為“真學(xué)”而教

臧楠楠

摘要：“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)的筆算”這部分內(nèi)容的教學(xué)，存在不少“假學(xué)”的情況。由此，提出為“真學(xué)”而教的應(yīng)對舉措：讓學(xué)生“真學(xué)”，就要站在學(xué)生的立場上思考問題，找準(zhǔn)學(xué)生理解的障礙點(diǎn)，幫助學(xué)生突破認(rèn)知定式;要緊緊抓住知識的本質(zhì)開展教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷完整的操作過程;要正視學(xué)生的學(xué)情，讓學(xué)生在深刻理解的基礎(chǔ)上，真正接受知識。

關(guān)鍵詞：“真學(xué)”;“假學(xué)”;認(rèn)知定式;過程;理解

近幾年，許多教育界的學(xué)者發(fā)出了“讓學(xué)習(xí)在課堂上真正發(fā)生”的呼吁。筆者也不禁反思：在當(dāng)下的數(shù)學(xué)課堂上，學(xué)生的學(xué)習(xí)是否真正發(fā)生了？是否存在“假學(xué)”現(xiàn)象？如何為“真學(xué)”而教？在一些教研活動中，筆者聽過不少教師教學(xué)“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)的筆算”這部分內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)存在不少“假學(xué)”的情況。由此，提出為“真學(xué)”而教的應(yīng)對舉措。

一、要突破認(rèn)知定式

（一）案例描述

師（出示圖1）瞧，一位小朋友去買羽毛球，你從圖中收集到了哪些信息，又提出了怎樣的問題？

生一共有46個羽毛球，平均分給2個班，問每個班分得幾個羽毛球。

師那你會列式嗎？說說你是怎樣算的？

生46÷2=23（個），我是像乘法計算那樣，先算個位6÷2=3，再算十位40÷2=20，最后算20+3=23。

師我們也可以先算十位40÷2=20，再算個位6÷2=3，最后算20+3=23。

（學(xué)生滿臉疑惑：剛學(xué)過的乘法不是一再要求從個位算起嗎？但還是紛紛點(diǎn)頭表示贊同。）

（二）案例分析

類似上述案例，直接扭轉(zhuǎn)學(xué)生的思維從“先算個位”到“先算十位”的做法非常常見。原因可能有以下幾個方面：（1）蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材把首位不夠除（54÷2）的情況安排在了下一課時，這里不好對比溝通;（2）教師認(rèn)為46÷2=23的除法豎式書寫才是重點(diǎn)，想更快地進(jìn)入除法豎式算法的教學(xué)，覺得在此糾結(jié)會浪費(fèi)時間。

仔細(xì)想來：加、減、乘法豎式計算都是先算個位，怎么除法就從高位算起了？上一次學(xué)習(xí)除法還是表內(nèi)除法的豎式，商就是一位數(shù)，沒有關(guān)注先算哪一位，況且46÷2，先算哪一位，結(jié)果都是23，為什么教師就360度大轉(zhuǎn)彎“強(qiáng)迫”學(xué)生先算十位了？這沒有給學(xué)生的思維留出緩沖的時間和空間，沒有對先算個位的想法作出相應(yīng)的肯定。這樣的教學(xué)有悖于學(xué)生立場，沒有關(guān)注到學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)和理解障礙點(diǎn)，引發(fā)的是一種“假學(xué)”。

筆者以為，應(yīng)該從學(xué)生已知的除法估算入手，先引導(dǎo)學(xué)生初步建立除法口算與乘法不同的印象，給思維一個緩沖，再引入新授內(nèi)容更為妥當(dāng)。

（三）案例改進(jìn)

師同學(xué)們，我們來玩一個猜一猜的游戲，好不好？[板書：6（ ）÷2=？]商是幾十多？你是怎么想的？

生商是三十多，因?yàn)?0÷2=30。

師[板書：（ ）4÷2=？]商又是幾十多？

生好像猜不出來。

師為什么不行？

生因?yàn)椴恢朗皇菐住?/p>

師那把4換到十位呢？為什么現(xiàn)在又行了？

生4（ ）÷2的商肯定是二十多，因?yàn)?0÷2=20。

師那你覺得做這樣的除法估算的秘訣是什么？

生先算十位，用十位上的數(shù)除以除數(shù)，商就是幾十多。

師看來呀，要想快速地估算出除法算式的商是幾十多，還是得先算十位。那到底是四十幾呢？（出示圖1）我們來看這道題……

讓學(xué)生“真學(xué)”，就要站在學(xué)生的立場上思考問題，找準(zhǔn)學(xué)生理解的障礙點(diǎn)。障礙點(diǎn)在哪里，突破口往往就在哪里。針對學(xué)生“為什么先算十位”的疑惑，教師設(shè)計了估算環(huán)節(jié)，通過制造認(rèn)知沖突，一下子抓住了學(xué)生的興趣點(diǎn)，將思考聚焦到“除法估算先算十位”這樣的核心上來，掃清了學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙，為接下來教學(xué)“先算十位”提供了緩沖，幫助學(xué)生在大腦中初步建立乘、除法估算方法不同的印象。在此基礎(chǔ)上，再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入例題的學(xué)習(xí)，有效幫助學(xué)生避免了舊知對新知的干擾。

