動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的全等三角形存在性問題

楊振剛

【摘要】 動(dòng)態(tài)幾何題，是指以幾何知識(shí)和幾何圖形為背景，滲透運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)的一類試題;而通過對(duì)幾何圖形運(yùn)動(dòng)變化，使同學(xué)們經(jīng)歷由觀察、想象、推理等發(fā)現(xiàn)、探索的過程，是中考數(shù)學(xué)試題中考查創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新能力的重要題型.解決動(dòng)態(tài)問題，要用分類思想把這個(gè)過程分為幾個(gè)階段，在每一個(gè)階段抓住某一靜止的瞬間進(jìn)行分析，進(jìn)而解決問題.

【關(guān)鍵詞】 動(dòng)態(tài)幾何題;運(yùn)動(dòng)變化;分類思想;靜止

動(dòng)點(diǎn)型問題常常集幾何、代數(shù)知識(shí)于一體，數(shù)形結(jié)合，有較強(qiáng)的綜合性.下面通過動(dòng)點(diǎn)全等三角形的存在性來加以說明，供同學(xué)們參考.

例1 如圖1，已知線段AB=20米，MA⊥AB于點(diǎn)A，MA=6米，射線BD⊥AB于B，P點(diǎn)從B點(diǎn)向A運(yùn)動(dòng)，每秒走1米，Q點(diǎn)從B點(diǎn)向D運(yùn)動(dòng)，每秒走3米，P，Q同時(shí)從B出發(fā)，則出發(fā)x秒后，在線段MA上有一點(diǎn)C，使△CAP與△PBQ全等，則x的值為（）

（A） 5. （B）5或10.

（C） 10.（D）6或10.

解 由題意，BP=x，

AP=20-x，BQ=3x，

∠A=∠B=90°，

當(dāng)△CAP≌△PBQ時(shí)，AP=BQ，則

20-x=3x，解得x=5.

當(dāng)△CAP≌△QBP時(shí)，AP=BP，則

20-x=x，解得x=10，

當(dāng)x=10時(shí)，AC=BQ=30米，但MA=5米，

故x=10不符合題意，舍去，

故答案為（A）.

例2 如圖2，已知長(zhǎng)方形ABCD的邊長(zhǎng)AB=20cm，BC=16cm，點(diǎn)E在邊AB上，AE=6cm，如果點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)在線段BC上以2cm/s的速度向點(diǎn)C向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CD上從點(diǎn)C到點(diǎn)D運(yùn)動(dòng).則當(dāng)時(shí)間t為（）s時(shí)，能夠使△BPE與△CQP全等.

（A） 1.（B）1或4.

（C）1或2.（D） 3.

解 因?yàn)锳B=20，

AE=6，BC=16，

所以BE=14，BP=2t，

PC=16-2t，

當(dāng)△BPE≌△CQP時(shí)，有BE=PC，

則14=16-2t，解得t=1.

當(dāng)△BPE≌△CPQ時(shí)，有BP=PC，

則2t=16-2t，解得t=4.

故答案為（B）.

例3 如圖3，四邊形ABCD中，AB=10厘米，BC=8厘米，CD=12厘米，∠B=∠C，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn).如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CD上由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為厘米/秒時(shí)，能夠使△BPE與△CQP全等.

解 設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，

則BP=3t，CP=8-3t，

因?yàn)辄c(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，AB=10厘米，

所以AE=BE=5厘米，

因?yàn)椤螧=∠C，

所以∠B和∠C為對(duì)應(yīng)角.

①當(dāng)△BPE≌△CQP時(shí)，

BE=CP=5，BP=CQ，

則5=8-3t，解得t=1，

所以BP=CQ=3，

此時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為3÷1=3厘米/秒.

②當(dāng)△BPE≌△CPQ時(shí)，

BE=CQ=5，BP=CP，

則3t=8-3t，解得t=43，

所以點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為5÷43=154厘米/秒.

故答案為3或154.

例4 如圖4，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，直線l經(jīng)過點(diǎn)C且與邊AB相交.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿A→C→B路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng);動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿B→C→A路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P和點(diǎn)Q的速度分別為2cm/s和3cm/s，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)并開始計(jì)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)計(jì)時(shí)結(jié)束.在某時(shí)刻分別過點(diǎn)P和點(diǎn)Q作PE⊥l于點(diǎn)E，QF⊥l于點(diǎn)F，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則當(dāng)t=秒時(shí)，△PEC與△QFC全等.

解 由題意得AP=2t，BQ=3t，

AC=6cm，BC=8cm.

①如圖5，點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在BC上，當(dāng)△PEC≌△CFQ時(shí)，則PC=CQ，

即6-2t=8-3t，

解得t=2.

②如圖6，當(dāng)點(diǎn)Q與P重合時(shí)，△PEC≌△QFC全等，

則PC=CQ，

所以6-2t=3t-8，解得t=145，

③如圖7，當(dāng)點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在AC上，只有當(dāng)點(diǎn)Q與A重合時(shí)，△PEC≌△CFQ，

則PC=CQ，

即2t-6=6，解得t=6，

綜上所述：當(dāng)t=2秒或145秒或6秒時(shí)，△PEC與△QFC全等，

故答案為2或145或6.

上述幾例通過三角形全等列方程來解決動(dòng)點(diǎn)問題，解題時(shí)要把握在某一時(shí)刻三角形可以全等，抓住了全等，得到線段長(zhǎng)相等，然后列方程.