合分比性質定理在初中階段的運用

張帆

【摘要】 合分比性質在基礎教育階段一般作為一種技巧性應用工具，特別在初中數學階段，是分數或者分式計算中常用的性質之一，包括合分比性質、分比性質和合比性質，很多時候一旦用合分比性質這一技巧解題時，題目就可以迎刃而解.

【關鍵詞】 合分比;技巧性

性質1 分比性質：在一個比例里，第一個比的前后項的差與它的后項的比，等于比的前后項的差與它的后項的比.

字母表達 若ab=cd，則

a-bb=c-dd（b≠0，d≠0）.

性質2 合比性質：在一個比例里，第一個比的前后項的和與它的前后項的差的比，等于第二個比的前后項的和與它的前后項的差的比.

字母表達 若ab=cd，則a+ba-b=c+dc-d（a≠b，c≠d，b≠0，d≠0）

性質3 等比性質：在一個比例里，兩前項之和與兩后項之和的比與原比例相等.

字母表達 若ab=cd，則a+cb+d=a-cb-d=ab=cd=a-cb-d（b±d≠0，b≠0，d≠0）

推論1 若a1b1=a2b2=a3b3=…=anbn（n是正整數），

則a1+a2+…+anb1+b2+…+bn=a1b1

（b1+b2+…+bn≠0，bi≠0（i=1，2，…，n））

證明：不妨設a1b1=a2b2=a3b3=…=anbn=k（k≠0），則ai=kbi（i=，2，…，n）

所以a1+a2+…+anb1+b2+…+bn=kb1+kb2+…+kbnb1+b2+…+bn

=k（b1+b2+…+bn）b1+b2+…+bn=k=a1b1，

得證.

在這三個性質中，我們用等比性質最多，下面來看一下相關的例題，數學就像是做游戲一樣，大家都必須遵守游戲規則.在數學學習中使用定理時一定要注意前提條件，不看前提條件而濫用性質定理時必錯無疑.

例1 已知a，b，c為非零實數，且a+b+c≠0，若a+b-cc=a-b+cb=-a+b+ca，則（a+b）（b+c）（a+c）-cabc=.

分析 由題目條件中有3個比例式不難想到等比性質，合分母a+b+c≠0更加說明可以使用等比性質.

解 令k=a+b-cc=a-b+cb

=-a+b+ca（k≠0），

則k=（a+b-c）+（a-b+c）+（-a+b+c）a+b+c

=a+b+ca+b+c=1，

所以a+b=2c，b+c=2a，c+a=2b.

所以（a+b）（b+c）（a+c）abc=2c·2a·2babc=8.

例2 已知abc≠0，且a+bc=b+ca=a+cb，則（a+b）（b+c）（a+c）abc=.

分析 此題目條件中有3個比例不難想到用等比性質，但合分母a+b+c不知與0的大小關系，所以此題中要分清楚類別，按照情況討論說明

a+b+c=0與a+b+c=0.

解 當a+b+c≠0時，令

k=a+bc=b+ca=a+cb（k≠0），

則k=（a+b）+（b+c）+（a+c）c+a+b

=2c+2a+2bc+a+b

=2，

所以a+b=2c，b+c=2a，c+a=2b，

原式=a+bc·b+ca·a+cb=k3=8.

（2）當a+b+c=0時，

k1=a+bc=b+ca=a+cb，

所以a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，

所以k1=-1.

原式=a+bc·b+ca·a+cb

=k31=（-1）3=-1.

注 不要忽略合分母a+b+c=0的情況，題目的措辭中往往影響著不同的思考方法，拿到題目先認真讀題，再思考情況，想清楚包含哪幾種情況方能達到事半功倍的效果.

例3 已知實數x，y，z滿足xx+1=yy+2=zz+3=x+y+z3，則x+y+z=.

分析 由這四個式子不難看出，第四個式子的分子即為合分子，很容易看出應該使用合分比性質.

解 設k=xx+1=yy+2=zz+3

=x+y+z3（k≠0），

則k=x+y+z+（x+y+z）（x+1）+（y+2）+（z+3）+3

=2（x+y+z）x+y+z+9，

令x+y+z=a（a≠-9），聯立

x+y+z3=2（x+y+z）x+y+z+9可得

a3=2aa+9，

解得a1=0，a2=-3，

即x+y+z=0或-3.

例4 已知k=a+b-cc=a-b+cb=-a+b+ca，且m-5+n2+9=6n，則關于自變量的x一次函數y=kx+m+n的圖象一定經過第象限.

分析 判斷一次函數y=kx+m+n的圖像一定經過的象限，則首先根據題目的已知條件確定k以及m，n的值，求得一次函數y=kx+m+n的解析式，然后通過畫圖便可以求出答案.

解 由m-5+n2+9=6n可得

m-5+（n-3）2=0，

則m=5，n=3，

因為k=a+b-cc=a-b+cb=-a+b+ca.

（1）當a+b+c≠0時，

k=（a+b-c）+（a-b+c）+（-a+b+c）c+b+a

=a+b+ca+b+c=1.

（2）當a+b+c=0時，

因為a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，

所以k=a+b-cc=-c-cc=-2，

故而直線y=kx+m+n的解析式為

y=x+8或y=-2x+8，

直線y=x+8經過第一、二、三象限;

直線y=-2x+8經過第一、二、四象限;

綜上所述：y=kx+m+n的圖象一定經過第一、二象限.

例5 已知y+z-xx+y+z=z+x-yy+z-x=x+y-zz+x-y=p，求p+p2+p3的值.

分析 三個式子都等于p，由于它們的構造是分母分子有些是交錯，一旦相乘便可以約分，那么其中任意兩個式子相乘即為p2，全部三個式子相乘即為p3.

解 因為

p2=y+z-xx+y+z·z+x-yy+z-x=z+x-yx+y+z，

p3=y+z-xx+y+z·z+x-yy+z-x·x+y-zz+x-y

=x+y-zx+y-z，

所以p+p2+p3

=y+z-xx+y+z+z+x-yx+y+z+x+y-zx+y+z

=x+y+zx+y+z=1.

例6 已知2x=3y-z=5z+x，則5x-yy+2z的值為.

分析 從三個等式中不難看出后兩個分子相加便可以得到x+y，此時消去了z，找到x與y之間的關系，再找z與它們之間的關系.

解 令p=2x=3y-z=5z+x（p≠0），

p=2x=3+5（y-z）+（z+x）=8x+y，

則y=3x，

所以p=2x=33x-z，

則z=32x，

所以5x-yy+2z=5x-3x3x+2·3x2=2x6x=13.

利用等式解決相關題目時，題目本身就是不斷暗示我們應該怎樣思考，以及相關解題技巧性處理步驟，用到合分母和合分子的時候多用等比性質，一定注意按一定的順序討論合分母為0和不為0的兩種情況，然后計算出正確答案.