改進教學出新意，高屋建瓴揭本質

[摘? 要] 隨著新課改的推進，各種教學方式的探索開展得如火如荼，但不論教學形式發(fā)生怎樣的變化，教學的基本原則——注重數(shù)學本質的揭示，永遠不會發(fā)生改變. 揭露本質是一切教學設計的基本思想，是數(shù)學教學的立足之本. 文章以“配方法解一元二次方程”的教學設計為例，對如何揭露數(shù)學本質，談一些具體的思路與看法.

[關鍵詞] 本質;教學設計;一元二次方程

新課標提出：形式化雖為數(shù)學的基本特征，但教學時不能拘泥于形式化的表達，更要強調學生對知識本質的理解，否則會讓生動活潑的數(shù)學思維，淹沒在形式化的海洋中[1]. 然而，數(shù)學的本質是什么？我們在教學設計時，該如何順利揭示其本質呢？實踐證明，初中數(shù)學教學是思維的教學，是滲透數(shù)學思想，引導學生形成良好思維習慣的教學.

數(shù)學本質的理解

從不同的角度來看，數(shù)學的本質有著不同的解釋：從學科結構觀察，其本質為模型;從表現(xiàn)形式來分析，其本質是符號;從實際應用價值來看，其本質為工具;從表現(xiàn)形式來分析，其本質是方法;而從教學過程來看，其本質是運算與推理;從教育形態(tài)分析，其本質是思考與過程. 本文以“配方法解一元二次方程”的教學設計為例，著重從教育形態(tài)的角度來揭示數(shù)學的本質.

從數(shù)學的發(fā)展過程來看，要讓數(shù)學完全形式化，是絕對不可能的. 眾所周知，數(shù)學與生活有著密不可分的聯(lián)系，這種聯(lián)系越緊密，就越發(fā)凸顯出數(shù)學探索過程的重要，學生對數(shù)學思維活動的認識與體驗就越發(fā)深刻. 鑒于此，數(shù)學教學過程中揭示知識的形成與發(fā)展的歷程，能讓學生對知識的本質產生更加直觀的感受，體驗到知識所蘊含的數(shù)學思想，從而獲得發(fā)現(xiàn)真理的方法.

教學設計分析

1. 教學簡錄

在某次聽隨堂課時，一位教師在執(zhí)教“配方法解一元二次方程”時，呈現(xiàn)出以下教學流程.

環(huán)節(jié)一：舊知復習，導入新知

師：大家在之前已經接觸過完全平方公式，現(xiàn)在請大家回顧一下完全平方公式具有什么典型特征？

生1：完全平方公式為（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2，其主要特征為等號左右兩邊的數(shù)據，具有一定的規(guī)律：一邊為兩個數(shù)的和或差的平方，還有一邊為兩個數(shù)的平方和“+”或“-”兩個數(shù)乘積的2倍.

師：這里提到了“+”或“-”兩個數(shù)乘積的2倍，什么時候加，什么時候減呢？

生2：這要看求兩個數(shù)和的平方還是差的平方了.

師：非常好，現(xiàn)在我們一起來做幾道練習.

活動1：在括號內填上適當?shù)臄?shù)，讓式子成立.

①x2+24x+（? ）=（x+12）2;

②x2-12x+（? ）=（x-6）2;

③x2+12x+（? ）=（x+___）2;

④x2-8x+（? ）=（x-___）2.

問題：以上幾個式子的左邊常數(shù)項與一次項系數(shù)具有怎樣的聯(lián)系？遇到類似于x2+ax之類的式子，該怎樣配成完全平方式？

（學生小組合作交流）

環(huán)節(jié)二：活動開展，新課授課

活動2：解方程x2+8x-9=0，師生共同探討此方程的解法.

活動3：練一練，解以下方程.

①x2-10x+25=7;

②x2-14x=8;

③x2+2x+2=8x;

④x2+3x=1.

在學生自主解方程的基礎上，教師著重強調配方法的使用步驟，特針對一次項系數(shù)為奇數(shù)的情況，進行重點強調與講解，以強化學生的認識.

活動4：課堂小練，解以下方程.

①x2+12x+25=0;

②x2-9x=-19;

③x2+4x-10=0;

④x2-6x-11=0;

⑤求證：式子x2+4x+5中，無論x的取值是多少，結論一定大于0.

活動5：課堂總結.

師生共同回顧本節(jié)課教學的重點與難點知識，總結、交流利用配方法解一元二次方程所遵循的基本思路與步驟，并著重強調配方法應用過程中的注意事項.

2. 教學分析

綜合分析本節(jié)課的教學，教師的活動安排基本以配方法的實際應用為主，試圖讓學生在反復的練習中，產生更加深刻的印象，達到熟能生巧的地步. 殊不知，課堂時間彌足珍貴，我們應將課堂時間充分利用起來，本節(jié)課的重點是配方法的應用，那么教師就應該帶領學生一起探索配方法應用的具體過程，而不是將精力集中在練習訓練中.

