高中數學解題教學基本策略的研究

張建明

[摘? 要] 波利亞認為：“數學解題的成敗取決于解題思路的正確與否，因此我們要從可以接近它的方向去逐層突破[1].”解題教學作為高中教學的重中之重，對發展學生的思維與核心素養具有深遠的影響. 文章認為，解題教學的基本策略有：創設情境，激發情感;示范解題，優化方法;合作探究，提升能力;變式應用，發散思維.

[關鍵詞] 解題教學;思維;合作探究;變式

數學知識與技能的掌握程度，一般體現在解題中. 解題雖不是教學的最終目的，卻是培養學生數學思想方法的最佳手段，它對提升學生的數學思維與核心素養具有重要的促進作用. 解題就是將理論的學習體現在實踐之中，有很多因素會影響著學生解題能力的發展. 因此，筆者針對解題教學的基本策略談幾點拙淺的看法.

[?]創設情境，激發情感

情因境生，境為情設. 良好的教學環境是促進課堂有效生成的關鍵，情境作為特殊的教學環境，能有效地支撐學生的學習，促使學生對學習產生積極的情感. 學生一旦對教學內容產生了探究欲，就會啟發思維，探索新知，學有所獲. 那么，如何在解題教學中創設教學情境呢？實踐證明，情境創設要合理、有趣、生活化，且具有挑戰性，如此能有效地激發學生的探究欲.

問題情境是解題教學最常見的情境，是指在賦予問題以生命力的基礎上，將學生的思維帶入相應的問題中. 創設符合學生最近發展區的問題，能啟發學生的思維，讓學生進行大膽猜想，并探索新的解題方法，實現解題能力與創新能力的提升.

例1 數列的開篇教學.

本章節的開篇教學，以一段精彩的魔術視頻，成功地吸引了學生的注意力. 此時，教師讓學生猜想該魔術的奧秘，由此成功地引出斐波那契數列. 為了深化學生對數列的理解，教師又展示了與數列相關的一系列圖片，讓學生說一說觀察圖片后的感受與發現.

學生在觀察圖片后，一致認為，這些現象并非偶然發生的，細細琢磨，會發現存在一定的規律性. 通過觀察與思考，學生切身感受到數列就是刻畫離散過程的基本數學模型，因此大家一致認為數列研究是一項有意義的學習.

由一個魔術開啟本章節的教學，有趣又有料，再用圖片激發學生深思，使得學生自主發現數列學習的意義. 這些源于生活的情境，給學生帶來了一種別樣的感官體驗，學生在觀察、聯想、推理中逐步實現對知識的認識與理解，寓教于樂的教學方式，也使得解題教學得以順利展開.

[?]示范解題，優化方法

不論是教材，還是教師的教學，都會對解題進行示范. 這種示范，并非直接揭露正確答案，而是將思維過程以及容易出現的錯誤等暴露給學生，讓學生解題時少走彎路[2]. 俗話說，“授人以魚不如授人以漁”，解題示范就是授人以漁的過程，讓學生在觀察與思考中，獲得相應的解題方法與數學思想，為獨立解題奠定堅實的基礎.

例2 已知α，β都是銳角，且cosα=，cos（α+β）=-，求sinβ的值.

解題示范：因為α，β均為銳角，已知cosα=，因此sinα=. 根據cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，假設sinβ=x，則cosβ=，-x=-. 要解該方程，過程煩瑣冗長，要經過移項、平方，之后才能求出x的值. 因此，筆者鼓勵學生進行交流，一起來思考有沒有更簡便的解題方法.

學生經過交流后，認為可用以下方法進行解題：

因為α，β均為銳角，cos（α+β）=-，所以sin（α+β）=. 由sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）·sinα，計算可得sinβ=.

教師在解題示范過程中，故意引出容易出錯的解題方法，以激起學生思考. 當學生對此問題產生了探索欲時，鼓勵學生進行交流，讓學生在交流中釋放自己的思維，汲取同伴的經驗，獲得解題問題的辦法.

此過程不僅解釋了遇到解題困難時，該怎樣思考突破方法，還充分暴露了解題的整個思維過程. 學生從“失敗”的解題示范中探索出了解決問題的辦法，同時，每個學生經歷解題的坎坷后，激起了思維的浪花，獲得了成就感，為解題能力的提升奠定了基礎.

[?]合作探究，提升能力

隨著高考制度的改革，綜合性考題的質量越來越高，這讓學生感到解題障礙重重. 學生在步步設伏的問題中，一不小心就中了埋伏，導致各種錯誤發生. 因此，教師可以利用合作探究的方式激發學生的思考，鼓勵學生在獨立思考中嘗試解決問題的辦法.

