數學課程數形結合思想的運用探討

鄭春林

【摘? 要】隨著教育改革的深化，教育制度和教學模式也在發生著深刻的變革。數字和圖形是數學的兩大要素，為了更好地運用數形結合思想，本文對“數”與“形”的關系進行了分析，并從思想導入、運用方法、運用反思等幾個角度論述了數形結合思想在數學教學中的作用。數形結合的思想是數學的一個重要理念，把“數”和“形”相結合，能把一些難以理解的概念、公式和題目變得生動化、具體化。本文著重論述了數形結合的特點及運用，并以典型的例子說明了數形結合思想的應用思路，以供參考。

【關鍵詞】初中教學;數形結合;教育方法;運用策略

一、初中數學課程教學中數形結合思想概述

（一）數形結合的內涵

數形結合是一種以數字和圖形為基礎的直觀性教學方法，使學生在課堂上能更好地理解和掌握最重要的知識。在初中數學教學過程中，通過直觀的圖形呈現，可以提高學生的想象力和邏輯性。數與形的概念，最早運用數軸與數的概念，透過數軸的顯示，能讓學生更清楚地了解數的上、下、左、右等方位的關系，并能迅速掌握數字的學名，以達到提升教學效果的目的。

（二）數形結合的特點

在一般的數學問題中，“數”與“形”是密切相關的，它可以通過數字的信息，來構建相應的圖形，并運用幾何特性，使問題更為直觀。一方面，通過數形結合把復雜的問題轉化成簡單的圖形形式，有助于學生對復雜問題的深度認識，減少學習過程中的復雜度;另一方面，把一些重要的信息轉換為數字，通過對這些數據的相互關系進行深入的研究，可以使學生更好地理解“形”的性質。靈活運用數形結合的思想，在數學學習和解題的過程中，有意識地培養學生的思考能力，使他們能夠更好地理解和掌握數學知識。

二、運用數形結合思想解決的問題及導入方式

有些教師在課堂上沒有認識到數形結合的真正意義，使學生無法真正了解數學的實質。數字與圖形結合的教學多為理論性與技術性的教學，增加實踐性的課程，注重實務問題的運用。數形結合的概念具有廣闊的應用前景，因此，要充分發揮教師的創造力，不斷地擴展相關知識，以保證整個數學思維的構建有載體和支撐。數與形的結合，要求學生在教學和解決問題時，充分發揮數形的特性，以達到良好的交互作用，而不是顧此失彼。

（一）運用數形結合思想解決的問題

數形結合思想常用來解決以下問題：一是解決集合問題。利用數軸線作為載體，解決了集合間合、并、交、補等運算，簡化了問題，減少了運算量。二是函數問題的求解。利用函數的對稱軸、坐標交點等重要參數，可以迅速、簡便地繪制出大部分函數的圖像，而圖形的直觀性則能使學生在處理復雜的問題時更加靈活和多樣化。三是對不等式的求解。不等式問題的本質就是研究某一區間內的兩個函數的變數，若能得到這兩個函數的交點，再結合它們在不同的區間上的單調性，就可以迅速地求解這類問題，并使學生更好地理解不等式的本質。四是絕對值問題的求解。絕對值與兩個具體的點的間距相等，這是在求解這類問題時所要建立的概念。

（二）數形結合思想的導入

教師要認真領會教材中各個知識點的要點，合理選擇教學素材，在教學法設計的過程中反復思考，把數形結合的思想很好地融合在一起。在教學中，教學設計要以學生的認知層次為基礎，充分發揮教師的指導作用，闡明數形結合的概念，使學生更好地了解有關的知識，并逐漸打開“數”和“形”的隔閡，使學生掌握數形結合的本質。

比如，在講授函數的知識點時，教師會給學生講解一些基礎的概念，比如自變量、因變量等，對于剛接觸這些知識的同學而言是很難理解的。但是，如果用坐標系、描點等方法繪制出一個函數的圖形，那么y坐標值隨x的變化就會變得非常清晰，學生就可以輕松地掌握自變量、變量和函數的關系。在以后的一元二次函數的說明中，有很多知識都能有效地進行遷移。

1.以“數”化“形”

“數”與“形”在數學問題中存在密切的聯系。“形”具有直觀、圖形化等特點，有助于學生建立熟悉的情境，把數量問題轉換成圖形問題，并對圖形進行分析，從而得到相應的解決方案。從“數”向“形”轉換的基本思路是：確定問題的已知數量與未知量，同時確定問題的類型;如果所給出的問題涉及函數、不等式、絕對值等問題，應首先構建符合題目的數學模型，并對圖形的性質、幾何意義進行分析，從而解決相應的問題。

2.以“形”變“數”

雖然圖形具有直觀等特點，但是在定量、精確表達有關問題時，一定要借助于“數”，才能使“形”向“數”轉換，有效地運用現有的知識，準確地掌握圖形的特性。首先對題干進行深入的分析，充分發掘問題背后的已知知識，并根據所給出的圖表找到對應的數目關系，并在此基礎上找到對應的數字關系、查找相關的關鍵信息，以求出該關系中的未知量，并運用簡化的數量關系表達式來解決問題中的未知量。

