共頂點相似等腰三角形問題的本質及其變式探究

林壯青 王海青

[摘 ?要] 幾何是培養學生空間思維和想象能力的重要載體，也是中考的重要考點. 處理幾何綜合問題的關鍵是從復雜圖形中找出常見的基本圖形及其位置與數量關系，將復雜問題簡單化，從而找到解決問題的思路和方法. 研究以共頂點相似三角形問題為例，探討幾何解題教學的路徑與策略.

[關鍵詞] 等腰三角形;幾何教學;變式教學;相似三角形

平面幾何綜合問題是中考必考的壓軸題之一，是初中中考復習的重點，也是難點，主要考查學生綜合運用幾何知識解決問題的能力，培養空間思維和想象能力. 處理幾何綜合問題的關鍵是從復雜圖形中找出常見的基本圖形及其位置與數量關系，將復雜問題簡單化. 進而抓住問題的本質進行變式引申，通過一題多解、多題一解實現由一題通一類、由點帶面的效果，幫助學生形成靈活完善的整體知識結構，促進學習的遷移. 而共頂點的相似等腰三角形問題頻繁出現在近年來的中考試題中，下面以此類問題為例，按照波利亞《怎樣解題》[1]的思想，探析如何開展有效乃至高效的數學解題教學，以提高學生解決問題的能力培養良好的數學思維.

題例

共頂點相似等腰三角形問題：如圖1所示，△ABC是等腰三角形，AB=AC，△ADE是等腰三角形，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=α°.

分析：上面三個圖形只是兩個等腰三角形的相對位置不同，可以看作是圖形的變式，但本質一致，結論相同. 該圖包含了豐富的平面幾何知識，涉及全等三角形、相似三角形、角平分線以及圓的性質等，其關鍵就是兩個相似的等腰三角形及其隱含的數量與位置關系，由此可以構建復雜多樣的幾何圖形和相應的幾何問題.

主要結論：以圖1③為例得到圖2，容易得到以下結論.

（1）△BAD≌△CAE;

（2）BD與CE相交于點F，有∠BFC=α°;

（3）AF 平分∠BFE;

（4）A，B，C，F四點共圓，A，F，D，E四點共圓.

證明：（1）因為∠BAC=∠DAE，

所以 ∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE，∠BAD=∠CAE.

在△BAD與△CAE中，

AB=AC，

∠BAD=∠CAE，

AD=AE，

所以△BAD≌△CAE（SAS）.

（2）由（1）知△BAD≌△CAE，所以 ∠11=∠10，∠AOB=∠COF（對頂角相等），∠1+∠AOB+∠11=180°，∠3+∠COF+∠10=180°，∠1=∠3，即∠BFC=α°.

（3）過點A作AG⊥BD于點G，作AH⊥CE于點H，如圖3所示.

由△BAD≌△CAE知AG=AH，所以AF平分∠BFE.

（4）如圖2所示，由（2）知∠11=∠10， ∠AOB=∠COF，所以△AOB∽△FOC，=.

因為∠BOC=∠AOF（對頂角相等），所以△BOC∽△AOF，∠8=∠9.

因為AB=AC，所以∠8=∠ABC，∠ABC=∠9.

因為∠1=∠3，所以∠9+∠3+∠ABC=∠8+∠1+∠ABC=180°，所以A，B，C，F四點共圓.

同理可證A，F，D，E四點共圓.

變式探究

以共頂點相似等腰三角形的問題及其圖形為原型，可以生發出一類重要的平面幾何問題，解決問題的過程突出體現了“截長補短”的方法策略與其蘊含的構造、轉化與化歸的重要數學思想.

變式1：（將圖形條件特殊化）：如圖4，點D為等邊三角形ABC的BC邊外一側的一點，AD交CB于點E，∠ADB=60°，求∠ADC的度數.

分析 ?對于九年級的學生來說，比較簡便的方法是先證明四點共圓，再利用圓的性質即可得到結果，也可以運用相似三角形的性質. 對于七八年級的學生，則需通過構造全等三角形利用相關性質來達成對問題的解決. 本題本質上還是共頂點相似等腰三角形問題.

