“錯(cuò)誤”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效應(yīng)用

[摘? 要] 從建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論的視角來(lái)看，錯(cuò)誤是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最為重要的課程資源。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要以“錯(cuò)誤”為切入點(diǎn)、探究點(diǎn)、生長(zhǎng)點(diǎn)和促進(jìn)點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生興趣、激活學(xué)生思維、激勵(lì)學(xué)生探究、引導(dǎo)學(xué)生反思。如果教師能善待學(xué)生的錯(cuò)誤、妙用學(xué)生的錯(cuò)誤，引導(dǎo)學(xué)生直面錯(cuò)誤、反思錯(cuò)誤，就能讓學(xué)生的錯(cuò)誤有價(jià)值。有效運(yùn)用錯(cuò)誤，能讓錯(cuò)誤成為學(xué)生通往自我數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)之途的階梯。

[關(guān)鍵詞] 錯(cuò)誤資源;有效應(yīng)用;數(shù)學(xué)教學(xué)

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中會(huì)產(chǎn)生各種類型的錯(cuò)誤，諸如經(jīng)驗(yàn)性錯(cuò)誤、認(rèn)知性錯(cuò)誤以及行為性錯(cuò)誤等。這些錯(cuò)誤，從建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論的視角來(lái)看，都是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要資源。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生面對(duì)錯(cuò)誤、分析錯(cuò)誤、應(yīng)用錯(cuò)誤，以錯(cuò)誤作為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的切入點(diǎn)、探究點(diǎn)、生長(zhǎng)點(diǎn)和促進(jìn)點(diǎn)。借助學(xué)生的錯(cuò)誤，轉(zhuǎn)變學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)行為，激活學(xué)生的創(chuàng)新思維。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師更要讓錯(cuò)誤成為學(xué)生通往自我數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)之途的階梯。

一、以“錯(cuò)誤”為切入點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生興趣

“錯(cuò)誤”是“正確”的先導(dǎo)，以錯(cuò)誤作為師生教與學(xué)的切入點(diǎn)，能有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有意識(shí)地暴露學(xué)生的錯(cuò)誤，呈現(xiàn)學(xué)生的錯(cuò)誤，把脈學(xué)生的錯(cuò)誤思想的運(yùn)行痕跡，摸清學(xué)生錯(cuò)誤的源頭，進(jìn)而對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤做出理性判斷，對(duì)癥下藥，找到避免學(xué)生再犯錯(cuò)的好辦法。有時(shí)候，教師還可以“將錯(cuò)就錯(cuò)”，引導(dǎo)學(xué)生識(shí)錯(cuò)、悟錯(cuò)，通過(guò)小組討論等自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題。

比如教學(xué)“平行四邊形的面積”，很多學(xué)生根據(jù)頭腦中長(zhǎng)方形面積公式的負(fù)遷移經(jīng)驗(yàn)，錯(cuò)誤地認(rèn)為平行四邊形的面積等于底乘斜邊。對(duì)于學(xué)生這樣的認(rèn)知錯(cuò)誤，筆者沒(méi)有批評(píng)、斥責(zé)學(xué)生，而是以學(xué)生的錯(cuò)誤為教學(xué)起點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生推拉平行四邊形。在推拉的過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察平行四邊形和長(zhǎng)方形的異同。學(xué)生驚奇地發(fā)現(xiàn)，將長(zhǎng)方形推拉成平行四邊形，其周長(zhǎng)沒(méi)有發(fā)生變化，但面積越來(lái)越小，最后越來(lái)越接近0。這樣的直觀化、動(dòng)態(tài)化的實(shí)際操作，讓學(xué)生能自主性地反思錯(cuò)誤，形成新的猜想：是否可以將平行四邊形剪拼成長(zhǎng)方形，因?yàn)樵诩羝吹倪^(guò)程中周長(zhǎng)變化了，而面積沒(méi)有發(fā)生變化。據(jù)此，學(xué)生根據(jù)等積變形的原理，認(rèn)為平行四邊形的面積等于底乘高。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，正如心理學(xué)家恩布里奇所說(shuō)：“差錯(cuò)人皆有之，只有將大量錯(cuò)誤經(jīng)驗(yàn)作為臺(tái)階，才能攀登上正確結(jié)果的寶座。”

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生的錯(cuò)誤，科學(xué)、合理、合情地運(yùn)用學(xué)生的錯(cuò)誤，做到“吹盡黃沙始到金”。要通過(guò)設(shè)計(jì)、研發(fā)相關(guān)的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生分析錯(cuò)誤的成因、內(nèi)容、形式、層次等，從而讓學(xué)生能反思所犯的錯(cuò)誤、批判所犯的錯(cuò)誤，進(jìn)而修正所犯的錯(cuò)誤。

