整合拓展教學(xué)內(nèi)容，充分發(fā)掘教學(xué)價(jià)值

陳剛

摘要：教學(xué)完小學(xué)數(shù)學(xué)中與平面圖形有關(guān)的知識(shí)后，基于跨教材章節(jié)的單元整體教學(xué)理念，嘗試整合拓展與三角板有關(guān)的教學(xué)內(nèi)容，充分發(fā)掘三角板的教學(xué)價(jià)值，設(shè)計(jì)了《玩轉(zhuǎn)三角板》一課，組織學(xué)生進(jìn)行主題學(xué)習(xí)：用一副三角板畫角，學(xué)會(huì)有序思考，感受基本量思想;用兩個(gè)相同的三角板拼圖，運(yùn)用有序思考，感受基本圖形作用;用四個(gè)相同的三角板拼圖，培養(yǎng)直觀想象，發(fā)揮審美創(chuàng)意;探索特殊圖形的性質(zhì)，培養(yǎng)空間觀念，發(fā)展推理意識(shí)，感受數(shù)學(xué)文化。

關(guān)鍵詞：三角板;主題教學(xué);數(shù)學(xué)思想;數(shù)學(xué)文化

三角板是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中接觸較早、使用頻率頗高的學(xué)具之一。蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，有不少與三角板有關(guān)的教學(xué)內(nèi)容，但是，多安排在《動(dòng)手做》欄目與練習(xí)題中，比較零散。例如，二年級(jí)下冊(cè)《角的初步認(rèn)識(shí)》單元的一個(gè)《動(dòng)手做》欄目讓學(xué)生用三角板拼直角、銳角、鈍角，三年級(jí)上冊(cè)《長方形和正方形》單元的一道練習(xí)題讓學(xué)生用三角板拼長方形和正方形，四年級(jí)上冊(cè)《垂線與平行線》單元的一個(gè)《動(dòng)手做》欄目讓學(xué)生用三角板拼畫不同度數(shù)的角，六年級(jí)上冊(cè)《分?jǐn)?shù)除法》單元的一道練習(xí)題讓學(xué)生測量、計(jì)算三角板上30°角所對(duì)的直角邊長和斜邊長的比值。蔣守成.小學(xué)數(shù)學(xué)“主題創(chuàng)新活動(dòng)”的主題確定[J].教育研究與評(píng)論（小學(xué)教育教學(xué)），2021（11）：4748。而且，這些教學(xué)內(nèi)容多停留在畫線、畫角、測量等操作的層面，比較淺顯。

因此，五年級(jí)教學(xué)完小學(xué)數(shù)學(xué)中與平面圖形有關(guān)的知識(shí)后，筆者基于跨教材章節(jié)的單元整體教學(xué)理念，嘗試整合拓展與三角板有關(guān)的教學(xué)內(nèi)容，充分發(fā)掘三角板的教學(xué)價(jià)值，設(shè)計(jì)了《玩轉(zhuǎn)三角板》一課，組織學(xué)生進(jìn)行主題學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在操作活動(dòng)中深度思考，感悟與三角板相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)、應(yīng)用和文化以及其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)、聯(lián)系和思想，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和數(shù)學(xué)探究能力。具體的教學(xué)過程及設(shè)計(jì)意圖如下：

一、用一副三角板畫角：學(xué)會(huì)有序思考，感受基本量思想

師（出示三角板）同學(xué)們，認(rèn)識(shí)嗎？能給我們介紹介紹嗎？

生這兩個(gè)三角板都有一個(gè)直角，都是直角三角形。

生瘦長的三角板的三個(gè)角分別是30°、60°、90°。

生還有一個(gè)三角板是等腰三角形，三個(gè)角分別是45°、45°、90°。

生三角板可以幫我們畫直線、量線段的長度。

師其實(shí)，我們常用的三角板還有著更多的奧秘哦。今天，我們就一起來玩一玩三角板，看看還能玩出什么花樣。（稍停）我們跳過簡單的畫線、量線，從角開始。如果只用一個(gè)三角板，可以畫出哪些不同度數(shù)的角？

