基于“能力立意、問題導向”的深度教學策略

周寧

[摘? 要] 文章以“利用函數對稱性求值”課例說明，在高三數學復習中如何以“能力立意、問題導向”開展微專題復習以及如何實現教師深度教學和學生深度學習，提升教師的教育教學水平和學生數學核心素養.

[關鍵詞] 能力立意;問題導向;深度教學;深度學習;函數對稱性

[?]問題提出

進入高三二輪復習，很多教師會以微專題的形式展開復習教學，以期提高復習的有效性. 但是在專題內容的選擇上，只是以知識、題型、解題技巧為主題，忽視了對知識本質、內在邏輯的聯系以及思想方法的重視，可能在一些陳題上會有效果，但是在如今以能力、素養為立意的高考命題導向下，這種復習行為顯然有些不思進取、故步自封. 筆者學習了黃炳鋒老師提出的“五環節”（能力測評、診斷分析、典例精析、課堂小結、目標檢測）教學法并加以實踐，以“能力立意、問題導向”進行微專題復習，在教學設計中力求讓學生加強對數學本質的理解、對數學思想的感悟以及對數學學習的情操體驗，從而提高學生的數學能力.

本文以高三復習微專題“利用函數對稱性求值”為例，探求如何通過“五環節”進行深度教學，促進學生深度學習.

[?]教學過程

1. 能力測評

教師：請同學們花十分鐘時間完成例1.

例1 （2017年全國卷Ⅲ理數第11題）已知函數f（x）=x2-2x+a（ex-1+e-x+1）有唯一零點，則a=（? ）

A. - B.

C. D. 1

筆者在巡視中發現學生作答都是馬上對函數f（x）求導，然后就無從下筆了，于是筆者決定引導學生對問題再認識，領悟問題考查的知識內容和思想方法，從而提升其思維品質，發展學生的核心素養.

教師：為什么要求導？

生1：利用導數判斷函數的單調性，然后畫函數圖像.

教師：很好，函數有唯一零點可以從函數圖像中觀察到，但是發現導函數的解析式很復雜，無法利用導函數判斷函數的單調性，這個方法走不通. 但是方向是沒錯的，問題在于如何發現圖像的大致形狀. 請大家再觀察函數的解析式，是否能發現其特殊性？

生2：y=x2-2x的圖像關于x=1對稱.

教師：“函數圖像有對稱軸”與“函數有唯一零點”有關系嗎？

生2：如果函數有唯一零點，且圖像關于x=m對稱，那么x=m就是函數的零點.

教師：所以下一步我們該如何處理？

生2：猜測y=ex-1+e-x+1也關于x=1對稱，這樣f（x）=x2-2x+a（ex-1+e-x+1）的圖像就關于x=1對稱，可得f（1）=0，就可以求出a的值了.

設計意圖：以問題為導向，通過能力測評的試題暴露學生現存的問題：對數學問題認識不清，導致解題沒有方向，機械化、隨意性，導致問題無法順利求解. 激發學生的問題意識，從而引出本節課的主題，明確本節課的學習內容.

2. 診斷分析

教師：要能夠順利求解一個數學問題，先要認清問題的本質，因此讀題后有必要思考三個問題：

（1）這是一個什么數學問題？

（2）解決這類問題的一般思想方法是什么？

（3）條件和問題具體是什么？怎么聯系起來？

對于例1，這三個問題的答案是什么？

預設：（1）含參函數有唯一零點求參數取值;

（2）函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想;

（3）解析式（代數）→圖像（幾何）→代數.

教師：解決例1的關鍵是發現函數圖像具有對稱軸，以及對稱軸的幾何特征與代數特征之間的聯系，因此我們有必要總結一下函數對稱性以及其代數特征與幾何特征. 請同學們完成表1和表2.

設計意圖：通過對例1解答過程中學生出現的問題進行診斷分析，引出考查中需要進一步研究的具體問題，構建解決這類問題所需要的知識方法體系.

3. 典例精析

例2 （2016年全國卷Ⅱ文數第12題）已知函數f（x）（x∈R）滿足f（x）=f（2-x），若函數y=x2-2x-3與y=f（x）圖像的交點為（x，y），（x，y），…，（x，y），則x=（? ）

A. 0 B. m

C. 2m D. 4m

解析：由f（x）=f（2-x）得f（x）的圖像關于x=1對稱，又函數y=x2-2x-3的圖像也關于x=1對稱，故兩個函數圖像的交點必然也關于x=1對稱.不妨設x

變式：已知函數f（x）（x∈R）滿足f（x）=-f（2-x），若函數y=g（x）與y=f（x）圖像的交點為（x，y），（x，y），…，（x，y），且x=m，則g（x）=________（請寫出滿足題意的一個函數解析式）.

解析：由f（2-x）+f（x）=0可知，f（x）的圖像關于（1，0）對稱，若y=g（x）的圖像也關于（1，0）對稱，易得x=m. 所以g（x）的解析式可以是y=（x-1）3，y=，y=sinπx等.