二、要經(jīng)歷完整過程

（一）案例描述

師請大家來看，老師這有46根小棒，誰能上來擺一擺、說一說先算什么再算什么？

生先分4個十，每份2個十，再分6個一，每份3個一，合起來就是23。

師（結(jié)合圖2）他說得多好呀！瞧，和我們口算的過程是一致的，都是先分4個十，再分6個一。那46÷2的口算我們掌握了，筆算該怎么寫呢？

（二）案例分析

這個案例中，教師示范到位，學(xué)生將擺小棒和口算的過程融為一體，教學(xué)流程看似順理成章、十分流暢。可是仔細(xì)想來，這里的操作只有擺小棒，而且只是一個學(xué)生上黑板分。如果換一種學(xué)具，學(xué)生還會分嗎？如果只給靜態(tài)的圖片，甚至只給算式呢？學(xué)生頭腦中已經(jīng)形成口算的算法了嗎？顯然沒有。這樣的教學(xué)流程其實(shí)是不扎實(shí)的，并沒有抓住算理的本質(zhì)。

操作活動講究三個層次：（1）行為操作。學(xué)生通過操作學(xué)具，如擺小棒、圓片等，得到計算結(jié)果。（2）表象操作。學(xué)生在頭腦中將行為操作的過程像“放電影”一樣進(jìn)行回放，這是一個“壓縮”的過程，作用是提煉方法，逐步從具體走向抽象。（3）符號操作。借鑒行為操作和表象操作對抽象的算式進(jìn)行演算。顯然，本案例中沒有將行為操作落實(shí)（僅有一個學(xué)生、一種學(xué)具），忽略了表象操作和符號操作（直接過渡到了豎式書寫），只能是一種流水線式的“假學(xué)”。

（三）案例改進(jìn)

1.自主探究，初步理解算理

師46÷2得多少呢？你怎么算得這么快？

生40÷2=20，6÷2=3，20+3=23。

師你是根據(jù)數(shù)的組成，口算來完成的。誰能結(jié)合我們口算的過程，來擺一擺、分一分？

（學(xué)生自由操作小棒以及可以卡扣在一起的小方塊、小圓片等學(xué)具。）

師大家用不同的方法算出的結(jié)果都是23。比較這些不同的方法，在計算的順序上有什么相同的地方？結(jié)合圖和算式，想一想。

生不論口算，還是分小棒、小方塊、小圓片，都是先分4個十，再分6個一。

師是的，雖然方法不同，但道理都是相通的。這就是我們今天要學(xué)習(xí)的除法，簡單嗎？有信心了，那我們繼續(xù)往下學(xué)。

2.層層遞進(jìn)，深刻理解算理

師（出示36根小棒的圖片）3個小朋友有36根小棒，平均每人多少根？

（學(xué)生回答后，教師PPT呈現(xiàn)分小棒的動態(tài)過程。）

師（出示48根小棒的圖片）48÷4先分什么，再分什么？

（學(xué)生回答。）

師（出示圖3）246÷2這道算式有點(diǎn)不一樣，你能看懂圖嗎？誰來說一說先分什么，再分什么，最后分什么？

（學(xué)生回答。）

師不知不覺中，三位數(shù)除以一位數(shù)我們都會算了，真了不起！接下來，老師繼續(xù)增加難度：不給圖了，你能自己在頭腦中想一想嗎？（出示算式：26÷2，482÷2）任選一題，說給同桌聽一聽。

（學(xué)生回答。）

師看來，沒有圖，我們在頭腦中想一想同樣能夠算出正確答案。回憶一下，一開始我們用學(xué)具分一分，接著看圖想一想，后來圖也沒有了，看算式直接在頭腦中想一想。兩位數(shù)除以一位數(shù)，都是先算什么，再算什么？分幾步來算？三位數(shù)除以一位數(shù)呢？同桌兩人互相交流。

（學(xué)生交流明確：兩位數(shù)除以一位數(shù)，先算十位，再算個位，分兩步來算;三位數(shù)除以一位數(shù)，先算百位，再算十位，最后算個位，分三步來算。）