二、以“錯(cuò)誤”為探究點(diǎn)，激活學(xué)生思維

著名的物理學(xué)家愛(ài)因斯坦認(rèn)為，“提出一個(gè)問(wèn)題往往比解決一個(gè)問(wèn)題更為重要”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)發(fā)生了錯(cuò)誤，教師就要及時(shí)賦予學(xué)生獨(dú)立思考、探究的時(shí)空，讓學(xué)生以錯(cuò)誤作為探究點(diǎn)、思維點(diǎn)等，并據(jù)此展開(kāi)深度學(xué)習(xí)。錯(cuò)誤，從根本上來(lái)說(shuō)就是學(xué)生的認(rèn)知偏差。作為教師，要主動(dòng)地幫助學(xué)生、協(xié)助學(xué)生認(rèn)識(shí)自我的認(rèn)知偏差、經(jīng)驗(yàn)迷思、相異構(gòu)想等;要引導(dǎo)學(xué)生將錯(cuò)誤作為一種寶貴的、優(yōu)質(zhì)的資源;要引導(dǎo)學(xué)生在錯(cuò)誤中自主性、自能性地建構(gòu)。

比如教學(xué)“圓錐的體積”，筆者給學(xué)生提供了等底等高、等底不等高、不等底不等高等多種類型的空心圓柱和圓錐，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主性的實(shí)驗(yàn)。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，學(xué)生選擇學(xué)校跳遠(yuǎn)沙坑中的沙子進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，但實(shí)驗(yàn)結(jié)果卻明顯不一致。有學(xué)生將圓錐裝“滿“沙子倒入圓柱，兩杯多一點(diǎn)就倒?jié)M了;有學(xué)生將圓錐裝“滿”沙子，倒了三杯還多一些才裝滿了圓柱。為此，筆者引導(dǎo)學(xué)生反思實(shí)驗(yàn)過(guò)程。通過(guò)反思，學(xué)生找到了自己實(shí)驗(yàn)過(guò)程中存在的種種問(wèn)題，如選用的素材問(wèn)題，沙子之間空隙比較大，因而造成了實(shí)驗(yàn)的誤差;如每一次裝沙子裝得滿淺不一，因而造成了實(shí)驗(yàn)結(jié)果的差異;如選擇的圓柱和圓錐不是等底等高的，等等。以學(xué)生錯(cuò)誤作為探究點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生反思錯(cuò)誤、改正錯(cuò)誤，就能為學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)鋪就成功之路。在這之后，學(xué)生改“沙子”為“水”，讓圓錐和圓柱能真正倒?jié)M，從而讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)走向了精準(zhǔn)，自主建構(gòu)了數(shù)學(xué)知識(shí)。

以“錯(cuò)誤”作為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的探究點(diǎn)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐更富有針對(duì)性、實(shí)效性。而對(duì)錯(cuò)誤的反思則讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到錯(cuò)誤可以利用，可以生發(fā)出更為科學(xué)、精準(zhǔn)、有效的探究思路、方向和路徑等。在發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤之后，教師要引導(dǎo)學(xué)生快速地分析錯(cuò)誤的價(jià)值，將錯(cuò)誤轉(zhuǎn)化為培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的有利資源。

三、以“錯(cuò)誤”為生長(zhǎng)點(diǎn)，激勵(lì)學(xué)生探究

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的提升、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本性追求。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以“錯(cuò)誤”為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新的生長(zhǎng)點(diǎn)，鼓勵(lì)、激勵(lì)學(xué)生不斷探究。教師要發(fā)掘?qū)W生在犯錯(cuò)過(guò)程中的閃光點(diǎn)，發(fā)掘?qū)W生錯(cuò)誤中的一些積極性的成分，發(fā)掘?qū)W生錯(cuò)誤中的創(chuàng)新因素等，從而給予學(xué)生適度、適當(dāng)、適時(shí)的點(diǎn)撥、鼓勵(lì)，讓學(xué)生從多個(gè)角度、多個(gè)方向去審視自我。對(duì)于錯(cuò)誤的因勢(shì)利導(dǎo)，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿活力。

