培養小學生模型意識的思考與實踐

楊曄

[摘 要]數學課程標準將模型思想的培養分學段逐步推進，小學階段重點強調模型意識的滲透。模型意識是學生對數學表征的一種意識形態，更是數學輸出的一種語言表達。從建模教學淡化的歸因分析展開思考，在實踐中探索如何進行建模教學。

[關鍵詞]模型意識;數學建模;核心素養

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2022）20-0044-03

數學模型可以理解為“用格式化的語言概括地表征所研究對象的特征及其關系的數學結構”。如果用一張圖來表示數學的元素，你就會看到很多公式、符號、圖形，其實這就是數學模型。換言之，數學模型就是數學外顯的語言。縱觀數學的研究，都是對數學模型建立的探索，從猜想到結論，從發現到運用，數學思想、數學思維、數學能力都在這一過程中充分展現。小學階段，教師主要是培養學生的模型意識，通過建模教學，讓學生感受到很多生活問題都可以用數學模型進行表達和解釋，從而更深刻地認識到數學與生活的聯系。

一、建模教學淡化的歸因分析

筆者在對數學建模進行研究前，和部分數學教師關于“建模”教學進行了討論，發現大家普遍對建模概念的理解比較模糊，在課堂上很少讓學生從這個角度進行研究。這是為什么呢？

1.站高看低，忽略模型意識的滲透

從知識的維度看，小學數學課堂簡單且顯而易見，如“一共”用加法計算，“平均分”用除法計算，大家也普遍認為“建模”是數學高追求下的產物，小學階段的學生只需吸收和運用。從能力的維度分析，小學生還處于數學學習的初始階段，他們未有很強的能力去發現大家已經認識到的問題，無須在此進行深挖。從培養核心素養的維度想，模型思想很難在一些課堂中體現，也不易產生成果，而其他素養更加直白，更容易被挖掘和塑造。從教師自身看，我們是數學知識的傳遞者，并非數學知識的研究者，我們需要做的是將已有的知識教給學生，從而完成數學學習的不斷賡續，建模是從無到有的過程，既然已有，自然無須反復強化。當大家站在巨人的肩膀上來俯瞰小學數學時，模型意識自然就被忽略了。

2.舍遠求近，忽略模型結構的價值

數學是研究數量關系和空間形式的科學，從概念的角度剖析，無論是“數量關系”還是“空間形式”，最后的呈現都依賴于模型。而模型的建立，必然需要很多其他素養的介入，如數感、空間觀念等。當教師都聚焦于這些時，就容易忽略模型結構本身的價值。教師普遍在糾結：這些簡單的數學公式很多學生都已經會了，還有必要讓他們去思考這些是怎樣來的嗎？跟小學生談數學建模，太難太深了，這如同數學的創造，我們難以駕馭。這是制約數學建模教學的問題之一。但教師忽略了一個重點，那就是如果學生在小學階段沒有形成數學模型的意識，那么在后面的學習中將如何有更多數學的創造呢？高斯在10歲時能將1加到100的和用等差數列模型求解出來，這就是建立和運用模型的智慧。當代的小學生同樣可以通過教師的精心教學，對一些常見的問題加以思考形成數學模型，為將來的數學學習服務。

3.思弱用強，忽略模型內涵的寬泛

抽象、推理、建模是數學能力的三大核心，抽象和推理都是為模型的建立服務的，通過三者的融通，能提升數學學習的水平。數學課程標準強調的是模型思想，指出學生初步形成模型思想是為提高學習數學的興趣和應用意識服務，起媒介作用。因此教師會跳過模型思想的形成，去重點研究數學知識的應用，從而忽略模型內涵的寬泛，將過程中的思考和模型建立弱化，將具體的運用放大為教學的核心。同時，強烈的“質量觀”讓教師更關注問題的解決，將已有的模型通過簡化變為易懂的方式傳達給學生，在更多的問題解決中獲得質量提升的成就感。

