題以類聚，方法在其中

任紅娟

【摘要】中點問題是初中幾何學習的常見問題，結合特殊圖形相關性質、定理后，使得中點問題的復雜性明顯增加，參比中點平分線段性質，在幾何學習中更注重相關特殊圖形中中點輔助線的考察.本文通過總結概括初中全冊中點相關輔助線常見四類問題，即斜邊中線（在直角三角形），中位線，三線合一（在等腰三角形），中線倍長，提煉問題相應解決辦法和技巧，從而系統闡述中點，類中線等數學問題的探究和思考，以期為今后教師教學和學生學習該知識點時提供相應的依據.

【關鍵詞】中點;中點輔助線

初中幾何中，添加輔助線是證解一些題目的必要手段.其目的是通過構建新的圖形，把命題中的已知條件與要證解的幾何問題直接或間接地聯系起來，創造由已知向未知轉化的條件.它“輔”題中條件的不足，“助”證明命題的順利進行[1].當題目中有中點時，如何適當地添加輔助線、合理地利用中點求解問題，是處理中點問題的關鍵.含有中點條件的問題的輔助線的添加多樣、靈活、復雜，不少學生難以掌握，下面針對中點問題舉例談談幾種添加輔助線的方法.

1 斜邊中線（直角三角形）輔助線

當直角三角形中出現中點或中線時，通常會聯想到直角三角形斜邊上的中線定理及其逆定理.通過這兩個定理的應用，完成直角三角形的構圖和相關題目的推導及證明，助力于觀察邊角互換產生等腰三角形的特征[2].

例題1 如圖1，將△ABC沿DE，EF翻折，頂點A，B均落在點O處，且EA與EB重合于線段EO，若∠CDO+∠CFO=98°，則∠C的度數為（? ）.

（A）40°?? （B）41°?? （C）42°?? （D）43°

解析 如圖2，連接OA，OB，因為AE=OE=EB

易證：△AOB為直角三角形，則∠OAB與∠OBA互余，△ABC沿DE，EF翻折，點A，B重合.

所以∠CAB+∠CBA=∠CAO+∠OAB+∠CBO+∠OBA

=12（∠CDO+∠CFO）+（∠OAB+∠OBA）

=12×98°+90°=139°，

所以∠C=180°-139°=41°

例題2 如圖3，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，點E、F分別在AB、AC 上，且AE=EF;若點O、M分別為AF、CE的中點.求證：（1）OM =12CE（2）OB = 2OM

解析 （1）如圖4，

連接OE，BM

因為AB=BC，∠ABC=90°，所以∠A=45°

因為AE=EF，所以∠AEF=90°

因為O為AF中點，所以∠EOC=90°

因為M為EC中點，所以OM=12CE.

（2）如圖4，連接BM，在Rt△EBC中

因為M為EC的中點，所以BM=12CE ，

所以BM=OM=CM，

所以∠BMO=2（∠OCM+∠BCM）= 90°.

所以△BOM是等腰直角三角形，

則：OB = 2OM

上述兩題主要著眼于利用斜邊中線逆定理構造直角三角形.從中點出發，聯想基本圖形的構造，嘗試推理論證，將線段關系巧妙轉化，從而使不在特殊圖形中的線段在新的特殊圖形中獲得意義，問題解決趨于直觀.

2 中位線輔助線

當三角形或四邊形中出現兩個或兩個以上中點時，根據題目條件提示，尋找線索，構造三角形中位線，利用中位線得到線段的平行和倍數關系，助力邊角互換、轉移.

例題2 如圖5，點B為AC上一點，分別以AB、BC為邊在AC同側作等邊△ABD和等邊△BCE，點P、M、N分別為AC、AD、CE的中點.

（1）求證：PM=PN.（2）求∠MPN的度數.

解析 （1）如圖6，連接CD，AE

因為△ABD和△BEC為等邊三角形，

易證：△DBC≌△ABE，所以CD = AE，

因為P、M、N分別為AC、AD、CE的中點

所以MP=12DC， PN=12AE，

所以PM=PN

（2）因為△DBC≌△ABE，

所以∠AEB=∠DCB

因為∠AEB+∠EAB=∠EBC=60°，

所以∠DCB+∠EAB=60°，

易證：∠MPA=∠DCB， NPC=∠EAC，

所以∠MPN=180°-∠MPA -∠NPC=120°

例題3 如圖7，在四邊形ABCD中，AB=CD，E.F分別是BC.AD的中點，連接EF并延長，分別與BA，CD的延長線交于點M，N，求證：∠BME=∠CNE.

解析 在圖8中，連接BD，取BD的中點G，連接GE.GF，根據三角形中位線定理，證明GE=GF，從而∠GFE=∠GEF，再利用平行線的性質，可證明∠BME=∠CNE.

構造三角形的中位線在于三角形的尋找和確定，結合中點個數及他們之間的關系，構造基本圖形中的中位線，達到線段數量關系的證明以及幾何關系的論證[3].

