平行線中的數量與位置關系

楊元紅

【摘要】 在數學的學習中，經常涉及到數量關系與位置關系的相互轉化，本文從平行線的判定方法和性質兩個角度入手，通過例題具體呈現平行線中數量關系和位置關系的相互轉化過程，這對數學的學習很有益處.

【關鍵詞】平行線數量關系;位置關系;相互轉化

平行線的判定1

兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.

簡單說成：同位角相等，兩直線平行.

例1 如圖1，已知點B在AC上，BD⊥BE，∠1+∠C=90°.

求證：CF∥BD.

證明 因為BD⊥BE，

所以∠DBE=90°，

因為點B在AC上，

所以∠2+∠DBE+∠1=180°，

所以∠1+∠2=90°，

因為∠1+∠C =90°，

所以∠C=∠2，

所以CF∥BD.（同位角相等，兩直線平行）

平行線的判定2

兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行.

簡單說成：內錯角相等，兩直線平行.

例2 如圖2，已知AB⊥BC，BC⊥CD，∠1=∠2.

求證：BE∥CF.

證明 因為

AB⊥BC，

所以∠ABC=90°，

因為BC⊥CD，

所以∠BCD=90°，

所以∠ABC=∠BCD，

因為∠ABC=∠1+∠CBE，

∠BCD=∠2+∠BCF，

因為∠1=∠2，

所以∠CBE=∠BCF，

所以BE∥CF.（內錯角相等，兩直線平行）

平行線的判定3

兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行.

簡單說成：同旁內角互補，兩直線平行.

例3 如圖3，已知AC⊥BC，垂足為C，∠B=50°，∠ACD=40°.

求證：AB∥CD.

證明 因為

AC⊥BC，垂足為C，

所以∠ACB=90°，

因為∠BCD=∠ACB+∠ACD，

又因為∠ACD=40°，

所以∠BCD=90°+40°=130°，

因為∠B=50°，

所以∠B+∠BCD=180°，

所以AB∥CD.（同旁內角互補，兩直線平行）

平行線的判定方法體現了由數量關系到位置關系的轉化過程.

平行線的性質1

兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.

簡單說成：兩直線平行，同位角相等.

例4 如圖4，已知直線a，b被直線c所截，a∥b，∠1=125°，求∠2的度數.

解 因為

a∥b，

所以∠1=∠2，

（兩直線平行，同位角相等）

因為∠1=125°，

所以∠2=125°.

即∠2的度數是125°.

平行線的性質2

兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等.

簡單說成：兩直線平行，內錯角相等.

例5 如圖5，已知直線DE經過點A，DE∥BC，∠B=44°，∠C=57°，求∠BAD和∠CAE 的度數.

解 因為DE∥BC，

所以∠BAD=∠B

∠CAE=∠C，

（兩直線平行，內錯角相等）

因為∠B=44°，∠C=57°，

所以∠BAD=44°，∠CAE=57°.

即∠BAD的度數是44°，∠CAE的度數是57°.

平行線的性質3

兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補.

簡單說成：兩直線平行，同旁內角互補.

例6 如圖6，已知AB∥CD ∠B=129°，∠D=134°，求∠BED的度數.

解 如圖，過點E作

EF∥AB，

所以∠B+∠BEF=180°，

（兩直線平行，同旁內角互補）

因為∠B=129°，

所以∠BEF=51°，

因為AB∥CD

EF∥AB，

所以CD∥EF，

所以∠D+∠DEF=180°，

（兩直線平行，同旁內角互補）

因為∠D=134°，

所以∠DEF=46°，

因為∠BED=∠BEF+∠DEF，

所以∠BED=51°+46°=97°，

即∠BED的度數是97°.

平行線的性質體現了由位置關系到數量關系的轉化過程.

例7 如圖7，點D，E分別在三角形ABC的邊AB，AC上，點F在線段CD上，且∠1+∠2=180°，DE∥BC.

（1）求證：∠3=∠B;

（2）若DE平分∠ADC，∠2=3∠B，求∠1的度數.

證明 （1）因為點F在線段CD上，

所以∠DFE+∠1=180°，

因為∠1+∠2=180°，

所以∠2=∠DFE，

所以AB∥EF，

（內錯角相等，兩直線平行）

所以∠ADE=∠3，

（兩直線平行，內錯角相等）

因為DE∥BC，

所以∠ADE=∠B，

（兩直線平行，同位角相等）

所以∠3=∠B.

（2）因為DE平分∠ADC，

所以∠ADE=∠ADC，

由（1）知∠ADE=∠3，∠3=∠B，

所以∠ADC=2∠B，

因為點D在三角形ABC的邊AB上，

所以∠2+∠ADC=180°，

因為∠2=3∠B，

所以3∠B+2∠B=180°，

所以∠B=36°，

所以∠ADC=2∠B=72°，

由（1）知AB∥EF，

所以∠ADC=∠1，

（兩直線平行，同位角相等）

所以∠1=72°.

即∠1的度數是72°.

數量關系與位置關系的相互轉化在數學的學習中很常見，讓我們在以后的學習中慢慢體會相互轉化的價值所在.