生30°、45°、60°、90°。

師如果用一副三角板，又能畫出哪些不同度數(shù)的角呢？請(qǐng)?jiān)谧鳂I(yè)紙上畫一畫。

生我畫出的是75°的角，我是用30°的角和45°的角拼起來的。

生我用45°的角和60°的角拼成105°的角。

生還可以用30°的角和90°的角拼成120°的角，用45°的角和90°的角拼成135°的角，用60°的角和90°的角拼成150°的角。

生還可以用90°的角和90°的角拼成180°的角。它是平角，即兩條邊在一條直線上。

師同學(xué)們的思考很有條理！用兩個(gè)角拼著畫，得到新的度數(shù)的角。在此基礎(chǔ)上，還可以怎樣畫，得到新的度數(shù)的角？

生拼著畫是把兩個(gè)角相加，還可以讓兩個(gè)角相減。我先畫出一個(gè)45°的角，再在這個(gè)角里面畫出一個(gè)30°的角，這樣就得到了一個(gè)15°的角。

生我也畫出了一個(gè)15°的角，不過我是用60°的角減去45°的角的。

師（按從小到大的順序板書：15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、180°）同學(xué)們通過努力，畫出了這么多不同度數(shù)的角。如果我們帶著一雙智慧的眼睛去觀察這些度數(shù)，或許會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)。

生相鄰的兩個(gè)度數(shù)都相差15°。

生不對(duì)，150°和180°相差30°。

師如果這個(gè)規(guī)律存在，還差哪個(gè)角呢？你能想辦法畫出這個(gè)角嗎？

生165°的角，可以用30°、45°、90°的角拼成165°的角。

生還可以用180°的角減去15°的角。

師照這樣的規(guī)律推下去，還可以畫出哪些度數(shù)的角？怎么畫？

生還可以畫出195°、210°、225°……的角，用不同角組合相加或相減就行了。

師這些角的度數(shù)有什么共同的特征？

生都是15的倍數(shù)。

師那么，是不是度數(shù)為15的倍數(shù)的角都可以畫出來？

生是的。

師其他度數(shù)的角畫得出來嗎？

生畫不出來。

師為什么？

生因?yàn)?5是最基本的量。

師在前面畫角、尋找規(guī)律的過程中，你覺得有什么重要的思考或探索方法嗎？

生有序思考。

師是的。按照完成活動(dòng)或構(gòu)成事物的基本要素有序思考，才能不重復(fù)、不遺漏，并且更容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律。（稍停）還有基本量思想。其他量都是由基本量加加減減得到的，抓住了基本量，就知道其他量的特征了。

用三角板畫不同度數(shù)的角，是教材中安排的活動(dòng)。教學(xué)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生從一個(gè)三角板到一副三角板、從兩個(gè)角相加到兩個(gè)角相減再到多個(gè)角相加減、從單個(gè)角的具體度數(shù)到多個(gè)角的一般規(guī)律，不斷擴(kuò)展認(rèn)識(shí)維度、提高認(rèn)識(shí)深度，從而窮盡所有可能的角，認(rèn)識(shí)它們的基本特征，同時(shí)學(xué)會(huì)有序思考，感受基本量思想。

二、用兩個(gè)相同的三角板拼圖：運(yùn)用有序思考，感受基本圖形作用

師考慮過了角，現(xiàn)在來考慮更加復(fù)雜的整個(gè)三角板。一個(gè)三角板是什么圖形我們已經(jīng)知道了，那么用兩個(gè)三角板能拼出什么圖形呢？

生拼成不規(guī)則的圖形。

生拼成四邊形。

師你們說的是兩個(gè)三角板不相同（為一副）的情況。確實(shí)，兩個(gè)不相同的三角板只有一組有刻度的邊勉強(qiáng)可以重合，因此，用兩個(gè)不相同的三角板拼出的圖形不豐富也不漂亮。那就試著用兩個(gè)相同的三角板拼拼看吧。

（學(xué)生活動(dòng)。）

師用兩個(gè)含30°角的三角板，有幾種拼法？

生3種。

生4種。

生6種。

師到底有幾種呢？誰來展示一下？

生（同步展示各種拼法，如圖1所示）讓較長的直角邊重合，將一個(gè)三角板翻轉(zhuǎn)一下，有兩種拼法;讓較短的直角邊重合，也是兩種;讓斜邊重合，還是兩種。所以，一共有6種拼法。

