挖掘“源頭” 把握方向

劉熙 劉冰楠

[摘? 要] 以2021年全國新高考Ⅱ卷（數學）第14題為例，挖掘其在教科書中的“主流源頭”和“支流源頭”，并提出備考建議：解讀文件精神，明確考查方向;回歸教科書，把握命題方向;挖掘同類素材，預測試題命制.

[關鍵詞] 高考題;數學教科書;追根溯源;備考建議

高考試題大多源于教科書例習題的改編與整合，在一定程度上體現了基礎性、創新性的高考學科考查要求. 挖掘高考數學試題在教科書中的“源頭”，不僅可以體悟高考試題源于教科書的命制思路、了解教科書內容的改編方式，還可以初步感知高考命題動向、把握復習重點. 以2021年全國新高考Ⅱ卷（數學）第14題（以下簡稱“新高考Ⅱ卷第14題”）為例，挖掘其在教科書中的“主流源頭”和“支流源頭”，并提出一些備考建議.

[?]試題呈現

（新高考Ⅱ卷第14題）寫出一個同時具有性質①②③的函數f（x）：______.

①f（xx）=f（x）f（x）;②當x∈（0，+∞）時，f′（x）>0;③f′（x）是奇函數.

解：取f（x）=x2，則f（xx）=（xx）2=xx=f（x）f（x），滿足性質①;f′（x）=2x，x∈（0，+∞）時f′（x）>0，滿足性質②;f′（x）=2x的定義域為R，又f′（-x）=-2x=-f′（x），故f′（x）是奇函數，滿足性質③. 故答案為f（x）=x2（答案不唯一，f（x）=x2n（n∈N*）均滿足）.

[?]試題評析

考生應明確填空題的命制意圖——“側重于基礎知識和基本能力的考查，關注對課本知識掌握的牢固程度”[1]. 該試題要求寫出一個同時具有性質①②③的函數，該函數類型在教科書中有所提及，而教科書中的冪函數、指數函數、對數函數、三角函數等，滿足性質①的僅有冪函數f（x）=xα（其中x是自變量，α是常數），由此確定函數類型. 根據性質②，函數f（x）在區間（0，+∞）內單調遞增，因此α>0. 由性質③，可知f′（x）=αxα-1中x的指數α-1為奇數，故α為偶數，于是f（x）=x2n（n∈N*）均滿足. 此外，考生應理性審視試題，題目要求寫出函數解析式，答案應是熟悉的函數類型或其復合函數，因此要迅速提取已學的函數類型（冪函數、指數函數、對數函數、三角函數等），并對三條性質逐一驗證，從而解決問題. 該試題解答的關鍵在于理性地選擇函數類型，對備選的函數類型要進行驗證，并做出正確的取舍.

該試題給出了明確的已知條件，考生需要結合性質①判斷所求函數的類型，再結合性質②③寫出符合要求的函數解析式，標準答案不唯一，屬于開放性試題中的“舉例問題”，這種試題在2021年高考數學中首次出現[2]. 試題聚焦“一核、四層、四翼”評價體系，立足冪函數的性質、利用導數判斷函數的單調性、奇偶函數的定義等基礎知識，打破常規，增大試題探究性，擴大開放度，體現創新性，對數學知識進行多方位、深層次的考查，滲透數學運算、邏輯推理等數學學科核心素養，考查邏輯推理能力、運算求解能力、創新能力、綜合運用知識解決問題的能力，突顯思維的創新性、靈活性和多樣性，體現“重思維、重應用、重創新”的命題要求.

[?]追根溯源

1. 高考試題的“主流源頭”

高考命題應立足學業質量標準和課程內容[3]. 教科書作為課程內容的主要載體，其內容在高考命題中占有一定的地位，大多數高考題在教科書中均可以找到“影子”. 如新高考Ⅱ卷第14題可以在教科書中尋到其“主流源頭”——人教A版數學必修第一冊第74頁習題3.1第17題（簡記為“例1”）.