這里，緊緊地抓住了操作活動的三個層次：第一環(huán)節(jié)，通過擺小棒、小方塊、小圓片等活動完成了行為操作;第二環(huán)節(jié)，細(xì)分了“分一分，算一算”和“看一看，算一算”兩個層次，實(shí)現(xiàn)了表象操作的目標(biāo)，最后的“想一想，算一算”和小結(jié)達(dá)成了符號操作的目標(biāo)。在環(huán)環(huán)相扣的同時，做到了近期和遠(yuǎn)期目標(biāo)相結(jié)合，為后面進(jìn)一步學(xué)習(xí)除法豎式的書寫奠定了良好的基礎(chǔ)。

三、要達(dá)成深刻理解

（一）案例描述

師我們已經(jīng)能口算出答案了，但光會口算還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，你會用豎式計算嗎？請大家在練習(xí)紙上試一試。

（學(xué)生寫豎式計算過程，錯誤的和正確的寫法都有。）

師看來關(guān)于豎式的寫法，我們發(fā)生了一些分歧。那46÷2的豎式到底該怎么寫呢？我們一起來看看。（出示正確的豎式）和部分同學(xué)的寫法是一致的。這個豎式這樣寫是有它的道理的。實(shí)際上，我們寫的豎式的計算過程和剛才分小棒、口算的過程是一樣的……會寫了嗎？那我們再來練習(xí)兩道題。

（二）案例分析

這個案例中，錯誤寫法的學(xué)生沒有得到教師的關(guān)注，被忽略了。這些學(xué)生就一路看著教師的臉色，揣摩教師的心思，被迫無奈地直接接受了除法豎式的書寫格式，并未真正理解為什么有這樣的數(shù)學(xué)規(guī)定。如何讓學(xué)生對這種數(shù)學(xué)規(guī)定在理解的基礎(chǔ)上接受，是教師需要深入思考的問題。

（三）案例改進(jìn)

師我們已經(jīng)能口算出答案了，但光會口算還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，你會用豎式計算嗎？請大家在練習(xí)紙上試一試。

（學(xué)生寫豎式計算過程，錯誤的和正確的寫法都有。）

師（出示圖4和圖5）看來關(guān)于豎式的寫法，我們發(fā)生了一些分歧。這是很正常的事情。下面我們請兩方代表各自說一說自己的理由。

生我覺得右邊的寫法是對的，它更能幫助我們一目了然地看出分的過程，先分4個十，再分6個一，一步一步，條理非常清晰。

生我不同意，我們在寫乘法豎式的時候，一開始也是一步一步分層寫的，但是后來書上要求我們合并起來，因?yàn)檫@樣更簡潔。我覺得除法也應(yīng)該這樣簡潔地寫，所以左邊正確。

生我也覺得左邊正確，因?yàn)槲覀円郧皩?3÷2這樣的除法豎式時也是只寫一層的，沒有像右邊那樣寫兩層。

生我來回答你的疑問。寫13÷2的除法豎式時，因?yàn)樗环至艘淮危灾粚懸粚?而這里的46÷2分了兩次，所以要分兩層，并不矛盾。

生我也不同意左邊的寫法。因?yàn)楹芏嗤瑢W(xué)是知道口算的答案直接上商寫的23，然后算2×23=46，一次性寫的46，我覺得這是“假算”。以后遇到更復(fù)雜的算式，我們是不可能一次性上商的，還是應(yīng)該像右邊這樣一步一步有條理地分層去算。

師（出示5678÷9，6789÷37）你說的是像這樣的算式嗎？

（學(xué)生嘗試豎式上商，發(fā)現(xiàn)困難重重。）

師這樣的除法，你也能一眼就看出結(jié)果是多少嗎？

生不能。

師是的，不能一眼看出商是多少，也就不能一步分完。現(xiàn)在你對于這兩種除法豎式有什么想說的？

生我們寫除法豎式時還是應(yīng)該像右邊這樣，先算十位，再算個位，一步一步有條理地算下去。

師老師要為剛剛發(fā)言的所有同學(xué)點(diǎn)贊，你們敢于質(zhì)疑，敢于思考，敢于聯(lián)系前面的知識，講道理、不爭吵，數(shù)學(xué)能力和品格都相當(dāng)高。像右邊這樣寫其實(shí)是有它的道理的。實(shí)際上，我們寫的豎式的計算過程和剛才分小棒、口算的過程是一樣的。我們來看……

上述教學(xué)中，教師“放大”了學(xué)生的分歧，把學(xué)生的疑惑拿出來“曬一曬”，放手讓學(xué)生去爭辯，使學(xué)生在爭辯中發(fā)現(xiàn)錯誤寫法的弊端，以及乘、除法在豎式書寫中的異同——乘法是為了簡潔，而除法不可以為了簡潔而降低計算的正確率。在爭辯中，除法豎式的書寫格式印入學(xué)生心中，學(xué)生也獲得了“帶得走”的學(xué)習(xí)能力。學(xué)生只有在內(nèi)心深刻理解的基礎(chǔ)上，才能夠真正接受這樣的數(shù)學(xué)規(guī)定，才是“真學(xué)”。