探析《九章算術》在初中數學中的滲透與教學建議

陳晶磊

【摘要】近年來，數學文化已成為教育關注的熱點，數學文化融入中小學數學教材已經成為課程改革的重要標志.《義務教育數學課程標準2011版》中提出教材編寫應體現整體性，注重突出核心內容以及內容之間的相互聯系.數學文化作為教材的組成部分，通過適時介紹有關背景知識，包括數學在與社會中的應用，以及數學發展史的有關材料，幫助學生了解在人類文明發展中數學的作用，激發學習數學的興趣，感受數學家治學的嚴謹，欣賞數學的優美.

【關鍵詞】九章算術;初中數學;課程改革

本文筆者主要以中國的著名的數學著作《九章算術》為例，談談數學文化在初中數學中的滲透與教學建議.《九章算術》總結了秦漢以前我國在數學領域上的重要成就，是以解決生產實踐中的實際問題為目的、以算法為中心的實用數學體系，一共九個章節，以問題集的形式呈現，包含246個數學問題及解決方法與答案，內容涉及算術，數與代數，幾何等諸多領域[2].《九章算術》與《義務教育數學課程標準2011版》的指導思想高度一致，都是要求學生會在具體情境中從數學的角度發現問題和提出問題，并綜合運用數學知識和方法等解決簡單的實際問題，增強應用意識、提高實踐能力.下面我們具體闡述.

1初中教材中的《九章算術》

就福建省在用的三個主要版本的教材中在不同的學段都有滲透有關《九章算術》的內容，主要分布在有理數、方程、直角三角形應用章節，特別是《九章算術》中勾股章的問題，在三個版本的教材中均以問題的形式提出，而且出現的頻率較高，在華師版和人教版同時出現了"葭生池中"和"折竹抵地"兩個問題，在北師版中出現了"葭生池中""竹竿進門""行程問題"和"圓材埋壁"4道勾股章中的問題.具體分布如表1[4]：

從這分布可以看出，教材編寫者研究了初中生的學情和教學目標，根據初中生思維具有片面性和表面性的特征，在這個階段的數學學習重在培養學生的數感、符號感和選擇方法的敏捷感，提高學生的閱讀和分析能力，提出問題、解決問題的能力，建模的能力等.所以《九章算術》中的選例都和以上方面密切相關，在讓學生感受數學文化的同時培養數學感覺，提高數學能力.

2中考試題中的《九章算術》

近兩年中考數學中的《九章算術》考察點主要以數與代數、圖形與幾何為主，主要選自第七章盈不足、第八章方程和第九章勾股[5]，而且應用性逐年提升，下面我們一起通過幾道今年的中考題感受一下.

例1

例2

分析本題出自《九章算術》第九章勾股第，是一道典型的垂徑定理應用的綜合題，在考察方程思想的同時，還考察了勾股定理、垂徑定理.解題的關鍵點在于從實際問題中抽象出圓的數學模型，再運用垂徑定理和勾股定理列方程解決問題.難度較例1類型題略有提升.簡要解答過程如下：

解

例3我國傳統數學名著《九章算術》記載："今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？，譯文：有若干只雞與兔在同一個籠子里，從上面數5個頭，從下面數有94只腳，問籠中各有幾只雞和兔？根據以上譯文，回答以下問題：

（1）籠中雞、兔各有多少只？

（2）若還是94只腳，但不知道頭多少個，籠中雞兔至少30只且不超過40只.雞每只值80元，兔每只值60元，問這籠雞兔最多值多少元？最少值多少元2021黃石）

分析"雞兔同籠"問題是一道非常經典的數學問題，今年黃石用了一種創新的方式考察，通過變式結合了不等式和一次函數的考點，而且以解答題的形式呈現，是這些年來綜合性最強的一類數學文化題，考察學生的綜合能力，難度比前兩道例題類型都大.從本題的出題方式和意圖，提醒我們老師在教學中更多地要教會學生各個數學工具的作用，培養解決問題的能力，讓學生會懂得選擇適當的數學工具解決問題.

具體解答過程如下：

解

3《九章算術》第九章詳細解讀

《九章算術》在教材中的分布以及中考題中考察內容，可以看出第九章，勾股章在教材中滲透比例較大，綜合性較強.因此筆者特別去學習分析了一下《九章算術》第九章.實際上《九章算術》每個章節的編寫有異曲同工之處.

