面積問題歸本質(zhì) 函數(shù)最值細探究

雷淑華

[摘 ?要] 面積最值問題在中考中十分常見，要求考生提煉基本圖形，聚焦相關(guān)幾何量.近年來，通過建立函數(shù)模型解決相關(guān)問題的題型相對增多.文章對陜西中考壓軸題進行特色分析，梳理解題思路，剖析解題原理，提出教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 壓軸題;面積問題;函數(shù)最值;核心素養(yǎng)

幾何最值問題涉及眾多知識點，問題形式也較為多變.求解該類問題，需理解問題本質(zhì)，掌握典型問題模型和重點思想方法，切忌模型固化[1]. 以下試題以生活實際為背景，通過設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，建立面積與邊長之間的二次函數(shù)模型，利用函數(shù)性質(zhì)求解面積最值，解法眾多但殊途同歸，能有效考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

試題呈現(xiàn)

問題提出：（1）如圖1所示，在平行四邊形 ABCD中，∠A=45°，AB=8，AD=6，E是AD的中點，點F在DC上，且DF=5，連接EF，BF，求四邊形ABFE的面積. ?（結(jié)果保留根號）

問題解決：（2）某市進行河灘治理，優(yōu)化美化人居生態(tài)環(huán)境，如圖2所示，現(xiàn)規(guī)劃在河畔的一處灘地上建一個五邊形河畔公園ABCDE. 按設(shè)計要求，要在五邊形河畔公園ABCDE內(nèi)挖一個四邊形人工湖OPMN，使點O，P，M，N分別在邊BC，CD，AE，AB上，且滿足BO=2AN=2CP，AM=OC. 已知在五邊形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=90°，AB=800 m，BC=1200 m，CD=600 m，AE=900 m. 為滿足人工湖周邊各功能場所及綠化用地需要，想讓人工湖面積盡可能小. 請問，是否存在符合設(shè)計要求的面積最小的四邊形人工湖OPMN？若存在，求四邊形OPMN面積的最小值及這時點N到點A的距離;若不存在，請說明理由.

試題分析

1. 解法分析

對于第（1）問，不規(guī)則四邊形ABFE的面積不便直接計算，可利用“割補法”將問題轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積之和或之差. 連接AF，S=S+S或S=S-S-S，細節(jié)不再贅述.

第（2）問的條件眾多，可逐一推導(dǎo). 由“五邊形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=90°，AB=800 m，BC=1200 m，CD=600 m，AE=900 m”，可知該五邊形形狀確定，面積確定;若延長CD，AE，交于一點，可形成確定的矩形;由“點O，P，M，N分別在邊BC，CD，AE，AB上，且滿足BO=2AN=2CP，AM=OC”，可知四邊形OPMN是不確定的;因為AM=OC，AN=CP，∠A=∠C=90°，所以△AMN≌△COP，所以MN=OP，同理，NO=MP，因此四邊形OPMN是平行四邊形，使之面積最小即可. 由于其并無確定的底或高，無法通過控制高或底最小使其面積最小，結(jié)合第（1）問的思路，將之轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積之和或之差從而間接求解. 在表示規(guī)則圖形面積時，“逢山開路，遇水搭橋”，設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，表示出未知邊長，求出面積與邊長之間的函數(shù)表達式，求函數(shù)最值即可.

2. 特色分析

本題背景樸實，表述自然. 第（1）問起點低，入口寬，符合考生的認知水平和心理特征，幫助考生耐心審題、細心計算，從而建立自信;通過“割補”法間接計算不規(guī)則圖形的面積也為其解決第（2）問提供了直接經(jīng)驗. 第（2）問圖形簡單，問題了然，解題思路與（1）一脈相承;但從必然到或然，學(xué)生需要從新的問題情境中抽象出數(shù)學(xué)模型，綜合性增強，層次性更豐富，達到了“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的目的. 整個題目不僅體現(xiàn)了對基礎(chǔ)知識和基本技能的評價，也體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)思考和問題解決的評價.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想. 為了適應(yīng)時代發(fā)展對人才培養(yǎng)的需要，數(shù)學(xué)課程還要特別注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.[2]” 現(xiàn)將第（2）問中對核心素養(yǎng)的考查分析如下：

首先立足幾何直觀，整體把握圖形. 結(jié)合已知條件對圖形進行確定性分析[3]，經(jīng)過演繹推理，確定其為面積已知的五邊形，四邊形OPMN為平行四邊形，無確定的底或高;經(jīng)過合情推理，類比第（1）問割補法，確定總體思路為通過“補形”或“分割”表示面積，考查學(xué)生的推理能力. 面積表達過程中，符號意識啟發(fā)學(xué)生使用適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)表示邊長之間的數(shù)量關(guān)系并進行運算和推理，得到面積與邊長的一般關(guān)系，即建立函數(shù)模型. 接著二次函數(shù)一般式與頂點式的互化、最值的生成與檢驗等體現(xiàn)運算能力. 縱觀始末，從“人工湖面積”中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)方法求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義，反之應(yīng)用到實際問題中，體現(xiàn)了模型思想;建模過程中，考查了學(xué)生的應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識.

解法薈萃

如圖3所示，分別延長CD，AE，交于點F，則四邊形ABCF為矩形.