例1 探究是否存在函數f（x），g（x）滿足條件：

（1）定義域相同，值域相同，但對應關系不同;

（2）值域相同，對應關系相同，但定義域不同.

解：（1）存在. 如f（x）=x，定義域為R，值域為R;g（x）=2x+1，定義域為R，值域為R. 又如f（x）=x，定義域為R，值域為[0，+∞）;g（x）=x2，定義域為R，值域為[0，+∞）. （答案不唯一）

（2）存在. 如f（x）=x2，定義域為[0，2），值域為[0，4）;g（x）=x2，定義域為（-2，2），值域為[0，4）. （答案不唯一）

新高考Ⅱ卷第14題是該教科書原題的變式與拓展，不僅包括必備知識的加深拓展，還包括關鍵能力、學科核心素養等的深化. 第一，二者均為根據已知條件寫出函數解析式的題目，要求學生透徹理解函數主線的基礎知識，能靈活運用函數性質. 高考試題將冪函數的性質、單調性、導數、奇偶函數的定義等基礎知識有機整合，注重知識的系統性和整體性;教科書原題重點考查函數三要素，鞏固深化教科書內容. 這在一定程度上體現了高考試題是由教科書原題改編、拓展的，突出考查學生綜合運用基礎知識解決問題的能力，是必備知識的加深拓展. 第二，二者均屬于開放性問題中的“舉例問題”，需根據題目條件寫出符合要求的函數解析式且答案不唯一. 這不僅可以激活學生的知識網絡，還可以培養學生思維的靈活性和創新性，且高考試題考查的知識點較多，在一定程度上增加了試題的難度. 第三，“舉例問題”打破常規，要求學生根據條件寫出函數解析式，而常規題目多根據函數解析式及相關條件推導函數性質，這對學生數學能力的培養側重點有所不同. 常規題目注重培養學生的邏輯推理能力，落實數學運算素養;“舉例問題”注重培養學生從多角度審視問題的能力，考查學生思維的靈活性和創新性.

2. 高考試題的“支流源頭”

教科書的函數主線還涉及其他類型的“舉例問題”，包括構建滿足函數解析式的問題情境、根據問題情境畫出函數圖像等. 具體如下：

例2 構建其他可用解析式y=x（10-x）描述其中變量關系的問題情境. （人教A版數學必修第一冊第63頁探究題）

例3 構建一個問題情境，使其中的變量關系能用解析式y=來描述. （人教A版數學必修第一冊第64頁練習第4題）

例4 構建一個問題情境，使其中的變量關系能用解析式y=ax2（a>0）來描述. （人教A版數學必修第一冊第73頁習題3.1第14題）

例5 一名心率過速患者服用某種藥物后心率立刻明顯減慢，之后隨著藥力的減退，心率再次慢慢升高. 畫出自服藥那一刻起，心率關于時間的一個可能的圖像（示意圖）. （人教A版數學必修第一冊第86頁習題3.2第6題）

例6 體內癌細胞初期增加得很緩慢，但到了晚期就急劇增加，畫一幅能反映體內癌細胞數量隨時間變化的示意圖. （人教A版數學必修第一冊第118頁練習第3題）

上述教科書原題均為開放性問題中的“舉例問題”（答案不唯一），與新高考Ⅱ卷第14題所屬主線一致. 前三題根據函數解析式構建滿足變量關系的問題情境，后兩題根據問題情境畫出函數圖像. 滿足變量關系的問題情境、函數解析式、函數性質、函數圖像等緊密相關，命制試題時可根據考查要求將其中一方設為未知量. 新高考Ⅱ卷第14題將函數性質作為已知條件，將函數解析式設為未知量，考查學生對基本初等函數性質的掌握情況以及對知識的靈活運用水平;教科書的例2、例3、例4將函數解析式作為已知條件，將滿足變量關系的問題情境設為未知量，可以讓學生深度理解函數解析式，感悟數學源于生活;教科書的例5、例6將問題情境作為已知條件，將函數圖像作為未知量，可以提高學生的動手實踐能力、作圖能力，使學生體悟數學應用于生活. 上述教科書原題均為新高考Ⅱ卷第14題的“同類素材”，且契合“習題應開發一些具有應用性、開放性、探究性的問題”[3]的編寫建議，并發揮獨特的數學學科育人價值. 隨著試題開放度的增大，上述教科書原題在預測高考試題命制時具有一定的參考價值.