第九章勾股章專門討論有關直角三角形的問題，一共有24問.雖然有24問，但歸類一下可只分為四類問題.其中1-3問是勾股定理a2+b2=c2的三個變式公式的簡單應用，也就是勾、股、弦知二求一問題.4-14問都是利用勾股定理解決實際生活中的實例，其中4、5兩題是勾股定理的直接應用，6-14是要通過設元，利用勾股定理建立方程來解決問題，被三個版本教材引用的5個問題中都選自6-14問，就是這里的第"葭生池中，，第13問"折竹抵地，，第"圓材埋壁，，第12問"竹竿進門，，第14問"行程問題，;接下來的第15 -24都是有關直角三角形內接或內切圖形問題，其中15、16是特殊型的內接正方形和內切圓問題，17 -24是內接矩形問題.這里每一分類問題的解決方法大致相同，通一題會一類，在教學中我們要引導學生真正掌握每一類的解題思路和方法.下面筆者選擇被各個版本教材選取最多的6-14問中15問具體分析.

15問今有勾五步，股十二步.問勾中容方幾何？

白話譯文如圖2，Rt△ABC的兩條直角邊的長分別為5和12，求它的內接正方形CDEF的邊長.

法1

分析這題法一帶有很濃厚的中華文化的色彩，可以通過介紹黃方，朱冪，青冪，帶學生了解中國文化，

提高學生的學習興趣，也讓學生的思維得到拓展，割補法也是數學幾何問題常用的解決問題的方法;方法二的解答相對常規，在教學中讓學生學會抓住幾何結構特征解決問題，提高解題速度.

4討論與建議

根據上述對教材、中考題和《九章算術》的探析，筆者得到以下的思考并提出教學建議：

（一）核心素養是今年教育重點培養的能力.我們在實際教學中，重在引導學生學會分析題目，建立數學模型，掌握解決同類問題的解題方法，不僅要讓學生能夠理解和掌握知識，更要培養學生分析能力和實際解決問題的能力，增強學生的核心素養，有效提高學生的

學習能力，能夠真正學到有用的數學.

（二）教學中教師要引導學生將代數運算與勾股定理相結合.這種代數運算與勾股定理的結合，不僅能夠有效培養學生分析問題以及解決問題的能力，更重要地是能培養學生的數學學習的思維能力，為學生代數運算能力的發展打下良好的基礎.

（三）在教學中宜采用分層次教學.《九章算術》的滲透也告訴我們用同一工具來解決的數學問題也有難易之分，根據學生的不同認知水平，因材施教，讓每一位學生感受到數學對生活的重要作用，并理解所學知識的真正含義，就會激發起每個學生學習數學的熱情、興趣和潛能，學自己能學好的數學.

（四）在教學中要滲透幾何模型的認知，不論多復雜的數學問題離不開簡單模型的構建，因此從復雜模型中抽取出常見的幾何模型，化繁為簡，這是解決復雜數學問題的重要方法.這需要教師在教學中不斷幫助學生分析、分解、練習，才能達到的.

【本文系全國教育信息技術研究2018年度專項課題《基于學習分析的數學測評研究》（課題立項編號：183530004），2020福建省電化教育館教育信息技術研究課題《中學數學"36"混合式教學的實踐研究》（課題立項編號：閩教電館 KT2070），福州市教育科研基地校專項課題《混合式教學在初中數學單元教學設計中的應用研究》（課題立項編號：FZ2020JZx004）的過程性成果;2020年度福建省中青年教師教育科研項目課題《混合式教學模式在中學數學大單元教學中的實踐研究》（課題立項編號：JSZJ20015）】

參考文獻：

[1]洪秀華，周九詩，王尚志，鮑建生.《普通高中數學課程標準（修訂稿）》的意見征詢—訪談張奠宙先生[J].數學教育學報，2015，24（03）：35-39.

[2]曾海龍譯.九章算術[M].重慶.重慶大學出版社，206.10.

[3]全日制義務教育數學課程標準（修改稿）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[4]陳夢瑤，王寶紅，郭甜甜，薛華.融入初中數學教材中的數學史內容比較——以源于《九章算術》和《幾何原本》的內容為例[J].初中數學教育學，2019（5）：7-10.

[5]于波.《九章算術》在數學中考試題中的呈現[J].初中數學教育學，2018（9）：39-41.

[6]梁秀華.《九章算術》在初中教材及中考中的呈現研究[J].中學數學雜志，2019（8）：14-15.