核心素養(yǎng)視域下的數(shù)學(xué)整體知識教學(xué)

徐斌

[摘 要]數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是通過數(shù)學(xué)活動逐步形成與發(fā)展的正確價值觀、思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力。核心素養(yǎng)如何在課堂教學(xué)中落地是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革的重點。從對一個單元整體教學(xué)的研究發(fā)展為對幾個單元知識的整體性教學(xué)，是一種積極的探索與實踐。“加減乘除是一家”一課，關(guān)注了教學(xué)內(nèi)容的整體組織，關(guān)注了核心問題的整體引領(lǐng)，關(guān)注了深度學(xué)習(xí)的整體建構(gòu)，關(guān)注了教學(xué)板書的整體設(shè)計，為研究“有組織的整體知識”教學(xué)提供了典型樣本。

[關(guān)鍵詞]核心素養(yǎng);整體知識;加減乘除

[中圖分類號] G623.5[文獻標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2022）20-0008-03

自2016年9月正式發(fā)布《中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》總體框架以來，有關(guān)核心素養(yǎng)的意義和實施路徑成為教育領(lǐng)域的關(guān)注焦點。2022年發(fā)布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》將“核心素養(yǎng)”作為數(shù)學(xué)課程目標(biāo)，明確指出：“義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程應(yīng)使學(xué)生通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，形成和發(fā)展面向未來社會和個人發(fā)展所需要的核心素養(yǎng)。核心素養(yǎng)是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐漸形成和發(fā)展的，不同學(xué)段發(fā)展水平不同，是制定課程目標(biāo)的基本依據(jù)。”“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有整體性、一致性和階段性。”同時在課程實施的“教學(xué)建議”中進一步提出了“通過合適的主題整合教學(xué)內(nèi)容，幫助學(xué)生學(xué)會用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，發(fā)展核心素養(yǎng)”。

在當(dāng)下的數(shù)學(xué)課程改革與實踐中，對一個單元整體知識教學(xué)的研究比較多，而對幾個單元甚至不同年級的相關(guān)單元知識的整體性教學(xué)尚缺乏深入研究和典型課例。事實上，如果學(xué)生習(xí)得的數(shù)學(xué)知識和技能總是局限于某一個單元或某一個年級，顯然不利于學(xué)生從整體上認識數(shù)學(xué)和理解數(shù)學(xué)，也會阻礙學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成，因此“總得有人去擦亮星星”。筆者曾在五年級進行了“小數(shù)四則運算復(fù)習(xí)”多單元整體知識教學(xué)嘗試，現(xiàn)在又欣喜地看到，安徽省特級教師夏永立大膽嘗試了一節(jié)體現(xiàn)整體知識教學(xué)的創(chuàng)新研究課“加減乘除是一家”（二年級），提交了一份極具借鑒意義的精彩課例。下面筆者就觀課后的幾點感想與大家分享。

一、關(guān)注教學(xué)內(nèi)容的整體組織

教學(xué)內(nèi)容是落實課程教學(xué)目標(biāo)、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的載體。一方面，教師應(yīng)重視對教學(xué)內(nèi)容的整體分析，了解數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生與來源、數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)、數(shù)學(xué)知識的價值與意義;另一方面，教師應(yīng)在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)概念、原理、法則之間構(gòu)建有效的認知鏈接，體會不同教學(xué)內(nèi)容之間的一致性和可遷移性，從而讓學(xué)生學(xué)會用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題。

加、減、乘、除四則運算一直是第一學(xué)段數(shù)學(xué)教學(xué)的重點內(nèi)容，現(xiàn)行教材一般在一年級上冊就開始教學(xué)加法和減法的意義及運算，然后在二年級上冊正式教學(xué)乘法和除法的意義及運算。關(guān)于四則運算的數(shù)值范圍，從一年級開始在自然數(shù)范圍內(nèi)螺旋式上升地編排四則運算內(nèi)容，從三年級開始逐步擴展到分?jǐn)?shù)、小數(shù)的四則運算。當(dāng)學(xué)生在二年級學(xué)習(xí)結(jié)束時，如何把四則運算的意義進行整體性關(guān)注和一致性教學(xué)？夏老師從計數(shù)與運算的關(guān)系入手，整體設(shè)計和組織了該節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容。

一節(jié)課只有40分鐘，要把分散在兩個年級里的多個單元的數(shù)學(xué)知識進行整體性教學(xué)，難度很大，這需要教師對教學(xué)內(nèi)容進行整體組織。夏老師以一根數(shù)線（如圖1，小學(xué)階段尚未正式引入“數(shù)軸”這一概念）貫穿整節(jié)課，把加、減、乘、除法的基本含義和內(nèi)在聯(lián)系進行了整體性教學(xué)。

夏老師首先讓學(xué)生在數(shù)線上移磁扣，體驗加法和減法運算之間的互逆關(guān)系。學(xué)生通過形象具體的教具移動，利用簡約和直觀的素材，明確了加減法的含義： 加法就是繼續(xù)往后數(shù)的計數(shù)策略，減法就是倒著數(shù)的計數(shù)策略。