3 三線合一輔助線

“等腰三角形三線合一”是等腰三角形的性質定理，該性質定理的啟發性意義在于可以利用中點添加輔助線構造等腰三角形.在等腰三角形底邊上的中線和高線，頂角平分線這三線中，只要出現兩條線重合，就可以證明等腰三角形的存在.

例題4 如圖9，已知△ABC中，BD平分∠ABC，AE⊥BD于E，求證：∠BAE=∠C+∠DAE.

0

解析 如圖10，延長AE交BC于點F

因為BD平分∠ABF，BD⊥AF

易證：△ABF是等腰三角形，

則：∠BAE=∠BFE

又因為∠BFA=∠C+∠DAE，

所以∠BAE=∠C+∠DAE

當三線中有兩線出現重合的條件時，等腰三角形的結構隨之產生，解題技巧也隨之呈現[4].實現“由二推一”“由一生三”的效果.

4 中線倍長輔助線

中線倍長輔助線的構造技巧常出現在線段兩倍關系或二分之一關系的論證過程中，輔助線作法的相應線索主要隱藏在題目條件的中點或類中點，以及求證結果的倒推[5].中線倍長構造常伴隨全等三角形的構造，實現線段和角度的轉化.

例題5 如圖11，△ABC中，D為BC的中點，

1

2

求證：（1）AB+AC >2AD

（2）若AB=5，AC=3，求AD的取值范圍.

分析 （1）如圖12，延長AD至E，使DE=AD，構造△ADC≌△EDB，使得AC=BE，再根據三角形的三邊關系AB+BE>AE，可得AB+AC>2AD;

（2）直接利用三角形的三邊關系：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊可得5-3<2AD<5+3，再計算即可.

例題6 已知：如圖，在△ABC中，AC≠AB？倖[1]，D、E在BC上，且DE=EC，過D作DF∥BA交AE于點F，DF=AC.求證：AE平分∠BAC

3

4

解析 如圖14，延長FE到G，使EG=EF.連接CG，由于已知條件通過SAS證得△DEF≌△CEG，所以DF=GC，∠DFE=∠G，由平行線的性質和已知條件得到∠BAE=∠CAE.

在中線倍長輔助線的構造過程中，全等三角形的構造至關重要，特別是類中線的結構，我們要關注哪一對三角形全等，哪一組線段轉移，從而有目的地畫輔助線，有目標地完成證明.這種隱藏條件的發現和推倒需要結合輔助線作法及特點以及論證的結果出發，才能做到有的放矢，事半功倍.

5 組合型中點輔助線

中點（類中點）輔助線除上述四種單獨作法外，還會有中點組合型輔助線的出現.這類輔助線的特征是“一線多用”，“雙線三用”.組合型輔助線的圖形常出現在多種特征圖形的組合圖形中，或是特征圖形殘缺某部分后的圖形，所以尋找此類線索，啟發思考，邏輯推導，靈活解題.

6 結語

四類中點輔助線常見的題型是初中數學幾何學習中的重點和難點.把握知識邏輯，尋找正確的解決方法，通過對問題的研究和探索，深刻理解中點輔助線的構圖原理.抓住解題的關鍵核心，嘗試推導輔助線，使問題得以解決.

當有直角三角形和斜邊上的中點并存時，斜中線是首先要考慮的輔助線，該輔助線除了轉移線段的數量關系，也可以用于構造直角三角形或者等腰三角形;當出現2或2個以上中點時，常常會思考添加中位線輔助解題，中位線可以將線段的數量關系和位置關系進行雙重的聯系，可以將不在同一條直線上的線段進行成倍的放縮，中位線形成的位置關系也可以起到轉移角度的功能.伴隨等腰三角形三線合一的性質定理，結合題目已知條件去構造等腰三角形，在特殊的三角形中，會產生更多的性質和定理，幫助學生更好、更快的解決問題，中線（類中線）倍長的輔助線是全等證明中常見的一種方法，通過延長中線，構造全等三角形，產生相等線段，論證相關問題，在此類問題中，伴隨著平行四邊形的產生，使得圖形結構更為生動.

數學輔助線的運用就是對隱藏在特殊圖形中的隱性條件的挖掘，從而將復雜、繁瑣的問題簡化，分解，使問題由原來的僵持局面，變得靈動自如[6].學習中點輔助線的添加，關鍵是尋找模型和題目條件中的信息，通過嘗試和論證，確定核心的輔助線.不同的題目類型就會有不同的輔助線的添加，參照原題信息的描述和推理，選擇相對應的輔助線，提升解題能力.

參考文獻：

[1] 王玉華.如何添輔助線解幾何題[J].科技信息，2009（04）

[2] 楊峰.直角三角形斜邊上中線的性質及其應用[J].中學生數理化，2016（Z1）

[3] 錢永樹.構造三角形中位線的技巧[J].數理化學習，2002（03）

[4] 練東生.等腰三角形問題中常見輔助線作法[J].中學數學研究，2014（09）

[5] 宗友紅.三角形中“倍長中線法”輔助線的用法[J].中學生數理化，2011（02）

[6] 陳柏森.平面幾何證題中作補助線的幾種方法[J].咸寧學院學報，2011（06）