師（對(duì)其他學(xué)生）有重復(fù)嗎？有遺漏嗎？

生沒有。

師是怎么做到的呢？

生有序思考，依次考察每一組相同的邊重合的一正一反兩種情況。

師很好！有序思考，就可以不重不漏。那么，如果是兩個(gè)含45°角的三角板，又能拼出幾種不同的圖形呢？

生6種。

生3種。

師究竟有幾種呢？誰來展示一下？

（一位學(xué)生展示各種拼法，如圖2所示。）

師同樣是兩個(gè)相同的三角板，為什么這次只能拼出3種不同的圖形呢？

生因?yàn)楹?5°角的三角板兩條直角邊相等，沒有長短區(qū)別，這樣，讓直角邊重合時(shí)就只有2種情況，讓斜邊重合時(shí)就只有1種情況。

師很好！現(xiàn)在我們得到了9種圖形，它們分別是什么樣的圖形？誰來說一說？

生等邊三角形、一個(gè)角為60°的平行四邊形、底角為30°的等腰三角形、一個(gè)角為30°的平行四邊形、長方形，還有一種是……四邊形。

師最后這個(gè)四邊形也叫箏形，同學(xué)們以后會(huì)學(xué)到。

生等腰直角三角形、一個(gè)角為45°的平行四邊形、正方形。

師這么豐富多樣的圖形都是由兩個(gè)三角板拼成的，由此我們感受到什么的作用？

生基本圖形。

師沒錯(cuò)，基本圖形在幾何研究中十分重要。很多復(fù)雜的圖形都可以分解為一些簡單的基本圖形，搞清楚這些基本圖形的性質(zhì)，就能搞清楚更多復(fù)雜圖形的性質(zhì)。

教材中讓學(xué)生用兩個(gè)相同的三角板拼出長方形和正方形。這里，筆者讓學(xué)生系統(tǒng)探究，拼出所有可能的圖形。學(xué)生再次運(yùn)用有序思考的方法，抓住關(guān)鍵要素不斷變化，完成了拼圖。筆者的對(duì)比追問，讓學(xué)生體會(huì)到認(rèn)識(shí)構(gòu)成事物的關(guān)鍵要素對(duì)有序思考的重要影響。通過對(duì)拼出的各種圖形的辨認(rèn)，學(xué)生初步感受到基本圖形對(duì)復(fù)雜圖形研究的作用，同時(shí)培養(yǎng)了空間觀念（可以理解為“形感”），為后續(xù)深入研究圖形性質(zhì)打下了基礎(chǔ)。

三、探索特殊圖形的性質(zhì)：培養(yǎng)推理意識(shí)，感受數(shù)學(xué)文化

師剛才，我們拼出了許多圖形。到了初中，我們會(huì)進(jìn)一步研究它們的性質(zhì)。現(xiàn)在，我們來聚焦幾個(gè)特殊的圖形，看看能不能初步發(fā)現(xiàn)一些簡單的性質(zhì)。你認(rèn)為哪幾個(gè)圖形最特殊？

生等邊三角形、等腰直角三角形。

生還有長方形、正方形。

師很好！這些都是我們學(xué)過的很特殊的圖形。等邊三角形是由哪種三角板拼成的？由此可以發(fā)現(xiàn)什么性質(zhì)？

生是由兩個(gè)含30°角的三角板拼成的。可以發(fā)現(xiàn)，含30°角的三角板較短的直角邊等于斜邊的一半。

師非常好！雖然到了初中，我們才能證明這個(gè)結(jié)論，但是現(xiàn)在，我們通過觀察等邊三角形，就能發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論。那么，等腰直角三角形呢？

生是由兩個(gè)含45°角的三角板，也就是等腰直角三角形拼成的。可以發(fā)現(xiàn)，原來三角板的斜邊變成新的三角形的直角邊，原來三角板的直角邊拼接成新的三角形的斜邊，重合成新的三角形的高。

生所以，等腰直角三角形斜邊上的高等于斜邊的一半。

師很好！通過拼圖，我們發(fā)現(xiàn)了這兩個(gè)有意思的性質(zhì)。到了初中，我們會(huì)進(jìn)一步證明它們。（稍停）其實(shí)，這些由三角板拼成的特殊圖形，正與三角板的來歷有密切的關(guān)系。同學(xué)們想知道嗎？下面就讓我們一起來回顧這一段精彩的歷史。

（教師播放視頻，學(xué)生觀看。畫面定格于圖3。）

師從視頻的介紹中你知道了什么？

生古希臘時(shí)期，人們把最具有對(duì)稱美的三角形和四邊形，即等邊三角形和正方形看成最基本的圖形。當(dāng)人們把這兩種圖形對(duì)半切開后，就得到了兩種不同的直角三角形。

