一道期末考試題的解法探究

陳燕玲

【摘要】 這是一道典型的以直角三角形為模型的翻折問題，考查了翻折前后的數(shù)量不變性.文章通過多種解法的探究，發(fā)掘出折疊問題的本質(zhì)，讓學生體會三角形翻折問題的多個思考角度，通過做一題、得多法、會一類.

【關(guān)鍵詞】翻折;勾股定理;相似

1 試題呈現(xiàn)

如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，點E，F(xiàn)在邊AB上，將邊AC沿CE翻折，使點A落在AB上的點D處，再將邊BC沿CF翻折，使點B落在CD延長線上的點B′處.

（1）求∠ECF的度數(shù);

（2）若CE=4，B′F=1，求線段BC的長和△ABC的面積.

2 解法探究

第（1）問比較容易，答案為45°，本文只針對第（2）問給出以下5種解法.

解法1 由于翻折后邊AC落在AB上的點D處，所以CE⊥AB，以AC為“橋梁”，在Rt△ACE和Rt△ABC中用勾股定理得

AC2=AE2+CE2=AB2-BC2，

由（1）知Rt△CEF為等腰直角三角形，

所以CE=EF=4，

BF=B′F=1，

所以BE=5，

所以BC=42+52=41，

設(shè)AE=x，則x2+42=（x+5）2-412，

解得x=165，

所以AB=415，

所以S△ABC=12AB·CE=825.

解法2 利用相似三角形，求相應的邊長.

由解法1知 ∠ACB=∠CEB=90°，

∠B=∠B，

所以△ACB∽△CEB，

所以ACCB=CEEB，

即AC41=45，

所以AC=4415，

所以S△ABC=12AC·CB=825.

反思 該直角三角形為“雙垂直模型”，同理可以利用△ACE∽△CBE求出AC的長度，再求面積;或者利用△ACE∽△ABC得

ACAB=CEBC=441，

得AC=441AB，

再利用勾股定理得 AC2+BC2=AB2，

即441AB2+412=AB2，

可求出AB，進而求出面積.或者直接用射影定理CE2=AE·BE即可求AE，或BC2=BE·AB即可求AB.

解法3 由翻折可得

∠CFB=∠CFB′=135°，

又因為∠CFE=45°，

所以∠DFB′=90°，

所以易得△CED∽△B′FD，

所以CEB′F=EDDF=41，

所以DF=45，

所以AB=415，

所以S△ABC=12AB·CE=825.

解法4 利用面積法求解

由解法3知

S△CDF∶S△B′DF=CEB′F=41，

S△BCE=12×5×4=10，

S△CEF=12×4×4=8，

所以S△BCF=10-8=2，

所以S△DFB′=15S△BCF=0.4，

所以DF=45，

所以AB=415，

所以S△ABC=12AB·CE=825.

解法5 如圖2，過點F作FH⊥CB交BC于點H，

由解法4得

S△BCF=2，

又S△BCF=12BC·FH，

所以FH=441，

所以HB=1-1641=541，

由題易證△BHF∽△BCA，

所以HBBC=FHAC，

所以AC=4415，

所以S△ABC=12AC·CB=825.