一道中考圖形旋轉問題的探索與思考

張行軍

“圖形的旋轉”是“新課程標準”中明確規定的重要內容之一.近年來，在各地的中考試卷中，圖形的旋轉問題都放在了重要的位置上.對于這類問題，學生思考時通常有些困難，對于教師而言，如何在解題實踐中合理、有效地利用圖形旋轉來教學，都是需要探索與思考的問題.下面以2021年蘇州的一道中考題填空壓軸題為例談談幾種解決圖形旋轉問題的探索與思考.

原題呈現如圖1，射線OM，ON互相垂直，OA=8，點B位于射線OM的上方，且在線段OA的垂直平分線l上，連接AB，AB=5.將線段AB繞點O按逆時針方向旋轉得到對應線段A′B′，若點B′恰好落在射線ON上，則點A′到射線ON的距離d=.

1 利用點的轉化，構造直角三角形

分析 問題要求點A′到射線ON的距離d？從點的角度來思考，求出點A′到射線ON的垂線段的長度即可.因此可以過點A′作A′H⊥ON交ON于點H，求線段A′H的長.如何求A′H的長呢？容易想到勾股定理，那就要尋找或構造直角三角形，可發現Rt△A′OH和Rt△A′B′H.結合題目點A′是由點A旋轉而來的，由旋轉的性質可得OA′=OA，從而連接OA′、OB，利用雙勾股定理即可求解.

解 過點A′作A′H⊥ON交ON于點H，連接OA′、OB.

因為OA=8，AB=5，

BC是OA的垂直平分線，

所以OB=AB=5，

因為線段AB繞點O按逆時針方向旋轉得到對應線段A′B′，

所以OA′=OA=8，

OB′=OB=5.

設 B′H= x，則OH=5+x，

在Rt△OA′H和Rt△B′A′H中，

A′H2=A′O2-OH2=A′B′2-B′H2，

即82-（5+x）2=52-x2.

解得x=75，

所以A′H=52-752=245，

即點A′到射線ON的距離為245.

注 此類解法關鍵抓住點的旋轉來思考.圖形的旋轉把條件弱化就是點的旋轉，然后根據點的位置特征，來求點到直線的距離.

2 利用線段轉化，構造相似三角形

分析 問題要求點A′到射線ON的距離d，從線段來思考，線段AB繞點O按逆時針方向旋轉得到對應線段A′B′，要求距離就是求線段A′H的長.根據圖形旋轉的性質可知圖形上的每個點同時都按相同方式轉動相同的角度，即任意一對對應點與旋轉中心連線所成的夾角都是旋轉角，圖形中每一點都繞著旋轉中心旋轉了同樣大小的角度.利用角度相等可構造相似三角形來解決，即

△OA′H∽△OBC.

解 過點A′作A′H⊥ON交ON于點H，連接OA′、OB.

因為OA=8，AB=5，

OA的垂直平分線記為BC，其中C是BC與OA的交點，

所以OB=AB=5，

OC=OA=4，

所以BC=3，

因為線段AB繞點O按逆時針方向旋轉得到對應線段A′B′，

所以OA′=OA=8，

∠AOA′=∠BOB′，

所以∠HOA′=∠COB，

因為∠OHA′=∠OCB，

所以△OA′H∽△OBC.

所以A′HBC=OA′OB，

即A′H3=85，

所以A′H =245，

即點A′到射線ON的距離為245.

注 此類解法關鍵抓住線段的旋轉來思考.圖形的旋轉看成線段的旋轉，從而從線段的角度進行思考，利用旋轉角度相等，構造相似三角形或利用三角函數都可求得線段的長.

3 利用面的轉化，構造全等三角形

分析 問題要求點A′到射線ON的距離d，從面的角度來思考，即整體思考，不難發現△OA′B′≌△OAB.求線段A′H的長，這時發現A′H為△OA′B′的高，由于△OAB的面積已經確定，由此可利用等積法求得線段A′H的長.

解 過點A′作A′H⊥ON交ON于點H，連接OA′，OB.

因為OA=8，AB=5，

OA的垂直平分線記為BC，其中C是BC與OA的交點，所以OB=AB=5，

OC=OA=4，

所以BC=3，

因為線段AB繞點O按逆時針方向旋轉得到對應線段A′B′，

所以△OA′B′由△OAB繞點O按逆時針方向旋轉得到.

所以△OA′B′≌△OAB，

所以S△OA′B′=S△OAB.

因為S△OA′B′=12×OA×BC=12×8×3=12，

所以S△OAB=12×OB′×A′H=12×5×A′H=12，

所以A′H=245，

即點A′到射線ON的距離為245.

注 此類解法關鍵抓住圖像的整體旋轉來思考.圖形的旋轉看成面的整體旋轉，從而利用旋轉旋轉不改變圖形的大小和形狀（即旋轉前后的兩個圖形是全等圖形），利用全等圖形的面積相等來解決問題.

4 利用整體觀察，構造矩形

分析 問題要求點A′到射線ON的距離d，從整體的角度來思考，求線段A′H的長，可以通過轉化線段A′H來實現.此可想整體圖形的旋轉應該處處全等，利用三角函數，構造矩形可得線段A′H的長.

解 設OA的垂直平分線與OA交于C，將線段AB繞點O按逆時針方向旋轉得到對應線段A′B′，C隨之旋轉到C′，過A′作A′H⊥ON于H，過C′作C′D⊥ON于D，過A′作A′E⊥DC′于E，如圖3.

因為OA=8，AB=5，

BC是OA的垂直平分線，

所以OB=5，

OC=AC=4，BC=3，

cos∠BOC=OCOB=45，

sin∠BOC=BCOB=35，

因為線段AB繞點O按逆時針方向旋轉得到對應線段A′B′，C隨之旋轉到C′，

所以B′C′=BC=3，

A′C′=AC=4，

∠BOC=∠B′OC′，

因為∠B′C′D=∠B′C′O-∠DC′O

=90°-∠DC′O

=∠B′OC′=∠BOC，

所以cos∠B′C′D=45，

Rt△B′C′D中，C′DB′C′=45，

即C′D3=45，

所以C′D=125，

因為AE∥ON，

所以∠B′OC′=∠C′A′E，

所以sin∠C′AE=sin∠B′OC′=sin∠BOC=35，

Rt△A′C′E中，C′EA′C′=35，

即C′E4=35，

所以C′E=125，

所以DE=C′D+C′E=245，

而A′H⊥ON，C′D⊥ON，A′E⊥DC′，

所以四邊形A′EDH是矩形，

所以A′H=DE，

即A′到ON的距離是245.

注 這類解法綜合性比較強，需要用到圖形的旋轉的性質，三角函數，矩形的性質來思考，從整體角度來思考.抓住旋轉的特征，線段的轉化，構造新的圖形來解決.

5 反思與收獲

通過上面的幾種解法，我們不難發現幾種解法各有千秋，關鍵是思考的角度不同帶來的解法不同.對于圖形的旋轉問題我們可以試著從微觀點的方向開始思考，再到宏觀整體思考來解決問題，思考方向是解決數學問題的突破口.在教學過程中，教師要善于抓住圖形旋轉的本質特征，幫助學生尋找突破口，掌握正確的解題方法和途徑.充分利用變式訓練，挖掘圖形旋轉的不變性，培養學生類比遷移、觸類旁通的數學能力、拓展學生的思維空間，激發學生的數學創新精神.