溯源——利用點差法深究圓錐曲線中點弦的存在性問題

余隆蘭

[摘? 要] 文章通過類比、對比，利用點差法深度挖掘圓錐曲線中點弦的存在性問題.

[關鍵詞] 中點弦;圓錐曲線;點差法

圓錐曲線與中點弦有關的問題是高考的熱點之一，就橢圓而言，弦的中點必在橢圓內，那么橢圓內的點是否都存在中點弦呢？對于雙曲線、拋物線這類“開放”的曲線是否有類似的結論？對此鮮有文章利用中學生容易掌握的方法給出一般結論及其證明，本文通過類比、對比，利用點差法深度挖掘圓錐曲線中點弦的存在性問題，幫助學生構建一個完備的知識體系，抓住問題的本質，理解題目設計的本源.

定理1：設橢圓C：+=1（a>b>0），點P（x，y）為平面內異于原點的一個點，當且僅當點P在橢圓內（如圖1所示的陰影區域，不含邊界），即+<1時，存在過點P的直線l，使得l交C于A，B兩點，且點P為AB的中點，直線l的方程為x=x或y-y=-（x-x）.

證明：（1）必要性：①當點P（x，y）在橢圓C內，且點P在x軸上時，存在直線l滿足題意，直線l的方程為x=x.

②當點P（x，y）在橢圓C內，且點P不在x軸上時.設A（x，y），B（x，y），點P為AB的中點，則=x，=y.

因為A，B兩點都在橢圓C上，所以+=1，+=1.兩式相減得+=0，整理得=-= -，故k=-，其中x≠x，y≠0.所以直線l的方程為y-y=-（x-x）.

因為點差法的使用前提是直線與曲線有兩個交點，所以需要檢驗直線l與橢圓C是否有兩個交點. 此處可以用聯立方程組來證明，但計算煩瑣，此時可以結合圖像來處理這個問題.

檢驗：因為直線l過橢圓C內的點P，所以直線l與橢圓C必有兩個交點.

綜上所述，直線l的方程為x=x或y-y=-（x-x）.

（2）充分性：設在橢圓C上存在兩點A（x，y），B（x，y），使得點P（x，y）為AB的中點，結合圖像知，點P在橢圓C內，滿足+<1.

事實上，當點P為原點時，存在無數條過P的直線l，使得l交橢圓C于A，B兩點，且點P為AB的中點.

若橢圓的方程為其他形式，也有類似的結論.

定理2：設雙曲線C：-=1（a>0，b>0），點P（x，y）為平面內異于原點的一個點，當且僅當點P在如圖2所示的陰影區域內（不含邊界），即->1或-<0時，存在過點P的直線l，使得l交C于A，B兩點，且點P為AB的中點，直線l的方程為x=x或y-y=（x-x）.

證明：（1）必要性：①當點P（x，y）在如圖2所示的陰影區域內，且在x軸上時，存在直線l滿足題意，直線l的方程為x=x.

②當點P（x，y）在如圖2所示的陰影區域內，且點P不在x軸上時，設點A（x，y），B（x，y），點P（x，y）為AB的中點，則=x，=y.

因為A，B兩點都在雙曲線C上，所以-=1，-=1. 兩式相減得-=0，整理得==，故k=，其中x≠x，y≠0. 所以直線l的方程為y-y=（x-x）.

因為點差法的使用前提是直線與曲線有兩個交點，所以需要檢驗直線l與雙曲線C是否有兩個交點. 此處可以結合圖像處理這個問題：

當點P在陰影區域①或②內時，因為->1，所以>，即

>，所以

k=

>，即k>或k< -.所以，當點P在陰影區域①或②內時，結合圖像可知，直線l與雙曲線C的某一支必有兩個交點.

當點P在陰影區域③或④內時，因為-<0，即

<，所以

k=

<，即-

所以，直線l與雙曲線C必有兩個交點.

綜上所述，直線l的方程為x=x或y-y=（x-x）.

（2）充分性：假設在雙曲線上存在兩點A（x，y），B（x，y），使得點P（x，y）為AB的中點.

當A，B兩點在雙曲線C的同一支上時，顯然點P在陰影區域①或②內，滿足->1.

當A，B兩點分別在雙曲線C的左、右兩支上時，x≠x，-=1且-=1，兩式相減得-=0（?）.

當y=-y時，x=-x，A，B兩點關于原點對稱，故點P在原點處.

當y≠-y時，x≠-x，y≠0，（?）式可整理成==，故k=.

因為A，B兩點分別在雙曲線C的左、右兩支上，所以

k=

<，即-<0.

綜上所述，->1或-<0.

事實上，當點P為原點時，存在無數條過P的直線l，使得l交雙曲線C于A，B兩點，且點P為AB的中點.

若雙曲線的方程為其他形式，也有類似的結論，讀者可以自行證明.

定理3：設拋物線C：y2=2px（p>0），點P（x，y）為平面內一點，當且僅當點P在拋物線C內（如圖3所示的陰影區域，不含邊界），即y<2px時，存在過點P的直線l，使得l交C于A，B兩點，且點P為AB的中點，直線l的方程為x=x或y-y=（x-x）.

證明：（1）必要性：①當點P（x，y）在拋物線C內，且點P在x軸上時，存在直線l滿足題意，直線l的方程為x=x.

②當點P（x，y）在拋物線C內，且點P不在x軸上時，即y<2px，且y≠0. 設A（x，y），B（x，y），點P為AB的中點，則=x，=y.

因為A，B兩點都在拋物線C上，所以y=2px，y=2px. 兩式相減得y-y=2p（x-x），整理得==，故k=，其中x≠x，y≠0.

故直線l的方程為y-y=（x-x）.

檢驗：因為直線l過拋物線C內一點P，所以直線l與拋物線C必有兩個交點.

綜上所述，直線l的方程為x=x或y-y=（x-x）.

（2）充分性：設在拋物線C上存在兩點A（x，y），B（x，y），使得點P（x，y）為AB的中點，結合圖像，顯然點P在拋物線C內，滿足y<2px.

利用點差法解決圓錐曲線中點弦的存在性問題，運算簡潔，結構緊湊，操作性強，但是它的使用前提是直線與曲線有兩個交點，這也是點差法的局限性. 此外還可以用聯立方程組法進行證明，但是計算煩瑣，學生不易掌握，可以作為課外自主探索.