生古希臘偉大的哲學(xué)家、思想家柏拉圖認(rèn)為世界的本源就與這兩種直角三角形有關(guān)，因?yàn)檫@兩種直角三角形是最完美的三角形：沿著過直角頂點(diǎn)的斜邊的垂線切開，可得同樣形狀的直角三角形。

師是啊，數(shù)學(xué)就是如此奇妙！正因?yàn)檫@兩種直角三角形有這樣的特性，人們就根據(jù)它們制成了三角板。

教材中讓學(xué)生測量、計(jì)算30°角所對(duì)的直角邊長和斜邊長的比值。這里，筆者引導(dǎo)學(xué)生利用拼出的特殊（熟悉）的圖形，初步探索簡單的幾何性質(zhì)（主要是線段長的關(guān)系），在小學(xué)實(shí)驗(yàn)幾何（主要培養(yǎng)空間觀念）的基礎(chǔ)上，滲透初中論證幾何（主要培養(yǎng)推理能力）的思想，以直覺認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ)，初步培養(yǎng)邏輯思維，符合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出的小學(xué)階段培養(yǎng)推理意識(shí)，為初中階段培養(yǎng)推理能力打基礎(chǔ)的要求。然后，利用拼出的特殊（熟悉）的圖形，自然引出有關(guān)三角板來歷的數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生跨越時(shí)空，感受到自己的探索與古人的智慧“不謀而合”，進(jìn)一步體會(huì)三角板的神奇特性以及數(shù)學(xué)審美引發(fā)的探索發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造，充分感受數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。同時(shí)，讓學(xué)生初步感受直角三角形的重要性——實(shí)際上，平行與垂直是平面對(duì)稱劃分的基本元素，而三角形作為最基本的平面圖形，其基本性質(zhì)正是平面幾何（論證幾何）最基礎(chǔ)的知識(shí)。

四、用四個(gè)相同的三角板拼圖：培養(yǎng)直觀想象，發(fā)揮審美創(chuàng)意

師接下來請(qǐng)同學(xué)們發(fā)揮想象：用四個(gè)相同的三角板能拼出哪些精美的圖形？

（學(xué)生活動(dòng)。）

生（出示如圖4所示的拼圖）我們用4個(gè)含45°角的三角板拼成了梯形。

生（出示如圖5所示的拼圖）我們用4個(gè)含45°角的三角板拼成了平行四邊形。

生（出示圖6所示的拼圖）我們用4個(gè)含45°角的三角板拼成了等腰直角三角形。

生（出示如圖7所示的拼圖）我們用4個(gè)含45°角的三角板拼成了長方形。

生（出示如圖8所示的拼圖）我們用4個(gè)含45°角的三角板拼成了正方形。

師很好！這些都是相同的邊完全重合的拼法，有不重合或不完全重合的拼法嗎？

生（出示如圖9所示的拼圖）我們用4個(gè)含45°角的三角板拼成了這樣的正方形。

師這個(gè)正方形和前一個(gè)正方形有關(guān)系嗎？

生把前一個(gè)小正方形中的四個(gè)三角板外翻，即可得到后一個(gè)大正方形。

生（出示如下頁圖10所示的拼圖）我們用4個(gè)含45°角的三角板，繞45°角頂點(diǎn)，拼成了一個(gè)風(fēng)車圖案。

……

師很好！這些都是用含45°角的三角板拼的，其中還融入了平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱等

圖形運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，那么，有用含30°角的三角板拼的嗎？

生（出示如圖11所示的拼圖）我們用4個(gè)含30°角的三角板拼成了梯形。

生（出示如圖12所示的拼圖）我們用4個(gè)含30°角的三角板拼成了平行四邊形。

生（出示如圖13、圖14所示的拼圖）我們用4個(gè)含30°角的三角板拼成了正方形。

師這兩個(gè)正方形有什么關(guān)系？

生把前一個(gè)小正方形中的四個(gè)三角板外翻，即可得到后一個(gè)大正方形。

生（出示如圖15所示的拼圖）我們用4個(gè)含30°角的三角板，繞直角頂點(diǎn)，也拼成了一個(gè)風(fēng)車圖案。

……

用4個(gè)相同的三角板拼圖是進(jìn)一步的拓展探索，所能拼出的圖形極為豐富，很難窮盡。因此，這里雖然也關(guān)注學(xué)生拼圖時(shí)的有序思考（可以更多地融入平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱等圖形運(yùn)動(dòng)的知識(shí)），但是更重視以圖形直觀為基礎(chǔ)的空間想象，以及以和諧、奇異審美為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)創(chuàng)造。在筆者的組織下，學(xué)生的匯報(bào)體現(xiàn)了初步成型的有序思考，以及豐富的想象和健康的審美。