在初步溝通了加、減法之間的內(nèi)在聯(lián)系后，夏老師進一步讓學(xué)生在數(shù)線上操作和理解乘、除法（如圖2、圖3）：

在學(xué)生分別建立了加法和減法、乘法和除法之間的關(guān)系后，夏老師再進一步溝通乘法和加法、除法和減法之間的內(nèi)在聯(lián)系，即“乘法是特殊的加法”“除法是特殊的減法”，由此學(xué)生逐步體驗到“加減乘除是一家”。課末的由正數(shù)拓展到負數(shù)（如圖4），在激發(fā)學(xué)生的探究欲望的同時也為學(xué)生將來的學(xué)習(xí)埋下伏筆。

二、關(guān)注核心問題的整體引領(lǐng)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實離不開核心問題的引領(lǐng)，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》中明確地將“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題”作為與“分析問題、解決問題”并列的重要目標(biāo)。一般的數(shù)學(xué)課堂，學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的機會并不多，而教師則經(jīng)常提出眾多駁雜的“問題”。因此通過核心問題引領(lǐng)教學(xué)成為有效學(xué)習(xí)的前提和保證。

眾所周知，問題是數(shù)學(xué)的心臟。在該課教學(xué)中，夏老師既沒有過多地講述與灌輸，也沒有一味地讓學(xué)生操作與探索，而是一直讓學(xué)生思考三個核心問題：我是誰？家在哪？還去哪？在這些富有哲思的核心問題的引領(lǐng)下，學(xué)生厘清了數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，實現(xiàn)了認知圖式的自我建構(gòu)。

有了核心問題的整體引領(lǐng)，還需要通過分解具體問題來促進學(xué)生不斷探索與思考四則運算的本質(zhì)。

（1）在教學(xué)加法和減法的含義和相互關(guān)系時，分別提問：在數(shù)線上，0的“家”在哪？0+1的新“家”又在哪里？它（圓形磁扣）怎樣回到原來的“家”？比較兩次移動的過程，有什么相同和不同的地方？

（2）在溝通加法和乘法的關(guān)系時，提問：剛才移動磁扣的時候，都是1格1格地移，還可以怎么移？幾格幾格地移，除了列加法算式還可以用什么運算？有了加法運算為什么還要學(xué)習(xí)乘法？

（3）在溝通除法和減法的關(guān)系時，提問：磁扣從8開始，向左2格2格地移，回到原來的家（0），你能想到什么算式？除法的含義是什么？你能用箭頭表示除法和減法的關(guān)系嗎？

（4）在教學(xué)乘法和除法的含義和相互關(guān)系時，提問：進行乘法和除法計算時，在數(shù)線上移磁扣有什么相同和不同的地方？乘法和除法有什么聯(lián)系？

（5）在學(xué)生理解四種運算的含義以及運算之間的聯(lián)系后，通過核心問題引發(fā)學(xué)生深度思考：加、減、乘、除四種運算之間有著怎樣的關(guān)系？

在上述核心問題的引領(lǐng)下，學(xué)生把曾經(jīng)零散習(xí)得的四則運算知識進行了系統(tǒng)整理，不僅對加、減、乘、除法各自的含義有了更加清晰的認識，還認識到了加法運算是所有運算的源頭和基礎(chǔ)，四則運算之間具有整體性，運算的本質(zhì)是計數(shù)，計數(shù)與計算之間具有內(nèi)在一致性。可見，有了核心問題的引領(lǐng)，學(xué)生的學(xué)習(xí)就有了目標(biāo)和方向，知識的理解和掌握就有了結(jié)構(gòu)化的特征。

三、關(guān)注深度學(xué)習(xí)的整體建構(gòu)

從廣義知識分類的角度來看，該課所學(xué)習(xí)的知識屬于“有組織的整體知識”（吳紅耘、皮連生主編《學(xué)與教的心理學(xué)》一書，華東師范大學(xué)出版社2020年版，第112頁），即指“圍繞某個主題或者按照一定的關(guān)系組織起來的一整塊的知識”。該課是對加、減、乘、除四則運算的系統(tǒng)整理與提升，不是單一的命題或事實，而是屬于典型的“一整塊”知識。這類知識學(xué)習(xí)的重點目標(biāo)是理解。用奧蘇伯爾的同化理論解釋，理解的本質(zhì)是原有的適當(dāng)觀念同化新的知識，影響這類知識學(xué)習(xí)的最重要條件是原有知識及其組織的特征。

從心理學(xué)角度看，促進有組織的整體知識學(xué)習(xí)的重要外部條件是提高學(xué)習(xí)材料的“可懂度”，即通過有效的策略加工，把抽象的數(shù)學(xué)知識形象化，以順應(yīng)兒童的年齡特征和認知規(guī)律，也就是把“學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)的數(shù)學(xué)”，把“冰冷的美麗”轉(zhuǎn)化為“火熱的思考”。夏老師精心設(shè)計了促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)的教學(xué)策略，主要有以下三種：