合作探究是指在學生自主學習的基礎上，加強合作交流，通過學習與探索主動建構新知的一種模式. 此方式提倡：“在凸顯學生主體性地位的同時，決不可忽視教師的主導作用，課堂需要在教師的引導下逐漸深入.”學生通過獨立思考與合作探究，實現優勢互補，在取長補短中獲得思維的提升.

例3 觀察圖1，并思考：

（1）以這種形式拼搭成1，2，3個正方形，各需要多少根小棒？

（2）以這種形式拼搭10個正方形，需要小棒多少根？

（3）以這種形式拼搭100個正方形，需要多少根小棒？怎么計算的？

（4）若依照此形式拼搭n個正方形，需要多少根小棒？

教師將準備好的小棒分發給學生，讓大家按照圖1的模式，親自搭建小正方形，自主思考并討論問題的答案. 第（1）問對于學生而言非常簡單，學生通過簡單的操作就獲得了準確答案，此問讓所有的學生都在動手操作中，快速獲得了良好的直觀體驗.

隨著問題的逐漸深入，學生探索正方形的個數與小棒之間的關系時，產生了不一樣的想法. 因此，筆者鼓勵學生用小組合作學習的模式進行探究，將各組獲得的規律以符號的形式進行表達，幫助學生建立符號感.

合作探究中，組內成員積極地表達了自己的看法與觀點，因為沒有思想包袱，所以學生樂于表達自己的想法，這種方式有效地打破了傳統課堂被少部分學生占領的尷尬情況. 如此，可使得每個學生都能獲得表達的機會，促進了全體成員的共同成長.

[?]變式應用，發散思維

解題教學并非例題講得越多越好，而應根據學生的認知與題目的特點，進行深度教學[3]. 傳統的教學觀念認為，解題越多，覆蓋面越廣，學生積累的經驗越豐富. 但“題海戰術”帶給學生的只有枯燥、乏味的體驗，甚至因缺乏自己的想法，而成了刷題機器. 為了避免這種現象的發生，新課標特別強調變式訓練在解題教學中的重要性.

變式訓練可以用一道題為題根，逐漸深入地靈活變化出多題;可以是多題一解，也可以鼓勵學生自主編題、變題等. 總之，就是將一個知識點不斷地變化、拓展、延伸，以深化學生的認識，激活學生的思維，完成以一通百的解題目的. 學生在變式訓練中不僅能達到舉一反三的解題能力，還能形成良好的創新意識與探索精神. 因此，充分展現變式的魅力，對培養學生的發散性思維具有決定性的作用.

例4 y=+的值域是多少？

看到此題，學生先想到的就是用函數的單調性來解決：本題呈現的函數的定義域為[5，+∞），若x=5，y=1，因此可確定待求的值域為[1，+∞）.

若此題到此為止，那就是典型的“就題解題”. 想要通過解一道題，通一片題，達到解一百道題的目標，就需要在此基礎上，對此題進行變形，以拓寬學生的思維，強化學生的解題能力.

變式1：y=-的值域是多少？

這是一個典型的減函數，可選擇與題根類似的解法，對于大部分學生而言，這個變式沒有什么難度，基本起到“小試牛刀”的作用.

變式2：y=+的值域是多少？

本題與題根、變式1相比，難度稍微遞增了一些. 教師可以鼓勵學生自主探索. 學生經過思考后，提出：分析此函數，可確定其定義域為[4，5]，設x=sin2α+40≤α

≤，可得y=sinα+cosα=2sin

+α. 因為≤α+≤，所以1≤2sin

+α≤2，因此1≤y≤2.

變式的提出，學生的思維隨著題目難度的增加而逐層遞進. 通過兩個變式的訓練，既避免了“題海戰術”帶來的枯燥感，又幫助學生全面地理解了相關知識，且減輕了學生的負擔，達到了真正意義上的減負高效的狀態. 因此，變式練習不僅能加強學生對知識的理解程度，更重要的是能促進學生發散性思維的成長.

總之，解題教學是師生共同參與、多元互動的教學過程，此過程應凸顯學生的主體性地位，教師起到引導與調控的作用. 解題教學中，學生不僅要獲得相應的解題能力，更重要的是要獲得良好的數學思想和數學素養.

參考文獻：

[1]? G·波利亞. 怎樣解題[M]. 涂泓，馮承天，譯. 上海：上海科技教育出版社，2007.

[2]? 韓龍淑，黃王珍. 數學教學中如何引導學生進行解題學習的反思[J]. 數學教學研究，2006（03）：7-9.

[3]? 馬復. 設計合理的數學教學[M]. 北京：高等教育出版社，2003.