二、培養模型意識的實踐探索

模型意識是一種表達思維，模型是反映外部事物聯系和規律的方式。在教學時滲透模型意識，學生才能逐步形成建模觀念，最后形成建模能力。

1.智用抽象推理，放慢建模過程

史寧中教授將對數學發展影響最大的三種思想“抽象、推理、模型”用下圖來表示。

通過這幅圖，我們可以清晰地認識到模型思想指向核心素養，數學建模指向“四能”的發展，素養與能力相輔相成，是同一目標的不同表達。抽象和推理推動數學模型的形成，將整個數學研究以閉環的姿態向前推進。從這個視角可以看出，數學知識的學習離不開數學建模，建立模型是目標，應用模型是發展。其他的核心素養都是模型思想形成之路上的輔助工具和生成元素，因為對模型進行探究，才讓數學變得更加豐潤和充滿魅力。有時，模型的建立只源于一種靈感或是瞬間的感悟，但求解模型的過程往往很漫長，也正是因為漫長，才讓數學如大樹般，生長出了枝丫。這種“漫長”是一種嚴謹，更是一種方向的指引。課堂中，教師也應該放慢建模的過程，讓學生在探究中體會學習數學的快樂。

如蘇教版教材四年級下冊“加法交換律”的教學，學生根據例題已經抽象出加法交換律的模型，然后要驗證模型的正確性。

出示活動任務：

驗證猜想“交換兩個加數的位置，和不變”。

想一想：用什么方法驗證？

寫一寫：記錄你的驗證過程。

說一說：根據過程先自己組織語言說一說，再進行全班交流。

呈現學生資源：

層次一：學生用舉例的方式進行驗證，其中包含整數、小數、分數、較大的數等算式的驗證過程。（多個資源）

層次二：學生通過畫線段圖進行驗證，并在圖中標出具體的數值，線段的起點和終點的位置相同。（一個資源）

層次三：同樣畫線段圖進行驗證，但是在線段圖上用字母表示數值。（一個資源）

教師講解時重點對用線段圖驗證的學生進行追問，讓學生說明想法，并在三種驗證方法結束后提問有沒有遇到反例。當學生匯總沒有反例后下結論，強調加法交換律的文字表達和字母表達。

通過上面的教學環節可以發現驗證模型的過程其實很慢，并不是通過幾個例證就能加以肯定，而是通過三個層次不斷遞進肯定的。層次一的數值舉例驗證關注不同種類的數，呈現較為豐富的資源。圖形表征是學生從合情推理轉向演繹推理的過渡，更是模型思想的核心，需要學生有較強的推理能力。層次二正是學生的理性萌芽向層次三跨越的最好扶梯。層次三拋開數值的局限，直接抽象出字母模型，讓學生的思維進一步走向嚴謹和深刻。最后通過“有沒有反例”來逆向完善學生的建模過程，幫助學生在“慢”推理和抽象中，形成正確的數學探究行為，養成嚴密的邏輯思維。這不僅僅是對學生數學素養的培養，更是對他們數學思維的完善。后面加法結合律的證明也再次體現了這種“慢”的價值，通過舉例的方式進行驗證的學生人數明顯降低，但資源卻非常豐富，他們綜合考慮了數的種類，更多的學生傾向于用線段圖驗證，模型的建立有了蓬勃的生長。小學數學課堂有時看似很稚嫩，一年級時要用一節課的時間教學生在幼兒園就明白的“加”，這用教嗎？其實這教的不是知識本身，而是數學思想的滲透、數學思維的塑造、數學能力的培養。建模是培養素養的催化劑和腳手架，需要通過“慢”教模型的過程來逐步形成。

2.關注思維節點，抓實培養契機

從數學語言的角度縱觀學生學習數學知識的過程，其實是在掌握一個個數學模型。每節課也都有培養的重心，如果關注的素養過多，很容易將數學課堂做成“大鍋飯”，反而失去其“色香味”。模型意識的培養可以抓住關鍵的思維節點，強化基礎模型，延展變化模型，讓學生感受到模型之間的聯系，找到共性，為其縱向發展夯實根基。

如蘇教版教材六年級上冊的“分數乘整數”教學。教學時，教師先通過問題“導彈方陣每列4輛導彈裝甲車，有3列，每輛上有4枚導彈，一共有多少枚導彈？”與“解放軍每步都走0.75米，10步能走多少米？如果走n步呢？”，幫助學生復習整數乘法和小數乘整數模型，喚醒學生“乘法是加法簡便運算”的經驗。接著出示例題，學生列出[310]×3或[310+310+310]兩道分數算式，分析兩種算式列法，提出學習模型：分數與整數相乘的乘法。

如何在教學時使探究過程有層級地逐步推進？首先，學生自主探究分數乘整數的計算方法，抽象出“分數與整數相乘，用分數的分子與整數相乘得到積的分子，分母不變”的計算模型。其次，拋出另一個分數乘整數的乘法算式，出示[79]×4，讓學生將它轉化為加法算式驗證結果是否是[289]。最后，讓學生意識到列舉的繁雜性和不完整性，從而想到用[ba]×n來代表分數乘整數并加以證明。