[?]備考建議

基于新高考Ⅱ卷第14題在教科書中“源頭”的挖掘，本文提出以下幾點備考建議：

1. 解讀文件精神，明確考查方向

高考評價體系是新時代高考內容改革的理論支撐和實踐指南[4]. 在備考過程中，應關注國務院、教育部考試中心等發布的文件以洞悉高考內容改革方向，同時閱讀高考命題者公開發表的文章，關注他們對國家相關政策文件的解讀、對高考評價體系的認識，以及依據高考評價體系、高校人才選拔要求、國家課程標準建構的數學命題框架，由此明確高考數學學科的考查內容、考查要求、考查載體，以及選擇題、填空題、解答題的命制意圖等. 例如，若明晰填空題的命制意圖，新高考Ⅱ卷第14題就可以將函數類型的范圍縮小至教科書中的基本初等函數，進而一一驗證.

2. 回歸教科書，把握命題方向

歷年高考命題中有大量試題直接源于教科書或由教科書中的例習題改編而來[5]，但試題的回歸并沒有降低考查難度與深度，而是通過對教科書例習題進行變式拓廣提高了試題的綜合性和創新性，優化了高考選拔功能. 在備考過程中，應充分挖掘歷年高考試題在教科書中的“源頭”，明晰其改編方式，把握命題方向，并“結合高考命題實際，對教科書中的某些內容進行補充、拓展、改進、增補、變式、整合等”[6]. 例如，新高考Ⅱ卷第14題是在保持例1“舉例開放”題型以及所屬主線一致的基礎上，對必備知識的加深拓展、對關鍵能力的深化、對學科核心素養的落實. 因此，備考過程中應關注教科書中新題型的出現（如“舉例問題”），并嘗試對其進行改編，包括條件與結論的倒置、綜合性的增強、知識點所屬主線的改變等，加強試題的開放性和探究性，設計條件或結論開放、解題方法多樣、答案不唯一的試題，減少“刷題”在高考中的作用.

3. 挖掘同類素材，預測試題命制

在備考過程中，注重挖掘歷年高考試題在教科書中的“源頭”并找尋同類素材，包括題型一致（如均屬于“舉例開放”問題）、所屬主線相同、思維程序類似等，以期預測高考試題命制. 高考“通過命制開放性試題、結構不良試題，發揮選拔功能;通過創新題型，對學生的創新能力進行考查”[4]，擴大試題的創新性、探究性、開放性. 新高考Ⅱ卷第14題與例2至例6均屬于開放性試題中的“舉例問題”，探究性、創新性、開放性較強，符合高考命題要求，因此例2至例6作為新高考Ⅱ卷第14題的同類素材（題型一致、所屬主線相同），在預測高考試題命制時具有一定的參考價值.

參考文獻：

[1]? 趙軒，任子朝，翟嘉祺. 高考評價體系的數學學科化實踐[J]. 數學通報，2020，59（10）：12-17.

[2]? 教育部考試中心. 聚焦核心素養，考查關鍵能力——2021年高考數學全國卷試題評析[J]. 中國考試，2021（07）：70-76.

[3]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[4]? 任子朝，趙軒. 基于高考評價體系的數學科考試內容改革實施路徑[J]. 中國考試，2019（12）：27-32.

[5]? 余小芬. 回歸教科書? 高三復習的正道——以人教版函數與導數為例[J]. 數學通報，2018，57（12）：9-13.

[6]? 唐永. 回歸教科書：提升學生核心素養的有效途徑[J]. 數學通報，2020，59（07）：40-43+48.