觀察學生所做的課堂小練，大家對于方法的掌握還不錯，大部分學生都能順利應用配方法來解決一元二次方程. 但細細回味，又覺得課堂過于淺顯，缺乏了數(shù)學思想的滲透過程，也沒有揭示配方法的實質，這節(jié)課對提升學生的能力方面，還有待加強.

經過一定的思考，筆者認為本節(jié)課首先要引導學生思考：用配方法解方程的意圖是什么？說到底，用配方法解一元二次方程，就是將方程配成（x+m）2=n的一般形式，即將二次方程轉化為兩個一元一次方程形式，即（x+m）=±. 學生對于一元一次方程的解法已經相當熟悉，這就是將未知轉化為已知的過程，也是化歸思想在教學中的滲透過程.

本節(jié)課，我們不僅要引導學生如何用配方法解題，還要讓學生知道配方法應用的實際目的是什么？這位教師將目光聚焦在學生的解題練習上，而忽略了對知識間聯(lián)系的剖析，學生也少了自主探索的過程，問題的本質并未暴露出來.

3. 教學改進

新課標提出：學習過程應該是一個主動、生動、富有個性的過程，教師應給予學生充足的時間與空間，讓學生親歷實驗、觀察、猜想、驗證、推理等過程.? 鑒于此，本節(jié)課應引導學生對配方法進行自主探索，鼓勵學生自主揭露這種方法的本質.

制定教學目標：

（1）根據平方根的意義，能解類似于（x+m）2=n（n≥0）之類的方程;

（2）理解配方法的目的及意義，能用它解簡單的一元二次方程，感知數(shù)學轉化思想.

學情分析：

在之前的學習中，學生已經接觸過“開平方”的相關內容，對一元二次方程的概念、方程根的估算、方程解的意義、作用等都有了一定的認識，這些內容都是本節(jié)課教學的基礎. 鑒于此，學生在原有認知結構上，有能力通過自主思考、合作交流等方式，來探討本節(jié)課的教學主題.

基于這幾點思考，筆者對本節(jié)課的教學設計進行了如下改進.

環(huán)節(jié)一：復習舊知，引入主題

活動1：思考以下幾個問題：

①如果已知一個數(shù)的平方為7，那么這個數(shù)可能是多少？②非負數(shù)a存在幾個平方根？平方根之間具有怎樣的聯(lián)系？③因式分解的完全平方公式，該如何用字母符號來表示？

環(huán)節(jié)二：自主探究，啟發(fā)思維

問題：（1）你們會解的一元二次方程有哪些？

（2）解下列方程：①x2=5;②2x2+3=5;③x2+1+2x=5;④72+（x+6）2=102.

（3）在之前的學習中，我們已經研究了梯子底端滑動距離x m，滿足方程x2+12x-15=0，大家能仿照以上幾個方程的求解方法，獲得x的準確值嗎？說說你們所遇到的困難.

（學生進入合作交流狀態(tài)）

此環(huán)節(jié)參考了教材進行設計，三個問題由淺入深、逐層遞進，讓學生的思維呈階梯狀上升.

第一個問題具有啟迪、指向的作用，讓學生思考簡單的一元二次方程的求解方法，如果學生想起來比較困難，第二個問題則是為第一個問題所服務，讓學生通過解幾道題來啟發(fā)思維. 如解方程x2=5，利于學生回顧平方根的意義;解方程2x2+3=5，可將問題轉化為x2=1，根據平方根的意義可獲得x的兩個解;解方程x2+1+2x=5，可將問題轉化為（x+1）2=5，將它與x2=5進行比較，可順利獲解;而方程72+（x+6）2=102則可轉化成（6+x）2=51，運用以上求解方法，也可快速獲得問題的解.

第二個問題，待求解的方程，看似形式多樣，但每個方程都具有明確的指向性，即用開方法，將一元二次方程轉化成一元一次方程進行求解，而且這幾個方程間又存在一定的內在聯(lián)系，學生的思維也隨著方程的變化而逐漸深化. 求解過程中，教師也可沿著學生的思路，適當?shù)丶右渣c撥，以滲透數(shù)學思想，讓學生邊轉化邊求解，從而獲得更多、更深的思想感悟.

第三個問題則從實際問題出發(fā)，引導學生初步體會開方法的實際應用，這是配方法的基礎，也是解一元二次方程的根本.

環(huán)節(jié)三：新課授課，合作學習

沿著以上解決梯子底部滑動的問題，引導學生繼續(xù)往下思考，要求學生先自主探究，再與教師積極地互動交流. 在交流過程中，教師將本題的解題過程板書在黑板上.

環(huán)節(jié)四：課堂小結，知識梳理

要求學生用小組合作交流的方式來討論：用這種方法來解一元二次方程，應遵循怎樣的思路與步驟，其中的關鍵點與難點是什么？

4. 設計意圖

改進后的教學方法，通過師生積極、有效的互動，對例題進行講解、分析，完整地展示了規(guī)范配方法求解一元二次方程的步驟與過程，讓學生深切體驗到這種解方程的方法與主要思路，并對解題過程中的關鍵點，即用轉化思想，將方程轉化為（x+m）2=n（n≥0）的形式，實現(xiàn)求解.