例3 （2012年全國新課標卷文數第16題）設函數f（x）=的最大值為M，最小值為m，則M+m=________.

解析：f（x）==1+，因為y=是奇函數，其圖像關于（0，0）對稱，故y=f（x）的圖像關于（0，1）對稱，由圖像性質可知，=1，即M+m=2.

設計意圖：通過例題幫助學生進一步理解考查的知識點和思想方法，體會如何利用函數對稱性解決問題以及函數對稱性可以解決哪些問題，并通過開放性試題的設置來提高學生對函數對稱性的代數特征與幾何特征的理解和認識. 特別是對例3的解答，如果對函數對稱性的認識不夠深刻，看到最值問題就想到利用導數求解，那么此題將無法解決，跟例1暴露出來的問題是相似的，通過這道題再一次強化學生對函數對稱性的認知.

4. 課堂小結

（1）本節課學習了哪些知識和思想方法？

（2）如何想到用函數對稱性解決問題？用函數對稱性可以解決哪些問題？

（3）總結具有對稱性的函數.

（4）你能否通過本節課的學習，總結函數的其他性質？

設計意圖：引導學生梳理本節課內容，進一步完善知識方法體系，讓學生理解函數對稱性的本質特征，領悟其中蘊含的數學思想方法，體會數學的對稱美.

5. 目標檢測

（2016年全國卷Ⅱ理數第12題）已知函數f（x）（x∈R）滿足f（-x）=2-f（x），若函數y=與y=f（x）圖像的交點為（x，y），（x，y），…，（x，y），則（x+y）=（? ）

A. 0 B. m

C. 2m D. 4m

[?]深度教學的幾點思考

1. 深度教學要基于主題的選取

為了能夠促進學生深度學習，教學主題的選取不是為了讓學生解決單一的知識問題，而是要能夠產生數學知識方法橫向以及縱向的關聯，在思維邏輯上具有同一性，在學習方式上具有生成性，在教學設計上具有一致性，使得學生能夠以批判性思維進行知識方法的建構，更能以知識遷移的運用來提高數學能力，體現該主題的核心價值. 通過構建知識結構體系，幫助學生獲得學科思維方法，促進學生對這類相似知識方法體系的理解，從而達到深度學習的目標.

如本節課對函數對稱性的復習與函數的單調性、最值、周期性等性質在知識建構的過程、思想方法的提煉上保持著一致性，使得學生在認知觀念和知識體系上形成邏輯連貫性，從而建構起解決這類問題的知識方法體系.

2. 深度教學要面向問題的解決

由于學生的認知結構不夠完善，認知水平也有待提高，所以學生不太可能自主完成數學深度學習. 因此復習時通過問題讓學生形成認知沖突，從而激發其求知欲，調動學生探究問題的積極性和主動性. 這一切的前提是要有優質的問題進行引導. 因此復習中對數學試題的選擇要把握好高考的重點、熱點、疑難點，要具有深入研究的價值和較高的思維，問題的解決能夠充分體現數學的基本思想方法，通過對問題的多角度理解加深對問題本質的認識，為學生深度學習提供條件.

“五環節”教學模式中通過“能力測評”環節暴露學生對該教學主題的淺層思維，發現存在的問題，在“診斷分析”中通過層層設問促使學生對問題進行深度剖析，從而以批判性思維對知識方法重新建構，在“典例精析”中強化對問題本質的認識與理解，通過設置結構不良試題來發展學生綜合分析、解決問題的能力，提高學生把握知識方法的深度，促進深度學習.

3. 深度教學要深化數學的理解

很多情況下學生進行的是淺層學習，一個很重要的原因就是對數學的理解只是基于表層，忽視對數學本質的認識. 為讓學生進入深度學習，首要就是理解數學的內涵：可以在數學知識背景、幾何直觀、符號公式中感受數學的“感性美”，在邏輯推理中理解數學的“理性美”，通過這兩種美的認知體會對數學本質的理解，如本節課中對稱性的代數特征與幾何特征之間的聯系;也可以通過數學思考培養數學思維方法，擴充認知結構，積累活動經驗.通過深化對數學的理解，實現深度學習.

4. 深度教學要教會學生學習

深度教學的一個重要目標是教會學生擁有自主學習的能力，擁有探求數學知識世界的渴望，擁有發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力. 要實現這樣的目標，教學中要幫助學生對數學知識進行關聯和整合，能夠運用類比、發展的思維去發現問題，在問題的探究中培養團結協作、科學理性的精神，掌握數學發現的一般方法，在“反思”與“再認識”中加強對問題本質的理解，這樣才能真正學會深度學習.

[?]結語

無論是深度教學還是深度學習，都要求“深刻理解數學”. 在這個過程中，教師以“深刻的思想啟迪學生”，學生以“深刻的學習開創未來”.