指向數學抽象素養培養的概念教學設計與反思

王科娜

［摘? 要］ 文章以分式概念教學為例，提出分式概念教學的路徑，并以此教學路徑（經歷發現、經歷類比、經歷抽象）來培養學生的數學抽象素養.

［關鍵詞］ 數學抽象；核心素養；分式；概念教學

在概念教學中，通過設計合理的數學活動，讓學生經歷概念發現、類比、抽象的過程，有利于促進學生數學抽象素養的生成［1］. 筆者以分式概念教學設計為例，探尋培養學生數學抽象素養的有效路徑，以構建高效的數學課堂.

教學設計與剖析

（一）教學內容剖析

本節課的主要內容包括：分式的概念、分式有意義的條件、根據實際問題列出分式. 講清分式的概念是關鍵，在教學過程中，教師應引導學生運用類比思維的學習分式，從而得到研究分式的基本路徑，不斷培養學生類比推理的核心素養. 在整式的四則運算中，由于整式的除法的結果不一定是整式，由此得到分式的概念. 類比整數與分數統稱有理數，獲得整式與分式統稱有理式的結論，能培養學生數學抽象的意識，使學生形成完整的研究思路與方法.

（二）教學目標剖析

1. 掌握分式的概念，明白分式有意義的條件；

2. 能根據現實生活中的數量關系列出分式；

3. 由分數的研究內容及路徑獲得分式研究的內容及路徑.

第一個教學目標完成的標志：能判別一個代數式是分式還是整式，理清分式與分數的相同點和不同點，理清分式與整式的相互聯系；在分式有意義的情況下，能確定參數的取值范圍.

第二個教學目標完成的標志：能分析現實生活中的數量關系，從而列出分式.

第三個教學目標完成的標志：回顧分數的研究思路，獲得研究分式的基本流程是定義—性質—運算.

（三）教學難點剖析

學生在此之前學習的數學知識可以為本課學習的儲備. 如：整式及其運算，分數及其運算等. 如果只是理解分式的概念并不難，難的是理解分式與分數的聯系和區別、分式與整式的聯系和區別. 所以設計合理的數學活動，經過類比分數、類比整式，獲得分式研究思路，這是突破教學難點的方法，也有利于提高學生數學抽象素養.

（四）整體教學思路

首先，讓學生回顧分數的實質是整數相除的商，當兩個整數不能整除時，結果用分數表示. 其次，讓學生回顧整式的除法運算，當兩個整式相除，當相除的結果不是整式時，怎么辦呢？于是有了分式. 在研究分數時，先確定研究對象，再探索性質，最后研究運算法則，類比分數確定分式的研究也是這樣. 根據數系的擴充過程，從整數、分數到有理數，類比代數式的擴充從整式、分式到有理式.最后，讓學生厘清兩者的區別與聯系，即整式與分式、分數與分式.

（五）教學基本流程

1. 從分數到分式，類比發現

問題1：任意取兩個整數，計算它們的和、差、積、商. 其結果都是整數嗎？

生：兩個整數的和、差、積一定是整數，但是商不一定是整數. 如3與-4的和為-1，差為7，積為-12，但是商為-.

追問：當兩個整數相除的結果不是整數時，結果用分數表示，你能說一下-的意義嗎？

生：-是指把-3分成4份，每一份是多少？

設計意圖 通過兩個整數的四則運算，發現分數的本質屬性，為后面研究分式提供范例. 同時，看到數系拓展的發生過程，即從分數到分式是從特殊到一般的過程.

問題2：如果用s（單位：km）表示路程，用v（單位：km/h）表示速度，如何表示行駛時間呢？

追問：任意兩個整式的和、差、積、商一定是整式嗎？

師生活動：當用s表示路程，用v表示速度，時間可用來表示. 兩個整式的和、差、積都是整式，如x+（x2-1）=x2+x-1，x-（x2-1）=x-x2+1，x（x2-1）=x3-x，而兩個整式的商x÷（x2-1）的結果卻不是整式.

追問：類比分數，如何表示x÷（x2-1）的商呢？

師生活動：類比兩個整數相除，結果不是整數時，可用分數表示，那么兩個整式相除，結果不是整式時，也可以用分數的形式表示，即x÷（x2-1）=.

設計意圖 用類比整數相除的方法，引導學生研究整式相除的運算，發現需要引入新的式子表示兩個整式不能整除的結果，從而引入分式.

問題3：（1）有兩塊田，第一塊x公頃，年產棉花m千克；第二塊田y公頃，年產棉花n千克；這兩塊田平均每公頃的棉花年產量是______.

