借助轉化思想，解答數學難題

馮文夢

【摘要】轉化思想是一種重要的解題思想.解答初中數學習題時根據題干創設的情境注重轉化思想地靈活應用，可達到事半功倍的解題效果.本文結合初中學習者的知識儲備，認真篩選相關習題，為學習的展示轉化思想在數學難題中地應用，以供參考.

【關鍵詞】初中數學;轉化思想;數學難題

為提高學習者運用轉化思想解題的靈活性，教學中應注重為其講解常用的轉化方法[1].其中換元轉化、數形轉化、方程與函數轉化、動靜轉化等在解題中有著廣泛地應用.實踐中為使學習者更好地掌握轉化細節應做好解題示范.

1 換元轉化

例1 已知a，b，x，y滿足a+b=x+y=4，ax+by=9，求（a2+b2）xy+ab（x2+y2）的值.

解析 該題看似難以下手，但是主要通過巧妙換元可迅速找到解題思路.

根據題意可設a=2+m，b=2-m，x=2+n，y=2-n，

則ax=（2+m）（2+n）=4+2m+2n+mn，by=（2-m）（2-n）=4-2m-2n+mn，

a2+b2=（2+m）2+（2-m）2=4+4m+m2+4-4m+m2=2m2+8，

xy=4-n2，ab=4-m2，x2+y2=（2+n）2+（2-n）2=2n2+8.

又由ax+by=9，則（4+2m+2n+mn）+（4-2m-2n+mn）=9，整理得到mn=12，

則（a2+b2）xy+ab（x2+y2）=（2m2+8）（4-n2）+（4-m2）（2n2+8）=（8m2-2m2n2+32-8n2）+（8n2+32-2m2n2-8m2）=64-4m2n2=64-4×（12）2=64-1=63.

2 數形轉化

例2 已知菱形ABCD的頂點分別在反比例函數y=k1x和y=k2x的圖象上，如圖1所示，若∠BCD=60°，則k1k2的值為.

解析 根據題意連接AC，BD，則易得AC⊥BD，由菱形ABCD的頂點分別在反比例函數y=k1x和y=k2x的圖象上，則A、C和B、D均關于原點對稱.

線段AC、BD均經過原點O，則∠BOC=90°，

又由∠BCD=60°，

則∠BOC=30°，則OBOC=tan30°=33.

分別過B、C兩點向x軸作垂線，垂足分別為M、N，則由∠OCN+∠NOC=90°，∠NOB+∠NOC=90°，則∠OCN=∠NOB，則△OMB∽△CNO，則S△OMBS△CNO=（OBOC）2=13，

所以12k1-12k2=13，則k1k2=-13.

3 方程與函數轉化

例3已知關于x的方程|x2+2px-3p2+5|-q=0，p、q均是實數，若方程有三個不同的實數根x1，x2，x3，且1x1+1x2+1x3=0，則q的值為.

解析 對原方程進行變形得到：|x2+2px-3p2+5|=q，由絕對值知識可知x2+2px-3p2+5=±q，令y=x2+2px-3p2+5，因其開口向上，對稱軸為直線x=-p;因方程有三個不同的實數根x1，x2，x3，則y=-q必然過該拋物線頂點，則4（5-3p2）-4p24=-q，整理得到：4p2-5=q.

設x1，x2為方程x2+2px-3p2+5=4p2-5的兩根，整理得到：x2+2px-7p2+10=0，

則x1+x2=-2p，x1x2=10-7p2，x3=-p，

又有1x1+1x2+1x3=0，

即，x1+x2x1x2+1x3=-2p10-7p2-1p=10-5p2（10-7p2）p=0，整理得到p2=2.

同時Δ=（2p）2-4（10-7p2）=32p2-40>0成立，因此q=4p2-5=4×2-5=3.

4 動靜轉化

例4 如圖2，圓O的內接△ABC為邊長12的等邊三角形，其中點D在弧BC上運動，且有BE⊥OD于點E，當點D沿弧BC從B點運動到C點時，則線段AE的最大值為.

解析 連接BO，設BO的中點為點M，連接ME.由BE⊥OD，在直角△BEO中ME=12BO，因此可知點E的運動軌跡是以BO為直徑的圓，則當點E處在AM的延長線上時AE的長度最大.

延長BO和AC交于點H，則∠HBA=30°，則BH=ABcos30°=63，OB=23BH=43，

則OM=23，MH=43，在直角△MHA中由勾股定理可得AM=AH2+MH2=221，

因此，AE=AM+ME=221+23.

5 結語

綜上所述，換元轉化、數形轉化、方程與函數轉化、動靜轉化是轉化思想中常用的轉化方法[2].

教學實踐中為提高學習者的應用意識，應在為學習者系統講解相關理論知識的基礎上，結合經典習題逐一講解其在解題中的應用，尤其鼓勵學習者認真揣摩解題過程，多進行總結與反思，真正地理解與掌握不同轉化方法，促進其解題能力的有效提升.

參考文獻：

[1]張錦尾.巧用轉化思想解答數學難題[J].名師在線，2021（18）：38-39.

[2]謝曉玲.巧用轉化思想解答數學難題[J].數理化解題研究，2020（35）：5-6.