五、再探特殊圖形的性質(zhì)：培養(yǎng)空間觀念，發(fā)展推理意識(shí)

師在同學(xué)們剛剛拼出的圖形中，有兩組（四個(gè)）圖形比較特別。（出示如圖8、圖9、圖13、圖14所示的拼圖）這四個(gè)圖形有什么共同點(diǎn)？

生都是正方形。

師都是什么樣的正方形？

生以三角板的斜邊或兩條直角邊之和為邊的正方形。

師正方形里面有什么？

生有直角三角形，還有小正方形。

師直角三角形就是三角板，那么小正方形呢？（稍停）看第二幅圖（圖9）和第四幅圖（圖14），在以兩條直角邊之和為邊的正方形中有什么樣的正方形？

生以斜邊為邊的正方形。

師看第一幅圖（圖8）和第三幅圖（圖13），在以斜邊為邊的正方形中有什么樣的正方形？

生第一幅圖中，沒有正方形。第三幅圖中，有以兩條直角邊之差為邊的正方形。

師第一幅圖中，三角板的兩條直角邊之差為多少？

生0。

師所以，也可以說，第一幅圖中，有以兩條直角邊之差為邊的正方形。因此，第三幅圖和第一幅圖本質(zhì)上是一樣的，第四幅圖和第二幅圖本質(zhì)上是一樣的，只是拼出它們的直角三角形不一樣。而如果把拼出這兩種圖形的三角板再一般化為任意的直角三角形，就分別可以得到我國古代數(shù)學(xué)家趙爽和古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯證明勾股定理的圖形。勾股定理講的是直角三角形三邊之間的等量關(guān)系，它是研究圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)定理，也是同學(xué)們初中要學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容。現(xiàn)在，請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合具體的直角邊長，利用這四幅圖算一算以斜邊為邊的正方形的面積，從中初步體會(huì)證明勾股定理的思路。（稍停）設(shè)等腰直角三角形的兩條直角邊長均為1厘米，分別利用第一幅圖和第二幅圖，求以斜邊為邊的正方形的面積。

生第一幅圖中，以斜邊為邊的正方形的面積為四個(gè)等腰直角三角形的面積和，即1×1÷2×4=2（平方厘米）。

生第二幅圖中，以斜邊為邊的正方形的面積為大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積和，即2×2-1×1÷2×4=2（平方厘米）。

師由此，我們雖然還不知道斜邊長到底是多少，但是能知道斜邊長是確定的。（稍停）設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為3厘米和4厘米，分別利用第三幅圖和第四幅圖（角的度數(shù)不同），求以斜邊為邊的正方形的面積。

生第三幅圖中，以斜邊為邊的正方形的面積為小正方形的面積加上四個(gè)直角三角形的面積和，即（4-3）×（4-3）+3×4÷2×4=25（平方厘米）。

生第四幅圖中，以斜邊為邊的正方形的面積為大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積和，即（4+3）×（4+3）-3×4÷2×4=25（平方厘米）。

師由此，能知道斜邊長是多少嗎？

生五五二十五，所以斜邊長是5厘米。

師實(shí)際上，面積方法，即對(duì)同一個(gè)面積或相等的面積用不同的方法計(jì)算，就是證明勾股定理的基本方法，也是解決數(shù)學(xué)問題的重要方法。同學(xué)們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)中會(huì)越來越深地體會(huì)到這一點(diǎn)。有興趣的同學(xué)課后可以查閱相關(guān)資料，詳細(xì)了解勾股定理及其證明、應(yīng)用。

用四個(gè)相同的三角板可以拼出證明勾股定理的兩種（內(nèi)翻和外翻）“弦圖”。聚焦這些特殊圖形，引導(dǎo)學(xué)生分析其組成，培養(yǎng)空間觀念;在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生利用其中的面積關(guān)系展開具體的計(jì)算，初步感受勾股定理的證明方法，再次發(fā)展推理意識(shí)，為初中幾何學(xué)習(xí)埋下圖形直觀與邏輯推理的種子。同時(shí)，簡單地提及相關(guān)數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生再次感受數(shù)學(xué)文化。