3.“形”與“數”互變

在大多數數學問題中，要做到“數”變“形”，還要把“形”變“數”，最終實現“形”和“數”的動態轉化，這就需要把“形”的直觀性和“數”的嚴謹性結合起來。

例如，在解決函數問題時，要培養學生自覺作畫的習慣，并充分利用現有的知識庫，把一些重要的信息，如對稱軸、增減區間、交點等，用數字的方式精確表示。通過兩者的動態轉化，使題目由繁入簡，由抽象到具體。要使學生能夠熟練地使用數形結合的思想，就必須在平時的教學中積極地滲透和引導。

三、初中數學課程教學中數形結合思想運用策略

（一）有理數教學中的貫穿

在數軸上，所有的有理數都有唯一確定的點。雖然是有理數，但也要求學生記住它在數軸上的位置，這才能讓學生更好地理解有理數的特性和計算規律，為以后的考試做好準備。讓學生更好地了解有理數的計算規律，幫助他們更好地感知到點的移動方向和距離對他們的移動產生的影響。簡單來說，就是經過兩次連續運動結果中點和原點的位置關系，進行兩個數字和的符號確認，最終可以得到兩個數字和的絕對值。

（二）方程教學中的融入

在解決實際問題時，常常要根據題意迅速掌握等量關系，并列出相應的公式，因此，學生必須事先根據題意畫出相應的圖表，這其中就包含了數形結合的思想。比如行程類問題的講授過程中，教師要鼓勵學生積極地運用數形結合的思想來畫出相關的圖形，然后迅速地抽取和列舉出相應的等價關系，從而找到破解難題的出口，得出正確的答案。

（三）不等式教學中的應用

在講解“一元一次不等式組”的問題時，亦同步引出有關問題情境，即杜鵑花的種植類問題，它的主要目的是幫助學生盡快弄清楚一元一次不等式和二元一次方程組的共同特點，也就是讓學生能夠獨立地分析問題，并建立不等式群。在此過程中，教師也可以將不等式的解集用圖形表示出來，使學生了解不等式具有無窮多解的特點。

（四）函數教學中的推廣

例如，在直角坐標系中，有序實數對（x，y）與P是點對應，因此，把圖形與思維相結合，是函數教學的必然。換言之，通過圖表來表達一個函數，可以讓學生更好地了解函數的特性，從而為以后的數學研究和應用奠定基礎。

又如，在介紹二次函數的時候，教師可以設計和展示一種圖片：在一個公園的中央，有一個圓形的噴泉，在這個噴泉的中間，有一根圓柱。這時，從柱頂A點噴嘴向四面八方噴射水，水流從不同的方向呈弧形，為了讓水流看起來更漂亮，出水口需要在（O）A 1.3m的地方，且最大高度是2.25m。如果不考慮其他的問題，至少要有多大的直徑，才能保證水不會從池塘里流出來？如果水的拋物線和之前的問題一樣，那么在3.5m的范圍內，最大的水位是多少？在確定了問題后，再進行一系列的實務操作，即：觀察分析問題的量，確定常量、變量的實際變化類型，弄清變量之間的關系，確定變量之間的關系，同時確定具體的函數關系;根據函數關系，對二次函數的極大值和極小值微積分，以確定其是否符合現實問題的需要。在這種設計和引導下，學生可以根據問題的數量變化，很快就畫出生動的圖形，并且利用二次函數的知識，來解決實際問題。在這個過程中，教師的主要任務就是讓學生對數學問題的數學表達進行理性的理解，讓他們了解到二次函數是一種有效的數學模型，可以幫助他們獲得更多的數學知識、解題方法和技巧，并充分利用數學的價值。

四、反思與總結

（一）初中數學課程教學中數形結合思想的運用反思

在數學教學中，有效的實踐活動是一個不可或缺的環節，也是拓展學生知識面和發展思維的一種重要途徑。學生在練習有針對性的問題時，會逐漸認識到數形結合方式在解決相關的數學問題中所具有的優越性，并且逐漸地將其融入到自己的頭腦中。因此，在習題時應注重選題的質量，要充分體現出原有知識點的整體性和新知識之間的關聯性，突出數形結合的優勢。數形組合提倡通過數字的交互作用來分析和處理一系列的實際問題，這是一個非常重要的數學概念，它具有廣泛的應用范圍和解決各種問題的能力，這對初中生來說是非常有意義的。所以，中學數學教師未來應該多加努力，通過設計一系列生動有趣的問題，來吸引學生的注意力，增強學生的學習興趣，提高他們的數形結合能力，提高學生的創造力，從而提高他們的數學綜合能力。

（二）初中數學課程教學中數形結合思想的運用總結

本文認為，數形結合思想具有直觀、雙向性強，的特征，要使其在數學教學中得到充分的應用，必須抓住教材，找到切入點，使思想的整體滲透有載體和支撐，提高學生運用數形結合思想分析問題、解決問題的能力。

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