（2）一輛汽車以80千米/時的速度行駛，從A城到B城需t小時，如果該車的速度增加v千米/時，那么從A城到B城需要______小時.

師生活動：教師引導學生分析題中的數量關系，列出兩個分式，分別是，，同時指出這是一類新代數式，本章主要研究這一類代數式的性質、運算及應用.

設計意圖 引入兩個生活事例，讓學生感受到生活中存在用分式這種代數式表示的事例，并指出本章的研究主題及其主要內容.

2. 類比發現，抽象分式概念

問題4：回顧在小學階段學習的分數的有關知識，類比分數的研究思路，說說此類新的代數式應該如何研究？

師生活動：立足教師引導，師生一起回憶分數的意義和基本性質，分數的通分約分及運算，從而總結研究分數的基本思路是先學定義、再學性質、最后學運算. 以此為路徑，師生共同提出研究分式也應該按先定義、再性質、最后運算的思路.

設計意圖 師生共同回憶分數是為了獲取數學活動經驗，從而生成研究分式的基本路徑. 同時，也確立了這一課的學習內容，即分式的定義、分式的性質以及分式的運算.

問題5：請比較這類新代數式與分數、整式的異同，說明這類新代數式的特征.

師生活動：教師讓學生觀察新的代數式：，，，，發現它們都是兩個整式相除的商，如果用兩個A，B表示兩個整式，那么這類代數式可以表示為（且B中含有字母）.

追問：類比整數與分數統稱為有理數，那么整式與分式可以統稱為什么呢？

生：有理式.

問題6：之前學過的整式與這里學習的分式有何區別與聯系呢？分數與分式呢？

師生活動：通過是整式，而是分式，說明了整式與分式的區別在于整式的分母中沒有字母，而分式的分母中有字母，二者的聯系就是分式是整式的除法運算. 通過是分數，而是分式，這也充分說明分數是分式的特殊化形式，分式是分數的一般化形式.

問題7：下列式子中的字母為何值時，分式有意義？

；；.

問題8.當a取何值時，分式的值為零？

3. 回顧反思，小結提升

（1）分式是如何定義的？要使分式有意義，必須滿足什么條件？（2）說說你眼中的整式與分式. （3）我們是如何發現分式，認識分式的呢？（4）對于分式，在接下來的學習中，應該研究分式的什么內容呢？

教學反思

（一）經歷發現的過程

在數學活動中，讓學生發現問題并提出問題是組織活動的目的之一［2］. 在整數的四則運算中，整數的加、減、乘三種運算的結果都是整數，而除法運算的結果并不是整數，于是引入了分數的概念. 分數在現實生活中也有一定的現實意義，即均分物品與度量的需要. 借助現實情境，把現實情境一般化處理后，獲得了整式的四則運算，學生發現在整式的運算中，整式的加、減、乘三則運算的結果都是整式，而相除的結果不一定是整式，必須引入一類新類型的代數式，于是分式自然生成，分式是從數到式的抽象，是代數運算發展的必然結果.

（二）經歷類比的過程

新的代數式——分式被發現后，為了能合理地進行分式運算，解決生活中的問題，師生共同回顧研究分數的歷程，學生忽然發現，原來分式的研究路徑與分數有很多相通的地方. 即首先給研究對象下定義，接著探索研究對象的基本性質，然后制定研究對象的計算準則，最后把學到的知識應用在現實中解決問題. 這也從整體的視角建構了學生研究的思路，對于學生系統化學習數學知識、豐富學習經驗具有重要的作用.

（三）經歷抽象的過程

在整式的四則運算中發現了分數的本質，即分數是兩個整數相除的表現形式. 通過類比的方法獲得了分式的本質屬性，即兩個整式相除所得的商，且讓學生在現實事例中發現分式的存在.學生給分式下定義時，認為兩個整式的商就是分式，筆者通過舉例的形式，讓學生發現分式的分母中必須有字母這一關鍵條件. 在符號化的過程中，筆者讓學生把分式與分數比較，把分式與整式比較，從而發現將分數一般化得到分式，分式是兩個整式相除的表現形式. 最后，通過兩個例題，進一步鞏固了分式的概念、分式的分母不能為0、分式的值為0的條件等知識. 讓學生經歷數學概念抽象的過程，使學生積累了數學概念形成的活動經驗，提升了學生的數學抽象素養.

參考文獻：

［1］ 周孝輝. 基于問題驅動 凸顯生本課堂——以“分式”教學為例［J］. 中學教研（數學），2021（05）：26-29.

［2］ 嚴艷. 單元整體教學中核心素養目標的落實——以“分式”單元起始課為例［J］. 中學數學教學參考，2020（20）：25-27.