值得注意的是，有些方程雖存在兩個異同的解，但我們應結合問題的實際情況，檢驗解的合理性，對于不合理的解需要舍掉. 關于梯子底部滑動的問題，在之前的教學中就有涉及，本節(jié)課繼續(xù)引用這個例子，不僅達到前后呼應的作用，還讓學生心理上產生一種親近感，為形成良好的情感態(tài)度奠定基礎.

課堂小結環(huán)節(jié)，要求學生思考配方法解一元二次方程的步驟與思路等，主要是為了幫助學生梳理知識的脈絡，讓學生自主抽象出相關的定義，并學會自主應用配方法來求解方程. 其中，教師還特地提出用配方法解一元二次方程的關鍵點與難點是什么問題，主要是讓學生重新審視自己的思維過程，對于易錯點或思維的障礙點，再次鞏固、提升，以有效揭露數(shù)學本質.

幾點思考

1. 建構新知顯本質

張奠宇教授提出：數(shù)學本質涵蓋知識間的規(guī)律、聯(lián)系、思想方法以及數(shù)學理性精神的體驗[2]. 從中也能看出數(shù)學本質與其他學科有著顯著區(qū)別. 要在課堂教學中彰顯知識的本質，首先要從新知的建構著手，通過教學活動的開展，凸顯出知識的內涵，讓學生建構完整的認知結構，獲得求真求簡的學習習慣.

量子論的創(chuàng)設者普朗克認為：數(shù)學的知識結構是客觀存在的內容，教學中幫助學生建構完整的知識結構，不僅能幫助學生發(fā)現(xiàn)知識間的內在聯(lián)系，還能建立良好的認知體系，為知識的記憶、遷移、檢索與應用奠定基礎. 因此，新知的建構，最利于揭示數(shù)學本質，這也是課堂重要性的體現(xiàn).

本節(jié)課，新知建構過程中，教師引導學生結合原有的認知結構，通過新知的引入、交流、探究與合作等方式，成功地幫助學生理清了知識間的聯(lián)系，讓學生建立了良好的認知結構，有效地揭露了知識間的邏輯關系，使得學生在后繼學習中，達到“見木成林”的能力. 通過兩節(jié)課的分析，顯然經過改進后的課程顯得更加厚重且有深度.

2. 親身經歷悟本質

課堂教學不僅僅是知識與技能的教學，更重要的是能力的培養(yǎng). 本節(jié)課，值得思考的問題在于如何讓學生親歷知識的形成與發(fā)展過程，并獲得良好的學習體驗，為揭露數(shù)學本質奠定基礎. 第一種教學設計，將本節(jié)課非常清晰地分解為幾個環(huán)節(jié)，著重以課堂練習訓練為主，學生看似學會了解題，但并沒有掌握知識的本質與解方程過程中所蘊含的基本思想，這樣的課堂過于淺顯，很難讓學生的思維獲得提升.

改進后的教學，需要學生積極地參與互動與探究，親身感受配方法解一元二次方程的原理. 此過程不僅揭示了問題的本質，還能有效地培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，為核心素養(yǎng)的形成奠定基礎.

3. 滲透思想傳本質

數(shù)學思想是人類對數(shù)學現(xiàn)象抽象與概括的認識，學習過的知識有可能會被遺忘，但獲得的數(shù)學思想卻能伴隨人一生. 它作為知識形成與發(fā)展所依賴的基本思想，是學習過數(shù)學與沒有學習過數(shù)學的思維差異所在. 因此我們應重視教學過程中數(shù)學思想方法的滲透，這也是揭露數(shù)學本質的基本途徑.

本教學過程涉及的數(shù)學思想方法有化歸思想、方程思想、推理思想等. 改進后的教學設計，將數(shù)學思想滲透于教學的方方面面，讓課堂充滿了思想性與靈動感，學生思維也隨著數(shù)學思想方法的應用而螺旋式上升.

總之，作為新時代的一線數(shù)學教師，應立足于長遠的“育人”目標，摒棄“高分低能”“速成教育”的理念，認真鉆研教學，領悟新課標的精神，將揭示數(shù)學本質的教育理念落到實處[3]. 讓學生在課堂中學有所得，學有所成. 實踐證明，數(shù)學本質的揭露過程是自然、本真、水到渠成的過程. 我們只要緊扣本質的精髓，就能讓教學變得豐富而又實用.

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部. 義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2] 張奠宙. 教育數(shù)學是具有教育形態(tài)的數(shù)學[J]. 數(shù)學教育學報，2005（03）：1-4.

[3] 史寧中. 數(shù)學教育的未來發(fā)展[J]. 數(shù)學教學，2014（01）1-3+18.

作者簡介：蔡麗娟（1985—），本科學歷，中小學一級教師，從事初中數(shù)學教學工作.