解答 ?解法一（利用圓的性質），如圖5所示，構造△ABC的外接圓☉O，在弧AB上任取一點C′，連接線段AC′，DC′，BC′.則∠AC′B=120°. 因為∠ADB=60°，所以∠ADB+∠AC′B=180°，所以A，C′，D，B四點共圓. 在等邊三角形ABC中，∠CBA=60°，所以∠ADC=60°（同弧所對的圓周角相等）.

解法二（利用“反八字相似模型”或“蝴蝶結相似模型”構造相似三角形），如圖4所示，AD交CB于點E. 在等邊三角形ABC中，∠ACB=60°，且∠ADB=60°，所以∠ADB=∠ACB，∠AEC=∠BED（對頂角相等），△AEC∽△BED，=（相似三角形對應邊成比例），=. 因為∠CED=∠AEB（對頂角相等），所以△ABE∽△CDE（SAS），∠ADC=∠ABC=60°（相似三角形對應角相等）.

解法三（截取長線段構造全等三角形），如圖6所示，在AD上截取AF=BD，并連接CF，且在等邊三角形ABC中，∠ACB=60°，AC=BC.

因為∠AEC=∠BED，且∠ADB=60°，∠CAE+∠AEC+∠ACB=180°，∠CBD+∠BED+∠ADB=180°，所以∠CAE=∠CBD. 在△ACF和△BCD中，AC=BC ，

∠CAF=∠CBD，

AF=BD，所以△ACF≌△BCD（SAS），CF=CD（全等三角形對應邊相等），∠ACF=∠BCD（全等三角形對應角相等），所以∠BCD+∠FCB=∠ACF+∠FCB，∠FCD=∠ACB=60°，△DFC是等邊三角形，所以∠FDC=60°，即∠ADC=60°.

解法四（補長短線段構造全等三角形），如圖7所示，延長DB至點F，使DF=DA，連接AF，且∠ADB=60°，所以△ADF是等邊三角形. 所以AF=AD，∠FAD=∠AFD=60°.

在等邊三角形ABC中，∠CAB=60°，AB=AC，所以∠CAB=∠DAF，所以∠BAF+∠BAD=∠CAD+∠BAD，即∠BAF=∠CAD.

在△ABF和△ACD中，因為AC=AB，

∠BAF=∠CAD，

AF=AD， 所以△ABF≌△ACD（SAS），∠AFB=∠ADC，所以∠ADC=∠AFD=60°.

小結 ?解法三、解法四、解法五就是用“截長補短”的思想構造全等三角形，從而還原出題例“共頂點相似等腰三角形”的幾何圖形的原型. 將本題的結論改為“證明：AD=BD+CD”，或將題目的條件“等邊三角形”改為“等腰直角三角形”“一般的等腰三角形”，將問題逐步一般化，解決過程一樣. 如以下四個變式問題.

變式2：如圖8所示，點D為等腰直角三角形ABC的BC邊右上方一側，AD交CB于點E， ∠ACB=∠ADB=90°，求∠ADC的度數，并求證：AD=BD+CD.

變式3：如圖9所示，點D為等腰三角形ABC的BC邊外一側的一點，AD交CB于點E，∠ACB=∠ADB=α°，求∠ADC的度數（用含α的代數式表示）.

變式4：如圖10所示，點D為等邊三角形ABC的BC邊外一側的一點，AD交CB于點E，若AD=DB+DC，求證：A，B，C，D四點共圓.

變式5：如圖11所示，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=AB，將△ABC繞點C逆時針旋轉得到△CPQ，連接PB交AQ于點D，若PB=2，則AD=______.

更一般地，如果將共頂點相似等腰三角形問題的條件“兩個共頂點的相似等腰三角形”改為“兩個共頂點的相似的一般三角形”，如圖12所示，△ABC∽△ADE. 此時有結論：

（1）△BAD∽△CAE;

（2）BD與CE相交于點F，∠BFC=∠BAC=∠DAE;

（3）A，B，C，F四點共圓，A，F，D，E四點共圓.

參考文獻：

[1]波利亞. 怎樣解題[M]. 上海：上海科技教育出版社，2007.