本課的基礎模型是乘法，變化模型是整數乘整數、小數乘整數，分數乘整數是在小數乘整數的基礎上延伸的，是對乘法模型的再次豐富。在這個思維節點上，關注乘法模型的解決方法，不僅可以突出模型的共性，還能將模型的創造過程進行充分的展現，為后面分數乘分數的學習做鋪墊。同時，我們也發現建模教學可以將學生點狀的思維系統化，合并成類，形成深刻的數學結構。當學生學習分數乘分數后，乘法模型就會合并成最終結構：分子相乘作分子，分母相乘作分母。這一模型也可用于解釋整數乘法和小數乘法，這就是模型探究的魅力，它是有層級地逐步推進，從而系統化、完整化。學生抓住思維節點進行探究，可以夯實模型意識，感悟數學模型的高度概括性，達成數學語言表達的精準性。

3.強化模型本質，靈活辨析應用

建模是一個閉環的過程，從問題出發，建立模型、求證模型，而后讓模型作用于實際問題。數學本身是對問題不斷求解的過程，模型是解決問題的媒介。如何運用好模型，這不僅僅是教學的另一重點，更涉及學生對模型的理解與辨析。筆者在教學中經常發現，當只出現一種模型時，學生對其運用都非常熟練，錯誤也非常少，但當模型多了之后，學生就容易混淆，結構錯亂化。如何處理好模型的運用，提煉模型本質，這是課堂上不可或缺的環節。

（1）注重問題對比，在辨析中不斷明確

小學數學知識的學習是在不同的思維區域內打“地基”。這時候學生學習的知識是分散的，還未形成關聯，因而在提煉模型時，學生會因為問題結構的不清晰而出現錯誤。教師在處理該問題時，應該抓住這一學習特點和思維特性，將問題進行對比，明辨模型結構的區別，從而不斷提升學生對模型的運用能力。如對于長方形周長和面積的計算，學生經常會混淆周長計算模型和面積計算模型。在教學面積計算模型時，教師應該先復習周長計算模型，讓學生意識到周長和面積是兩個不同的概念。部分教師會忽略這一點，因為周長和面積的教學時間相差較遠。筆者在面積的教學中設計了三個對比：課前對比，發現周長和面積的區別，通過周長計算公式激發學生探究面積公式的欲望;課中對比，推導出面積公式后，讓學生辨別其與周長公式的區別;課末對比，利用題組練習使學生對周長和面積兩個概念的認識更深刻。運用對比手法，幫助學生在模型提煉中明確，在模型運用中思辨，提升模型意識培養速率。

（2）抓實問題本質，在理解中合理運用

筆者清晰地認識到，學生模型意識的養成并非一朝一夕之事，他們對知識的掌握是一個漸進的過程。教師在關注學生運用模型的同時，還要幫助學生理解，只有建立在明白基礎上的解決才是學習本身的追求。很多時候學生對模型的運用過于機械，“正確”的背后留下了思維定式的“暗瘡”，待時機成熟就會爆發。在教學時，教師要關注學生對問題的理解和對本質的把握，只有如此，學生才能在模型的運用中更加靈活。例如四年級上學期教學用連除或先乘再除解決歸一問題時，其實很多學生都已經掌握了解決問題的模型，在運用中也沒有出錯，但他們真的理解了模型嗎？教學時，教師一定要抓實學生對問題的理解，說明每一步算的是什么，只有說得清理得順，才是真的掌握了模型。如一年級學生在解決“媽媽有10個蘋果，比小明多5個蘋果，小明有幾個蘋果？”時，常會計算成“10+5”，這其實就是對“求比一個數多幾”模型的掌握不夠清晰，未真正理解多和少的本質。教師作為知識的傳遞者，學習的引導者，要幫學生從小形成正確的模型應用意識，如此，學生才能在不斷變化的數學問題中合理運用，形成素養。

讓學生自己創造出已有的數學模型，不僅可以增強成就感，還能在創造的過程中綜合運用已有的數學能力，提升自身的數學素養。因此，進行數學建模的研究，應在過程的放慢中抓實思維節點，強化模型本質，提升能力、進階思想、賡續思維，讓數學語言展現其獨特的魅力。

[本文系江蘇省重點資助課題“小學生數學建模能力培養的教學課例研究”（課題號：C-a/2020/02/01）階段性成果。]

（責編 吳美玲）