a+b2b+1=a+2a+b2-1+1b+1=a+2a+b-1+1b+1=2a+1b+1

=12（2a+1b+1）[a+（b+1）]=12[2+1+2（b+1）a+ab+1]≥12（3+22）.當且僅當a=2（b+1），即a=4-22，b=22-3時取等號，故最小值為12（3+22）.

點評 分析題目發現，結論式子中的分母是a和b+1，利用好條件化去分母才可以解題，所以由a+b=1配得a+（b+1）=2是必由之路.

2 合理拼湊

例2 若x>0，y>0且x+y=1，求x+12+y+12的最大值.

分析 因為x>0，y>0且x+y=1，

則x+12+y+12=（x+12）·1+（y+12）·1≤x+12+12+y+12+12=12（x+y+3）=2 當且僅當x+12=1且y+12=1且x+y=1即x=y=12時，等號成立，所以最大值是2.

點評 在給出的條件式或結論式中，先進行化簡處理是常規的解題手段，其中包括化簡復雜的分式、根式等，本題中利用基本不等式化去根號就是設法化簡的一種思路.

3 適當變形

例3 已知正數x，y滿足1x+1y=1，求4xx-1+9yy-1的最小值.

分析 由1x+1y=1，得x+y=xy，則4xx-1+9yy-1=4（x-1）+4x-1+9（y-1）+9y-1

=13+4x-1+9y-1=13+9x+4y-13xy-x-y+1=9x+4y=（9x+4y）（1x+1y）=13+4yx+9xy

≥13+236=25.當且僅當3x=2y且1x+1y=1，即x=53，y=52時，等號成立，所以最小值為25.

點評 本題先把給出的條件進行變形，然后再將結論進行連續變形轉化，達到了解題目的，可以說是不斷變形的結果.

4 連續放縮

例4 已知a>0，b>0，c>2，且a+b=2，求acb+cab-c2+5c-2的最小值.

分析 由于a+b=2，則ab+1ab-12=ab+14（a+b）2ab-12=ab+14（ab+2+ba）-12

=54ab+14ba≥52;又c>2，則c-2>0于是acb+cab-c2+5c-2 =c（ab+1ab-12）

+5c-2≥52c+5c-2=5（c-22+1c-2）+5≥10+5.當且僅當b=5a且c=2+2時等號成立，所以原式的最小值為10+5.

點評 由于本題的結論式比較復雜，解題中使用了兩次基本不等式進行放縮，如果連續放縮時取等號的條件一致或互相之間沒有影響，是完全可行的.

5 整體構造

例5 若實數a、b滿足ab-4a-b+1=0（a>1），求（a+1）·（b+2）的最小值.

分析 由a>1，得a-1>0，由ab-4a-b+1=0得，ba-1-4a-1=3，b-4=3a-1，b+2=6a-3a-1，于是（a+1）·（b+2）=（6a-3）（a+1）a-1=

6（a-1）2+15（a-1）+6a-1=6（a-1）+6a-1+15≥6×2+15=27.當且僅當6（a-1）=

6a-1，即a=2時，（a+1）·（b+2）取最小值為27.

點評 本題中沒有直接告訴相關的分式，通過挖掘已知條件，整體思考，對條件式和結論式子進行重新整理，構造出可用均值不等式求解式子，化解了問題的難點.

6 及時換元

例6 已知正實數a，b滿足1（2a+b）b+2（2b+a）a=1，求ab的最大值.

分析 ab=ab（1（2a+b）b+2（2b+a）a）=a2a+b+2b2b+a，令2a+b=x，2b+a=y，則a=2x-y3，b=2y-x3，所以ab=2x-y3x·2（2y-x）3y=2-13（yx+2xy）≤2-23yx·2xy=2-223.當且僅當y=2x時，ab有最大值為2-223.

點評 本題中的條件式中的分母結構比較復雜，通過對分母換元后使式子簡單明朗，出現了可使用基本不等式的規范模型，從而后面的解題手到功成了.

以上通過針對具體題目，講述了用基本不等式解決含有多元等式條件的最大值或最小值問題處理方法，當然還有許多其他的實用方法，這里只是展示幾種常見的，拋磚引玉，可能有失偏頗或以偏概全，不到之處，請讀者朋友批評指正.