比如教學(xué)“正比例的意義”這一部分內(nèi)容時(shí)，筆者出示了這樣的一道題：圓的半徑和圓的面積成正比例嗎？許多學(xué)生由于對(duì)正比例的意義僅僅停留在感性認(rèn)識(shí)上，認(rèn)為一種量擴(kuò)大，另一種也隨著擴(kuò)大，那這樣的兩種量就成正比例。從學(xué)生的這一錯(cuò)誤認(rèn)知出發(fā)，筆者用表格將抽象的數(shù)量關(guān)系表征出來(lái)，由此導(dǎo)引學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩種量盡管是相關(guān)聯(lián)的量，同時(shí)一種量擴(kuò)大（縮小），另一種量也隨著擴(kuò)大（縮小），但由于兩種量相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值不一定，所以這兩種量不成正比例。在此基礎(chǔ)上，筆者又出示了這樣的一道題：當(dāng)直徑一定時(shí)，圓的周長(zhǎng)和圓周率成正比例嗎？由于剛才的錯(cuò)誤，學(xué)生在判斷兩個(gè)量是否成正比例、成什么比例時(shí)，注意到了要對(duì)兩種量之間的等量關(guān)系進(jìn)行變形，所以學(xué)生再次掉入陷阱而產(chǎn)生了錯(cuò)誤。為此，筆者再次引導(dǎo)學(xué)生列表假設(shè)數(shù)據(jù)并整理，從而不斷地以學(xué)生的錯(cuò)誤為學(xué)生的認(rèn)知、探究的生長(zhǎng)點(diǎn)。通過(guò)糾錯(cuò)，讓學(xué)生掌握了判斷兩個(gè)數(shù)量是否成比例、成什么比例的最為原始的方法。在糾錯(cuò)的過(guò)程中，筆者淡化了對(duì)兩種量數(shù)量關(guān)系的機(jī)械分析，從而讓學(xué)生建立了對(duì)成正比例的量的深刻認(rèn)識(shí)。

德國(guó)文學(xué)家歌德曾經(jīng)說(shuō)，“錯(cuò)誤與真理的關(guān)系，就像睡夢(mèng)同清醒的關(guān)系一樣。一個(gè)人從錯(cuò)誤中醒來(lái)，就會(huì)以新的力量走向真理”。美國(guó)著名教育心理學(xué)家桑代克認(rèn)為，學(xué)習(xí)的過(guò)程就是一個(gè)漸進(jìn)的嘗試錯(cuò)誤的過(guò)程。面對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較、識(shí)別，從而讓學(xué)生自我審視、糾錯(cuò)。以錯(cuò)誤作為生長(zhǎng)點(diǎn)，能助推學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深度探究。

四、以“錯(cuò)誤”為促進(jìn)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生反思

學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生錯(cuò)誤是自然的，也是能夠理解的。面對(duì)錯(cuò)誤，教師應(yīng)當(dāng)以“錯(cuò)誤”為促進(jìn)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生反思。如果我們能引導(dǎo)學(xué)生反思錯(cuò)誤，認(rèn)識(shí)到錯(cuò)誤的根源，就能讓學(xué)生找到化解錯(cuò)誤的方法、路徑、策略等。引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)反思錯(cuò)誤提升自我的數(shù)學(xué)認(rèn)知判斷力、實(shí)踐力是數(shù)學(xué)教學(xué)的更高追求。

例如在教學(xué)“認(rèn)識(shí)公頃”這一部分內(nèi)容時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生對(duì)“公頃與平方米”“公頃與平方千米”之間的進(jìn)率的認(rèn)識(shí)比較模糊，通常都是機(jī)械識(shí)記。為了深化學(xué)生的認(rèn)知，筆者引導(dǎo)學(xué)生反思這種情況。有學(xué)生說(shuō)，他不理解為什么其他相鄰兩個(gè)面積單位之間的進(jìn)率都是100，而平方米和公頃之間的進(jìn)率卻是10000;有學(xué)生說(shuō)，公頃是一個(gè)大單位，平方千米也是一個(gè)大單位，兩個(gè)單位的大小容易混淆，等等。為此，筆者引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，梳理長(zhǎng)度單位、面積單位以及它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。通過(guò)反思，學(xué)生提出了積極的猜想，諸如在公頃和平方米之間還有一個(gè)單位;公頃是百米的平方，那么一定還有一個(gè)十米的平方，等等。在直面問(wèn)題、反思錯(cuò)誤后，學(xué)生通過(guò)補(bǔ)充形成了完整的知識(shí)鏈條，即將公畝（十米的平方）這一概念插入公頃和平方米之間，從而完善了學(xué)生的認(rèn)知，填補(bǔ)了學(xué)生的認(rèn)知裂縫。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，錯(cuò)誤是一種寶貴的資源。錯(cuò)誤中蘊(yùn)含著智慧的寶石，錯(cuò)誤拂過(guò)的課堂更顯靈動(dòng)、鮮活、生動(dòng)、真實(shí)。作為教師，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)善待學(xué)生的錯(cuò)誤、妙用學(xué)生的錯(cuò)誤，引導(dǎo)學(xué)生直面問(wèn)題、反思錯(cuò)誤，進(jìn)而讓學(xué)生的錯(cuò)誤有價(jià)值。錯(cuò)誤，能讓學(xué)生的思維碰撞出智慧的火花，也能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)綻放光彩。

作者簡(jiǎn)介：印靈靈（1982—），本科學(xué)歷，一級(jí)教師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作。