設(shè)AN=x，則CP=x，BO=2x，BN=800-x，AM=OC=1200-2x，為確保四邊形OPMN的存在性，則0≤AM≤AE，0≤CP≤CD，即0≤1200-2x≤900，0≤x≤600，解得150≤x≤600.

由題，MF=BO，PF=BN，△AMN≌△COP，△NOB≌△PMF，四邊形OPMN為平行四邊形.

以上推理過程不再重復(fù)說明.

1. 思路一：補形法

解法1：矩形補形.

S=S-S-S-S-S=S-2S-2S=800×1200-x（1200-2x）-2x（800-x）=4x2-2800x+960000=4（x-350）2+470000.

所以當(dāng)x=350時，S=470000，經(jīng)檢驗，150<350<600，故該圖形存在，所以四邊形OPMN面積的最小值為470000 m2，此時AN=350 m.

解法2：五邊形補形.

S=S-2S-S-S=930000-x（1200-2x）-·2x·（800-x）-

·2x（800-x） -30000=4x2-2800x+960000.

其余同解法1.

解法3：矩形或五邊形補形，求其余圖形面積之和的最大值，例如：

S=S+S+S+S=-4x2+2800x=-4（x-350）2+490000.

所以當(dāng)x=350時，S=490000，S=960000-490000=470000.

其余同解法1.

2. 思路二：分割法

解法4：沿對角線分割

如圖4所示，連接NP，S=2S=2（S-S-S）=4x2-2800x+960000.

其余同解法1， 連接MO同理.

解法5：沿水平寬或鉛垂高分割.

如圖5所示，以B為原點，分別以BC，BA所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AN=CP=a，則N（0，800-a），P（1200，a），O（2a，0），連接NP，過點O作y軸的平行線交NP于點G.由待定系數(shù)法，得直線NP的解析式為y=x+800-a，所以G2a，

a2

-a+800.

所以S=S+S=·OG·BO+·OG·CO=·OG·BC=2a2-1400a+480000.

所以S=2S=4a2-2800a+960000.

其余同解法1， 連接MO同理.

解法6：弦圖分割.

過動點N，P作BC的平行線，過動點M，O作AB的平行線，分別交于Q，R，S，T，將四邊形OPMN劃分成5個部分，其面積分別表示為S，S，S，S，S. 根據(jù)N點的不同位置，將出現(xiàn)如圖6、圖7兩種圖示. 則對于圖6，S=

S

+S

+S

+S+S=

S

-S+S=480000+S=480000+·（800-2x）·（1200-4x）=4x2-2800x+960000.

其余同解法1， 圖7同理.

教學(xué)建議

1. 因勢利導(dǎo)，強化模型思想

本題在2020年壓軸題的基礎(chǔ)上平穩(wěn)過渡，旨在回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，與往年“隱形圓”等幾何模型相比，避免了部分學(xué)生對既定模型的生搬硬套，更能考查學(xué)生自主思考和創(chuàng)新能力.

教師應(yīng)從廣義層面理解數(shù)學(xué)模型，它不只是一個具體問題，而是用于解決同一類問題的思維模式. 概念、公式、函數(shù)、定理、某類實際問題等都可看作廣義的數(shù)學(xué)模型. 在教學(xué)中，應(yīng)通過有針對性地變換條件、重組結(jié)構(gòu)等方式進行變式延伸，在豐富的問題情境中突出數(shù)學(xué)本質(zhì);使學(xué)生有充分的時間和空間親歷建模過程，積累觀察、實驗、猜測、計算、推理等數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，強化模型思想，提高應(yīng)用意識，達到“學(xué)一道，會一類，通一片”的效果.

2. 回歸本質(zhì)，重視推理能力

波利亞在“怎樣解題表”中指出，首先必須弄清題目，明確已知、未知、條件分別是什么. 其次，擬定解題計劃，找出已知和未知之間的聯(lián)系，如果找不到直接聯(lián)系，不得不考慮引入某些輔助元素[4].

在日常教學(xué)中，教師應(yīng)注重課程內(nèi)容的層次性和多樣性，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考、主動探索、合作交流，保證學(xué)生理解和掌握基本的知識與技能，體會和運用典型的思想與方法，為邏輯推理奠定基礎(chǔ). 在解決問題時，教師需引導(dǎo)學(xué)生綜合利用幾何和代數(shù)條件，發(fā)掘基本圖形，梳理數(shù)量關(guān)系，必要時通過合理設(shè)元，理清線段或角度的和差倍分關(guān)系. 所謂“合理”，指該未知數(shù)便于表示其余幾何量，且計算較簡潔. ?在明確已知和未知的基礎(chǔ)上，注重推理能力的培養(yǎng)——綜合法之“由因?qū)Ч币约胺治龇ㄖ皥?zhí)果索因”，二者雖然是高中學(xué)段才涉及的名詞，但其內(nèi)涵對于發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力大有裨益. 問題解決后，應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生反思來龍去脈，促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維的廣闊性和深刻性.

參考文獻：

[1]丁力. 初中數(shù)學(xué)幾何最值問題探究——以“將軍飲馬”問題模型的解題策略為例[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（14）：79-80.

[2]中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[3]付粉娟，陳法超. 基于通性通法，探求一題多解[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（02）：16-19.

[4][美]喬治·波利亞. 怎樣解題[M]. ?徐泓譯.

上海：上海科技教育出版社，2011.