轉化思想在初中數學解題中的應用

黃英俊

【摘要】轉換思想是中學數學教學中的一個重要思想，也是解決問題的關鍵.能幫助學生在最短時間內找到問題的解決方法，并能有效地解決問題.在初中數學教學中，要向學生講解轉化思想在解題過程中的具體運用，從而使他們掌握轉化思想的本質，并能在解題時靈活運用，從而大大提高解題能力和解題水平.本文從多個角度出發，著重探討如何運用轉化思想來解決初中數學問題.

【關鍵詞】轉化思想;初中數學;解題應用

轉化思想是數學中基礎思想之一，將不確定的問題變成已知，將復雜的問題變簡單，將抽象的問題變具體，在不同的問題之間也可以運用轉化思想來解決.轉化思想有助于學生分析、解決問題，幫助學生鞏固學習的知識，強化新舊知識的連接，激發學生的學習興趣，增強學生對數學的探索能力.為了讓學生更好地掌握這種轉化思想，要合理安排教學內容，選取具有代表性的練習，并在課堂上向學生解釋如何運用轉化思想，增強他們的思維和解題能力.

1 數形轉化的應用

數形轉換在初中數學問題中具有很高的應用價值.為了讓學生能針對問題進行具體的分析，運用數與形的靈活運用轉換成功、有效地解決問題時，要注意向學生灌輸有關的理論知識，并掌握與數形轉換有關的思想，例如方程問題可以轉換成函數圖象交接點問題等.此外，為了讓學生更好地掌握這種轉化方式，必須重視對相關有代表性習題的講解，確保學生掌握了相關方法，在實際解題中可以靈活運用.

例1 由圖1所示，△ABC的三個頂點分別是A、B、C，若函數y=kx在第一象限內的圖象與△ABC存在交點，那么數值k的取值范圍為.

解析 該題相對來說，難度較大，若直接計算的化，超出初中課程大綱范圍，該題解決的關鍵點在于準確找到數形轉化的切入點，根據反比例函數的基本概念可以得知，當k>0時， k值越大，那么離y軸越遠.當函數k經過A點的時候，為其左邊的臨界.右邊臨界必須要滿足和直線BC相交才符合題意.

解 將點A（1，2）代入函數y=kx中，得出k=2.

根據B，C兩點的坐標，解得直線BC的函數表達式為y=-x+7

那么就可以將原本的在第一象限有交點問題，轉化為y=-x+7和y=kx函數方程至少有一個解的問題，即kx=-x+7有解，整理得x2-7x+k=0有解，即Δ=（-7）2-4k≥0得出k≤494，因而k的取值范圍為2≤k≤494.

2 間接轉化的應用

在解決數學問題時，間接轉化思想可以使復雜的問題簡單化.初中數學間接轉化思想運用范圍很廣， 轉化思想是一種運用廣泛的解題技巧，可以把問題從困難變成簡單，讓學生快速掌握問題的要點，加快解決問題的速度.

例2 將（x2+2x+3）（x2+2x+6）-4進行因式分解.

解析 湘教版初中數學中給出最基本的兩種因式分解的方法：提公因式法和公式法，但直接使用這兩種方法，無法下手，對于初中學生來說，這個式子過于復雜，直接相乘再提取公因式計算復雜，而且超出初中大綱范圍.這個時候就需要用到間接轉化的方式來解題.將x2+2x+3看作為一個整體，換元為y.

解 設y=x2+2x+3，那么上式可以化簡為

y（y+3）-4= y2+3y-4= （y+4）（y-1）

再將y=x2+2x+3代入到分解的因式中，就可以得出

=x2+2x+3+4x2+2x+3-1（x2+2x+7）（x2+2x+2）.

3 降次轉化的應用

在初中數學習題的解題過程中，學生往往會碰到一些難題.此類問題一般不能直接解決，而必須使用轉化思想進行降次處理，將陌生的高階多項式轉化為熟悉的低階多項式.但降次是有技巧的，比較困難.為了讓同學們能熟練地掌握這種轉換方式，并能熟練地運用降階的技巧.應該圍繞著有關的問題，在課堂上與同學們進行積極的互動，并鼓勵他們自己去尋找降次思路與方法，從而更好地加深他們的印象，提高他們處理此類問題的能力.

例3 已知a是x2-x-1=0的一個根，那么a3-2a2+2016的值是多少？

解析 不少學生看到題目將a代入到x2-x-1=0得出a2-a=1，就無法進行轉化，不知道下一步怎樣進行求解.實際上，該題的解答關鍵之處在于利用已有的條件來進行轉化變形.

解 由題可知，a2-a=1，又a3-2a2+2016=a（a2-2）+2016.

將a2-a=1變形a2=1+a代入上式中，可以得出

a1+a-2a+2016=a1-a+2016=a-a2+2016=-1+2016=2015.

4 換元轉化的應用

換元法是中學數學中常用的一種轉換方法.為了讓同學們能靈活地使用換元方法來解決有關的問題.數學練習中要注意向學生灌輸有關的理論知識，讓他們明白，換元是為了更好地解決問題.特別是要弄清換元后的取值區間的變化.同時，強化訓練，拓寬學生的視野，讓學員在練習中不斷犯錯、糾錯、積累換元的經驗.

例4 解分式方程2x2+2x2-7x+7x+2=0.

解析 該題并不可以直接進行換元求解，需要對于已有的方程進行適當的變形再進行換元.

解 原方程可以化為：

2[（x-1x）2+2]-7（x-1x）+2=0，

設y=x-1x，那么上式可以化為：

2y2-7y+6=0，求解，可以得出兩個解，分別是2，32.

當y1=2時，x-1x，求解可以得出x=1±2，

當y2=32時，解得x=-12或x=2.

故原方程共有四個解，分別是x1=1+2，

x2=1-2，x3=-12，x4=2.

例5 設ab=bc=cd=da，求a+b+c+da+b+c-d的值.

解析 這一題實質上屬于“紙老虎”不少學生看到涉及到四個位置的常數項，直接放棄，其實題目中含有比例式或者經過變形可以得出比例式時，就可以將他們設為輔助元，再進行計算或求解.

解 設ab=bc=cd=da=k，那么可以得出a=bk，d=ck，c=dk，d=ak.

因此上述等式左右邊項各自相乘，等到

abcd=abcdk4，由于a，b，c，d四個常數均不為0

推導出k4=1，即k=±1.

當k=1時，a=b=c=d，a+b+c+da+b+c-d=2.

當k=-1時，a=-b=c=-d，

a+b+c+da+b+c-d=0.

轉換思想是初中數學中最常用的一種思維方式，它可以幫助學生解決問題，提高學生的數學綜合能力，培養學生的思維能力.教師在課堂上應當針對不同的題型，采用不同的轉化方式，并注意對學生加以引導，以提高教學效果.讓學生從多個方面來考慮問題，并能積極地發現知識之間的關聯性，構建知識框架，從而使他們在未來更好地發展.

參考文獻：

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