借題發揮 以導促探 提升素養

吳景峰

［摘? 要］ 新課標強調，教師在數學教學中要關注學生的思維過程，關注學生是否會用數學的語言表達世界.“說數學”作為重要的數學交流方式之一，受很多高中數學教師重視. 在教學中，教師找準契機鼓勵學生“說數學”常能帶來驚喜，文章以案例研究法對一次“說數學”實踐的意外收獲進行探討.

［關鍵詞］ 說數學；案例研究；數學素養

[?]問題提出

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出：高中數學教學要提倡學生獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式，激發學生學習數學的興趣，養成良好的學習習慣，促進學生實踐能力和創新意識的發展［1］. 由此可見，教師在教學過程中，要多鼓勵學生進行生成性輸出，并善于發現學生的閃光點.

“說數學”是“數學交流”的重要方式之一，受到很多高中數學教師的重視.“說數學”包括四種方式，分別為①“說知識”：個體對數學知識的口頭表達；②“說異見”：個體對某數學問題不同看法的口頭表達；③“說過程”：個體對某數學問題探究過程的口頭表達；④“說體會”：個體把探究某數學問題后的情感進行口頭表達［2］.

在實踐中，找準契機鼓勵學生“說數學”常能帶來驚喜，本文以案例研究法對一次“說數學”實踐的意外收獲進行探討.

[?]案例描述

學生Y思維活躍，喜歡鉆研各類問題，并常與同學或老師討論，成績較好卻不穩定，數學解題書寫常跳步或粗心.一天，解三角形的復習課下課后，Y有了新發現，興奮地拿著草稿紙來找教師：“老師，我發現你在課堂上歸納的三角形面積公式S△ABC=absinC（邊角邊），可寫成S△ABC=

sinC的向量形式，這也是‘邊角邊的形式，然后可以化成S△ABC=·……”教師培養學生要大膽表達自己的想法，抓住機會讓學生“說數學”，本想打住，但忍住了，點點頭讓Y繼續說. Y接著說道：“如果我已知這兩邊對應向量的坐標，=（x，y），=（x，y），就能得到S△ABC=（xx+yy），坐標形式啊！是課本上沒有的新大陸！”教師看Y興致勃勃，微笑著說：“值得表揚！探究的角度很好！很有創意！你從三角形面積公式的幾何形式，通過向量推導其坐標形式. 但數學是一門嚴謹的學科，你推導的每一步都必須是正確的，所以你在探究時，應自查一下推導過程，看看有沒有粗心大意的地方.”Y認真檢查后發現了錯誤，原來把向量的數量積公式記錯了，頓時非常失落.教師接著說道：“說一下你的體會是什么.”Y說：“自己推導時沒有經過檢查，不夠嚴謹，以后要注意.”教師看Y失落的樣子，接著問：“那你就放棄了嗎？”Y默默地點點頭，本以為就這樣結束了，教師發現這或許是一個契機，說道：“雖然出現了失誤，但新大陸發現的過程本來就是曲折的，你的探究角度和思路都很好，公式改寫后，形式上也與向量數量積公式相似，那你就類比當時探究向量數量積的思路，堅持下去，我相信你一定會有新的發現.”Y受到鼓舞后重拾信心，表示要把這個探究任務作為課后作業繼續鉆研下去.

第二天的數學課前，教師提前到了課室，學生Y興沖沖地來到講臺，說要把研究的成果拿給教師看，以下是Y研究的成果.

問題：已知空間中任意三點A，B，C（不共線），在這三點的所在平面建立平面直角坐標系，如圖1所示，若已知三點的坐標分別為A（x，y），B（x，y），C（x，y），求△ABC的面積.

解：由已知得=（x-x，y-y），=（x-x，y-y），令x-x=a，y-y=b，x-x=m，y-y=n，則=（a，b），=（m，n），所以S△ABC=

·

·sinA=··. 又cosA==，所以S△ABC=··=·=，所以S△ABC=an-bm=

（x-x）·（y-y）-（y-y）（x-x）

. （*）

當教師看Y的解法時，引來了很多學生的圍觀，教師看完后，對著Y微笑著說：“恭喜你！你發現新大陸了！”其他學生都發出了贊嘆的聲音，這時上課鈴聲響了，學生都回到了自己的座位，教師對著全班學生說道：“昨天我們的數學課復習了解三角形中三角形的面積公式，也是昨天，有一位同學進一步探究了這條面積公式，雖然遭遇到了挫折，但他沒有放棄，經過不斷努力，終于推導出了一條全新的三角形面積公式，非常厲害！大家想不想也看看這條公式？”全班學生異口同聲地回答道：“想！”教師接著說：“好！大家以熱烈的掌聲邀請Y上黑板介紹他最新的研究成果！”

