利用外心求最值

劉禮勝 於超

【摘要】 在定邊（長）定角的動點最值問題中，利用三角形外心確定定長（外接圓半徑），就可將動點最值轉化為線段的長度比較，達到化動為定的目的.其中直角三角形中斜邊大于直角邊（簡稱斜邊大于直角邊）可作為構造不等式，確定最值的有效方法.

【關鍵詞】 三角形外心;動點最值;化動為定

例1 如圖1，△ABC中，過C點作CD⊥AB于點D，若AB=12，∠ACB=60°，求CD的最大值.

解 取△ABC的外心O，連接OA，OB，OC，作OF⊥AB，

可得OA=OB=OC，

因為∠ACB=60°，

所以∠AOB=120°.

因為AB=12，

所以AF=BF=6，OF=23，

OA=OB=OC=43，

因為CD≤OC+OF=63，

即當C，O，F三點共線且F與D重合時取等號，

故得CD的最大值為63.

例2 如圖2，△ABC中，過C點作CD⊥AB于點D，E是直線CD上的動點，∠CAE=30°，AD=6.求CE的最小值.

解 取△ACE的外心O.連接OA，OE，OC，作OG⊥CD，垂足為G，

可得OA=OE=OC，

因為∠CAE=30°，

所以∠COE=60°，

則△COE為等邊三角形.

設OA=OE=OC=CE=x，

則OG=32x.

OA+OG=x+32x.

因為OA+OG≥AD=6，

則x+32x≥6，

解得x≥24-123.

即當A，O，G三點共線且G與D重合時取等號，

故得CE的最小值是24-123.

例3 如圖3，△ABC中，過C點作CD⊥AB于點D，E是直線CD上的點，若∠CAE=30°，AD=6，過E作EF∥AD交AC于點F，求EF的最小值.

解 取△AEF的外心O，連接OA，OF，OE，

可得OA=OE=OF，

因為∠CAE=30°，

所以∠FOE=60°，

則△OEF為等邊三角形.

過點O作OK⊥EF于點K，交AD于點H，

設EF=OA=OF=OE=2x，

因為AD=6，

CD⊥AB，EF∥AD，

可知四邊形HDEK為正方形，

則HD=KE=x，AH=6-x，

因為Rt△AOH中斜邊大于直角邊，

所以OA≥AH，

則2x≥6-x，

解得x≥2，

即當O與H重合時取等號，

故得EF的最小值4.

例4 如圖4，△ABC中，過C點作CD⊥AB于點D，若AB=30，∠ACB=60°，求AD+2CD的最大值.

解 取△ABC的外心O，連接OA，OB，OC，

可得OA=OB=OC，

因為∠ACB=60°，

所以∠AOB=120°，

因為AB=30，

可得AQ=15，OQ=53，

OA=OB=OC=103.

延長CD至E，使AD=2DE，連接AE，過O點作OP⊥AB，垂足為Q，交AE于P，作OK⊥AE，垂足為K，作CI⊥AE，垂足為I，

因為AD=2DE，CD⊥AB，

所以∠AED=∠APQ，

且 AQ=2QP，OK=2KP.

可得QP=12AQ=152，

OP=53+152，

所以OK=OP5×2=53+152×25，

因為OC+OK≥CI，

而CI=CE5×2，

所以103+53+152×25≥CE5×2，

解得2CE≤1015+103+15，

因為AD+2CD=2（12AD+CD）

=2（DE+CD）

=2CE，

即當C，O，K三點共線且K與I重合時取等號，

故得AD+2CD的最大值為

1015+103+15.

練習

如圖5，在等腰Rt△ABC中，斜邊AC=6，E，F是AC上的動點，且EF=32，試確定tan∠EBF的最大值.

答案 43.