忽視等價轉化致錯兩例

朱德云

由命題A可推出命題B，反之，由命題B亦可推出命題A，稱為A與B等價.數學解題就是將數學問題不斷轉化的過程，但要保證問題的等價性，稍有疏忽，往往致錯.

例1 若二次方程x2-2ax+a2-4=0僅有一個正根，求實數a的取值范圍.

錯解 因為二次方程僅有一正根，所以方程另一根必為0或負數，從而有x1·x2≤0.

由Δ=（-2a）2-4（a2-4）w≥0，x1·x2=a2-4≤0.

解得-2≤a≤2.

剖析 當a=-2時，原方程變為x2+4x=0，它的兩根x1=0，x2=-4不合題意.錯誤原因在于x1·x2≤0并不能保證方程僅有一正根.

正確解法 因為二次方程僅有一正根，所以方程另一根必為0或負數：

（1）當方程另一根為0時，有

Δ=（-2a）2-4（a2-4）>0，x1+x2=2a>0，x1·x2=a2-4=0，

解得a=2.

（2）當方程另一根為負數時，有

Δ=（-2a）2-4（a2-4）>0，x1·x2=a2-4<0.

解得-2

綜上所述，實數a的取值范圍為

-2

例2 定義：若實數x，y滿足x2=2y+t，y2=2x+t，且x≠y，t為常數，則稱點M（x，y）為“線點”.例如，點（0，-2）和（-2，0）是“線點”.在直角坐標系xOy中，點P（m，n）是“線點”，試用含t的代數式表示mn.

錯解 因為點P（m，n）是“線點”，

所以m2=2n+t，①

n2=2m+t.②

①-②，得 （m+n）（m-n）=2（n-m），

由題意知m≠n，

所以m+n=-2.

①×②，并整理得

m2n2=4mn-4t+t2，

解得mn=t或mn=-t+4.

正確解法

因為點P（m，n）是“線點”，

所以m2=2n+t，①

n2=2m+t.②

①-②，得

（m+n）（m-n）=2（n-m），

由題意知m≠n，

所以m+n=-2.

①+②，得

m2+n2=2（m+n）+2t，

（m+n）2-2mn=2（m+n）+2t，

即（-2）2-2mn=2×（-2）+2t.

解得mn=4-t.

剖析 上述兩種解法在推理論證中似乎都正確無誤，但為什么答案不同呢？mn究竟有幾個結果呢？

錯解產生了一個不易察覺的不合題意的解（增解）.

當mn=t，m+n=-2時，代入①得

m2=-n（m+n）+mn，

m2+n2=0.

所以m=n=0.

所以m+n=0，這與m+n=-2相矛盾，

所以滿足m2=2n+t，n2=2m+t，mn=t的實數m，n不存在，mn=t不合題意，舍去.

喜歡刨根究底的讀者可能會想：為什么正確解法沒有出現增解，錯解卻產生增解，增解從何而來？

原來，由m2=2n+t，n2=2m+t可以推得

m2-n2=2n-2m，m2+n2=2m+2n+2t，

反過來，由m2-n2=2n-2m，m2+n2=2m+2n+2t，也可以推得

m2=2n+t，n2=2m+t.

因此m2-n2=2n-2m，m2+n2=2m+2n+2t與m2=2n+t，n2=2m+t等價，

故正確解法不會出現增解.

由m2=2n+t，n2=2m+t可以推得

m2-n2=2n-2m，m2n2=（2m+t）（2n+t），

反過來，由m2-n2=2n-2m，m2n2=（2m+t）（2n+t），可以推得

m2=2n+t，n2=2m+t或m2=-2m-t，n2=-2n-t（請讀者自己推導）.

因此m2-n2=2n-2m，m2n2=（2m+t）（2n+t）與m2=2n+t，n2=2m+t不等價.

當兩個不等實數m，n滿足m2=-2m-t，n2=-2n-t時，可知m，n是方程z2=-2z-t的兩個實數根，于是有mn=t，這正是錯解產生的增解.