Y拿著他的草稿紙，略顯緊張地走上講臺. 他先把圖畫在黑板上，接著一口氣把他的問題和推導過程也寫在黑板上，最后簡單地進行講解，語氣略欠通順，教師及時對其進行肯定和表揚，并詢問其他同學是否有疑問. 學生X舉手問道：“你是怎樣想到這個向量的方法進行推導的呢？”Y回答道：“其實是源于自己的一個失誤.”說完，教師鼓勵Y把錯誤的推導過程也寫在黑板上，然后Y接著說道：“就是誤把余弦記為正弦，我本想著放棄，但在老師的鼓勵下，我后來想明白了，既然

a

·

b

·cosθ能有這么簡潔的坐標運算形式，那么

a

·

b

·sinθ也一定會有，于是我就堅持用坐標形式進行推導，不出所料，讓我推導出來了！”教師再次對Y的表現進行表揚和點評，并指出學無止境：“同學們可以進一步研究此公式的推導及應用，一定會有收獲.”然后教師把Y的研究成果貼在了課室的數學角（數學角的功能主要是張貼學生優秀的數學作業、優秀的數學測驗卷或考試卷等），以供學生學習與討論.

這次的“說數學”在班里掀起了一陣數學討論潮，讓教師驚喜的是，第二天數學角又貼出了新的研究成果，原來這是Y與其他同學討論后，對面積公式又有了新的理解，以下是部分學生的代表性成果.

成果1：已知任意一個三角形，我們可以從三角形中的一個銳角的頂點出發，必定能把三角形補全為一個矩形，如圖2所示，使三角形的另外兩個頂點分別落在矩形不同的兩條邊上. 命名三角形為△ABC，其中A為銳角，矩形為AFED，其中AD=n，CD=m，AF=a，BF=b，a>m>0，n>b>0，求△ABC的面積.

解：因為S=an，S△ACD=mn，S△AFB=ab，S△BCE=（a-m）（n-b），所以S△ABC=an-［mn+ab+（a-m）（n-b）］=an-（an+mb）=（an-mb）. 所以，三角形面積公式的坐標形式（*），歸根到底就是初中的“割補法”.

成果2：如圖2所示，由向量的投影公式得

·cosA=，類比投影公式得

·sinA==，所以S△ABC=

·

·sinA=

=，把=（a，b），=（m，n）代入上式，即可得到式子（*）.

成果3：可以引入行列式的概念，于是（*）的形式可以大大簡化，即

S△ABC=

an-bm

=

a? b

m? n

，即S△ABC=

（x2-x1）（y3-y1）-（y2-y1）（x3-x1）

=

1? 1? 1

x1 x2 x3

y1 y2 y3.

教師對學生的研究成果及時進行點評，表揚了學生的鉆研精神. 在數學課上，教師鼓勵這些學生一一走上講臺，以“說數學”的形式把研究成果、發現過程分享給大家.最后“說體會”時，有學生感嘆道：“與同學們探討和推導公式，太有趣了！數學的學習沒有止境！”此后，有學生提出此公式在高考中該如何應用，教師對此開展了研究，在解析幾何單元復習后，以“三角形面積的計算”為主題組織了一次單元教學.

[?]案例分析

1. 核心素養視角下的分析

“核心素養是學生在接受相應學段教育的過程中，逐步形成的適應個人終身發展和社會發展需要的必備品格、關鍵能力和價值觀念.”［3］對高中數學而言，數學學科核心素養具體包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析六要素. 因此，為培養學生的數學學科核心素養，教師要從傳統的“學科教學”觀轉向“學科教育”觀，這是從“知識核心時代”走向“核心素養時代”的必然要求［3］. 本案例中，“說數學”作為一種通過語言輸出的數學交流形式，對提高學生的數學核心素養有獨特作用［4］.

首先，由“章節教學”轉向“單元教學”，在主題單元下融合多個關鍵能力，促進學生數學核心素養水平提高.本案例的內容是解三角形章節中的三角形面積公式，它屬于解三角形的單元內容，往往用幾何關系即可推導出來；但由于學生失誤，巧合地與向量內容融合在一起，于是教師借此機會，讓學生在課堂上“說數學”，打破了原單元教學的限制，將三角形面積公式的探討和推導作為一個新的單元任務，激發學生的自主能動性進行研究. 學生從三角形面積抽象出與向量的關系進行類比，又從幾何角度重新進行解釋，甚至用到了行列式對公式進行簡化. 在這些過程中，融合了數學抽象、邏輯推理、數學運算等多個數學核心素養.

