中點四邊形的形狀

洪聯(lián)平

【摘要】 順次連接任意四邊形各邊的中點，把形成的新四邊形稱為中點四邊形.中點四邊形的形狀由原四邊形的兩條對角線是否相等與垂直來決定.本文主要探究原四邊形的兩條對角線既不相等又不垂直;互相垂直;相等;既相等又垂直這四種情況下中點四邊形的形狀.

【關鍵詞】 原四邊形;中點四邊形;對角線;相等;垂直;形狀

問題 已知：如圖1，四邊形ABCD四條邊上的中點分別為E，F，G，H，順次連接EF，FG，GH，HE，得到中點四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點四邊形）.

（1）四邊形EFGH的形狀是;證明你的結論.

（2）當AC，BD滿足時，四邊形EFGH是菱形;

（3）當AC，BD滿足時，四邊形EFGH是矩形;

（4）當AC，BD滿足時，四邊形EFGH是正方形.

解 （1）結論：四邊形EFGH是平行四邊形;

證明連接AC，BD，因為四邊形ABCD中，E，F，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點，

所以EH∥BD，FG∥BD，

所以EH∥FG，

同理GH∥EF，

所以四邊形EFGH是平行四邊形.

（2）當AC=BD時，四邊形EFGH是菱形.因為由（1）得四邊形EFGH是平行四邊形，

因為HG=12AC，EH=12BD，

所以EH=GH，

所以四邊形EFGH是菱形;

故答案為AC=BD.

（3）當AC⊥BD時，四邊形EFGH是矩形.因為由（1）得四邊形EFGH是平行四邊形，

因為AC⊥BD，

EH∥BD，EF∥AC，

所以EF⊥EH，

所以∠FEH=90°，

所以四邊形EFGH是矩形.

故答案為AC⊥BD.

（4）當AC⊥BD且AC=BD時，四邊形EFGH是正方形.因為AC⊥BD時，四邊形EFGH是矩形，AC=BD時，四邊形EFGH是菱形，所以四邊形EFGH是正方形.

故答案為AC⊥BD，AC=BD.

歸納總結

原四邊形的形狀中點四邊形的形狀

任意四邊形平行四邊形平行四邊形

兩條對角線相等的四邊形（包括距形和等腰梯形）菱形

兩條對角線互相垂直的四邊形（包括菱形）矩形

兩條對角線相等且互相垂直的四邊形（包括正方形）正方形

應用

例1 順次連接任意四邊形各邊中點所組成的中點四邊形是（）

（A）平行四邊形.（B）矩形.

（C）菱形.（D）任意四邊形.

解 原四邊形為任意四邊形，兩條對角線既不垂直也不相等，所以它的中點四邊形為平行四邊形，故選（A）.

例2 順次連接菱形各邊中點所組成的中點四邊形是（）

（A）正方形. （B）矩形.

（C）菱形.（D）等腰梯形.

解 原四邊形為菱形，菱形對角線互相垂直但不相等，所以它的中點四邊形為平行四邊形，再加鄰邊互相垂直，所以是矩形.

故選（B）.

例3 順次連接矩形各邊中點所組成的中點四邊形是（）

（A）平行四邊形. （B）矩形.

（C）菱形.（D）正方形.

解 原四邊形為距形，矩形對角線相等但不垂直，所以它的中點四邊形為平行四邊形，再加鄰邊相等，所以是菱形.

故選（C）.

例4 順次連接對角線互相垂直的等腰梯形的各邊中點所組成的中點四邊形是（）

（A）平行四邊形.（B）矩形.

（C）菱形.（D）正方形.

解 原四邊形為對角線互相垂直的等腰梯形，等腰梯形對角線相等再加上垂直，所以它的中點四邊形為平行四邊形，再加鄰邊相等與鄰邊垂直，所以是正方形.

故選（D）.

例5 順次連接正方形的各邊中點所組成的中點四邊形是（）

（A）平行四邊形.（B）矩形.

（C）菱形.（D）正方形.

解 原四邊形為對角線相等且互相垂直的正方形，所以它的中點四邊形為平行四邊形，再加鄰邊相等與鄰邊垂直，所以是正方形.

故選（D）.