一是采用直觀游戲活動。游戲是孩子的天性，興趣是最好的老師。在全課教學(xué)中，夏老師充分發(fā)揮了游戲化、活動化教學(xué)的優(yōu)勢，只用了一個看上去不起眼的磁扣，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)線上不斷操作，進而在有趣的數(shù)學(xué)活動中理解四則運算的意義以及它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。夏老師還注意變換游戲活動的形式，除了有教師的直觀示范，也有個別學(xué)生的操作演示，還有全體學(xué)生的獨立操作與合作交流，以及游戲活動前后的猜測、驗證、對比、評價。這樣的活動教學(xué)，相當(dāng)于給了學(xué)生一把智慧的鑰匙，讓學(xué)生打開數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之門，真正享受數(shù)學(xué)思考的樂趣。

二是采用數(shù)形結(jié)合方式。數(shù)學(xué)家華羅庚指出“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”。要讓二年級學(xué)生深入理解四則運算的含義，除了借助直觀的操作活動，還離不開數(shù)形結(jié)合的方式。夏老師通過直觀操作，幫助學(xué)生建立起磁扣移動的格子數(shù)、方向與計數(shù)、運算之間的內(nèi)在聯(lián)系，促進學(xué)生由動作圖式過渡到具體運算圖式，進而發(fā)展為抽象運算。以此利用簡約的教學(xué)素材幫助學(xué)生實現(xiàn)深度的數(shù)學(xué)理解，從而促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

三是采用符號標(biāo)志技術(shù)。所謂符號標(biāo)志技術(shù)，是指在學(xué)習(xí)材料中加入未增加實際內(nèi)容的標(biāo)志或詞語，以強調(diào)材料的概念結(jié)構(gòu)和組織的技術(shù)。本課學(xué)習(xí)的知識是典型的“有組織的整體知識”，因此特別需要通過這種凸顯學(xué)習(xí)材料結(jié)構(gòu)和關(guān)系的技術(shù)來促進學(xué)生深度理解。夏老師全課除了采用動態(tài)的磁扣移動幫助學(xué)生在頭腦中形成動態(tài)表象，還通過半抽象半直觀的數(shù)線圖幫助學(xué)生在計數(shù)中理解計算，又利用板書的不同顏色、線條和符號標(biāo)記等，圖文并茂地突出內(nèi)容要點，使學(xué)生能夠選擇適當(dāng)?shù)男畔ⅲ宄膭t運算之間的結(jié)構(gòu)性和整體性聯(lián)系，進而把零散的運算概念建構(gòu)成清晰的認知結(jié)構(gòu)，體會不同運算之間遵循的共同規(guī)律，感悟不同運算的內(nèi)在一致性。

四、關(guān)注教學(xué)板書的整體設(shè)計

我國本輪基礎(chǔ)教育課程改革已經(jīng)進行了20年有余，無論是教育理念的更新還是教學(xué)方式的創(chuàng)新，始終方興未艾。然而改革過程中我們也發(fā)現(xiàn)，很多教師重視了教學(xué)方式的變革，重視了教學(xué)手段的更新，重視了教學(xué)內(nèi)容的重組，重視了學(xué)習(xí)過程的體驗，重視了學(xué)習(xí)結(jié)果的評價，但是對板書設(shè)計的重視遠遠不夠，有時甚至整堂課不板書一個字，或者只是電子虛擬的課件式板書一閃而過，使得學(xué)生一堂課學(xué)下來并不能把握知識重點，更形成不了認知體系，制約了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成。因此，教師應(yīng)該充分認識到課堂板書的重要價值。

筆者欣喜地看到夏老師在這節(jié)課中十分注重板書的設(shè)計與教學(xué)（如圖5）。

上述板書設(shè)計具有結(jié)構(gòu)性和整體性：既有直觀的數(shù)線以及可以移動的磁扣，也有具體的運算算式及得數(shù);既有四則運算的典型舉例，也有四則運算之間的內(nèi)在聯(lián)系;既有抽象的數(shù)字和符號，也有形象的線條與箭頭;既有學(xué)習(xí)的知識內(nèi)容，也有學(xué)習(xí)的問題提出。這樣的板書，在有痕的提示中引領(lǐng)學(xué)生尋找知識之間的連接點，將碎片化的知識連成線、結(jié)成網(wǎng)、筑成塊;在無痕的提升中促進學(xué)生建立起結(jié)構(gòu)化思維，形成了完整的認知結(jié)構(gòu)。

筆者認為，板書是一節(jié)課的整體思路與框架，是課堂教學(xué)的運行線索與結(jié)構(gòu)，也是教師教學(xué)智慧的寶貴結(jié)晶和創(chuàng)造，值得教師進行更多的研究與實踐。在此，讓我們重溫《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》“教學(xué)建議”中對板書的定位：“在應(yīng)用現(xiàn)代信息技術(shù)的同時，教師還應(yīng)注重課堂教學(xué)的板書設(shè)計。必要的板書有利于實現(xiàn)學(xué)生的思維與教學(xué)過程同步，有助于學(xué)生更好地把握教學(xué)內(nèi)容的脈絡(luò)。”

（責(zé)編 金 鈴）