其次，由“知識中心”轉向“素養中心”，重視知識生成的過程，有助于提升學生的數學素養. 本案例中，教師即便預料到學生Y推導的面積公式是錯誤的，但沒有中途打斷、指出錯誤后結束了事，而是讓學生繼續“說數學”，充分暴露其思維過程，目的就是找出學生思維過程中的閃光點，這與發現學生的錯誤同樣重要.在一些知識生成的過程中，一旦發現錯誤，生成過程很有可能就會中斷，但如果思維過程是正確的，教師及時給予充分肯定，那么學生中斷的地方就有了轉化的可能，這是在學生的研究過程中恰當合理的教學方法，而學生這種不懈追求的學習態度也是其堅定意志的體現. 在平時的教學中，教師重視學生這方面精神的培養，必然有助于提升學生的數學素養.

最后，由“教師中心”轉向“學生中心”，教師看準時機給學生搭建平臺，充分發揮學生的能動性，有助于提高學生的核心素養. 本案例中，教師多次給學生“說數學”的機會，還利用“數學角”對學生的“研究成果”進行展示，給學生搭建好了平臺. 學生所說的三角形面積公式是教師還沒有教給學生的，而是學生自主發現的，這點大大激發了學生學習的興趣，因為這是屬于他們自己的東西，即便這些公式在一些文章或其他教輔上已發表過，但這并不影響學生的積極性. 他們通過交流，思維碰撞，發現了新的幾何角度去解釋三角形面積公式坐標形式的內涵，還發現了新的推導方法和表達形式，這些都是教師充分發揮學生能動性的意外收獲. 在這樣的教學過程中，提高了學生的交流能力和探索精神，充分發揮了數學的育人價值，達到了提高學生核心素養的目的.

2. 建構主義視角下的分析

建構主義認為，學習者的知識并非被動接受的，而是通過主動建構生長出來的. 學習是在原有知識經驗的基礎上，對新信息進行加工處理、意義生成、建構理解的過程，而此過程往往是在社會文化互動中完成的. 本案例中，教師先引導Y從推導過程中發現錯誤并及時糾正，鼓勵Y堅持研究思路，積極探索，激發了Y的主動性. 然后，當Y探索出三角形面積公式的新形式后，教師抓住契機讓Y上臺“說”自己的“研究成果”. 通過“說數學”，教師和其他學生都能更好地了解Y是“如何建構自己對數學的理解”的，而Y的“說”，體現了Y對新發現的數學問題的“加工處理、意義生成和建構理解”，也體現了在數學課堂中學生的主體地位. 最后，教師利用“數學角”，進一步激發了其他學生主動建構，得出了系列“研究成果”，體現了不同學生對相同命題有不同的理解. 由此可見，“說數學”促使學生與教師能更好地進行數學交流，正是這種“社會文化互動”，促進數學高效課堂的建立.

3. 深度學習視角下的分析

深度學習，就是指在教師引領下，學生圍繞著具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程［5］. 這是對深度學習性質的一種界定. 本案例中，首先，學生Y在復習課上受到教師啟發，通過對教師“說”，發現了自己的錯誤，課下繼續研究問題……這個過程中，教師只是起了引導作用，并沒有直接把結論告訴給學生Y. 其次，學生Y通過進一步研究問題，使得教學活動突破了課堂的限制. 再次，學生Y發現三角形面積公式（舊知識）與向量知識有關聯，得到三角形面積公式的坐標形式（新知識），將課堂上的“說數學”分享給其他學生后，學生Y接著此“研究成果”進一步推導出了一些新結論，這樣的學習過程才是“有意義的學習”.

深度學習的目的與任務，是讓學生“掌握學科的核心知識，理解學習過程，把握學科的本質及思想方法，形成積極的內在學習動機、高級的社會性情感、積極的態度、正確的價值觀”［5］. 本案例中，新推導的面積公式其實并不在教師計劃的教學范圍內，但教師以學生的一個巧合發現為契機，通過學生“說數學”，把新公式的發現轉化為學生的主動活動，引起了學生的激烈討論，激發了學生的精神力量和發展能力. 這是由“說數學”引發的一次深度學習，也說明了“說數學”可以大大激發學生的潛能，這是其價值所在.

[?]結束語

在高中數學教學中，無論是課堂教學還是課下答疑，教師抓準時機引導學生“說數學”，或許會有意外收獲，能帶給教師在教學過程中不一樣的思考. 因此，如何在高中數學教學中有效開展“說數學”，是一個很有研究價值的課題.

參考文獻：

［1］? 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版）［M］. 北京：人民教育出版社，2018.

［2］? 鐘進均. 基于語言學視角的“說數學”探究［J］. 數學通報，2013，52（03）：11-14+17.

［3］? 李志敏. 怎樣教好高中數學［M］. 長春：東北師范大學出版社，2020.

［4］? 鐘進均. 對一則高中“說數學”案例的探討［J］. 教學月刊（中學版），2008（11）：41-42.

［5］? 劉月霞. 深度學習：走向核心素養［M］. 北京：教育科學出版社，2018.