類比在初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用

陳琴

【摘要】類比推理，屬于邏輯推理的范疇。類比是分析與探索初中數(shù)學(xué)知識(shí)的重要方法之一。在初中數(shù)學(xué)中，概念、原理和基本性質(zhì)是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，本文談?wù)勵(lì)惐仍诟拍睢⒍ɡ砗突拘再|(zhì)教學(xué)中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);類比;概念教學(xué)

發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)是現(xiàn)代教育改革與發(fā)展的主要趨勢(shì)之一。無論是中小學(xué)階段的十大數(shù)學(xué)核心概念還是高中階段的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，都將邏輯推理能力單獨(dú)列出來。而邏輯推理能力包括了三大內(nèi)容：類比、歸納和演繹。

概念、原理和基本性質(zhì)是數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心內(nèi)容，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，讓學(xué)生通過一些熟悉的事物進(jìn)行合理的類比，以完成學(xué)習(xí)內(nèi)容。學(xué)生如果能牢固掌握概念和原理，就可以運(yùn)用邏輯推理能力解決新問題，從而提高其思維能力。但是，在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中我們經(jīng)常在“時(shí)間緊，內(nèi)容多”的情況下忽略了概念教學(xué)，匆匆而過。這是本末倒置的，筆者在多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)中獲悉，概念非常重要，必須認(rèn)真設(shè)計(jì)好每一節(jié)概念課。本文筆者將探討類比在概念教學(xué)中的一些應(yīng)用。

一、情景類比，體驗(yàn)新識(shí)的樂趣

對(duì)于一些抽象，學(xué)生難以理解的概念，教師可以設(shè)計(jì)一些學(xué)生

熟悉且具有趣味性的故事情景，讓學(xué)生在良好的氛圍中輕松學(xué)習(xí)掌握抽象枯燥的概念。例如，八年級(jí)（下）學(xué)生開學(xué)學(xué)習(xí)“函數(shù)”，這是一個(gè)非常抽象，非常難理解的概念，筆者查閱了很多書籍，終于在《趣味數(shù)學(xué)》這本書中看到了它是這樣講解“函數(shù)”這個(gè)概念的：孫悟空大戰(zhàn)牛魔王。孫悟空師徒幾人因?yàn)橐^火焰山，需要借助芭蕉公主的芭蕉扇，而芭蕉扇在牛魔王手上，所以只有戰(zhàn)勝牛魔王才能拿到芭蕉扇，牛魔王雖然不是孫悟空的對(duì)手，但是，他會(huì)變，第一次變成一只白鶴，飛走了，孫悟空一看，馬上變成一只鳳凰，鳳凰可是百鳥之王，白鶴當(dāng)然斗不過鳳凰;第二次牛魔王變成了一只香樟，假裝在吃草，孫悟空立刻變成了一只猛虎，撲了過去;第三次牛魔王變成一頭獅子，反過來擒猛虎，悟空一看，變成一只巨象，用長(zhǎng)長(zhǎng)的鼻子卷獅子;牛魔王沒辦法，只能拿出絕招，顯身大白牛，悟空身體變得高萬丈，拿金箍棒朝牛魔王打去。首先，我們從這個(gè)“變”字談起，孫悟空和牛魔王都能變，我們要從變化的觀點(diǎn)來研究數(shù)與量之間的關(guān)系。牛魔王因?yàn)榇虿贿^孫悟空，所以想盡辦法逃走，因此先變，而孫悟空總是跟隨著牛魔王的變化而變化的，并且這種變化有一定的原則。在一個(gè)變化過程中，發(fā)生變化的量稱為變量，始終不變的量稱為常量，所以在這個(gè)故事中，牛魔王和孫悟空都是變量，牛魔王總是先變，稱為自變量，孫悟空是隨著牛魔王的變化而變化的，稱為函數(shù)，唐僧始終不會(huì)變，稱為常量。后來在講解“函數(shù)”這個(gè)概念時(shí)，筆者就用這個(gè)故事類比“函數(shù)”，果真收到了不錯(cuò)的效果，打破了外界給予學(xué)生的對(duì)函數(shù)的恐懼和茫然感，從而自然的過渡到新課講解環(huán)節(jié)。

二、新舊知識(shí)類比，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移

縱觀初中三年數(shù)學(xué)概念、定理中有相當(dāng)多的知識(shí)和舊知識(shí)，無論在形式上還是實(shí)質(zhì)上都非常相似，所以在教授新知時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將新知識(shí)與學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行類比，不但可以達(dá)到溫故而知新的效果，還可以發(fā)現(xiàn)新知識(shí)。例如：在教授八年級(jí)（上）分式的概念時(shí)，教師可以讓學(xué)生先回憶分?jǐn)?shù)的有關(guān)概念性質(zhì)，然后再引出分式的概念，與分?jǐn)?shù)類似，分式的分母也不能為零，所以當(dāng)分母不為零時(shí)，分式才有意義.類比分?jǐn)?shù)的性質(zhì)，讓學(xué)生也可以猜測(cè)分式的性質(zhì)。我們可以看出，分式與分?jǐn)?shù)不僅形式上類似，性質(zhì)也相似，所以只要讓學(xué)生先復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的有關(guān)概念性質(zhì)，也就可以很容易掌握分式的概念和性質(zhì)了，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移。又例如：在教授九年級(jí)（下）相似三角形時(shí)，教師可以先讓學(xué)生復(fù)習(xí)全等三角形的有關(guān)性質(zhì)與判定方法，再過渡到相似三角形的學(xué)習(xí)，這樣自然而然實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移。還有，講解不等式的性質(zhì)時(shí)，可以類比等式的性質(zhì)，講授不等式的解法時(shí)可以類比一元一次方程的解法;講授二次函數(shù)的相關(guān)概念性質(zhì)時(shí)可以類比一元二次方程等等。新舊知識(shí)的類比，不僅可以讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的發(fā)展，也實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的遷移。

三、數(shù)形類比，讓知識(shí)得以升華

數(shù)形結(jié)合是初中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法中非常重要并且很常用的一種。教師在教學(xué)中讓學(xué)生將數(shù)與形進(jìn)行類比，能讓學(xué)生更牢固的掌握知識(shí)，更深刻的理解數(shù)學(xué)概念或性質(zhì)。例如：將九年級(jí)（上）的一元二次方程根的判別放到了二次函數(shù)的圖象中時(shí)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)原來兩者之間是有聯(lián)系的，這時(shí)就能更深刻的掌握一元二次方程和二次函數(shù)的性質(zhì)了。又例如，八年級(jí)（下）勾股定理的探索，教師一般先通過一些特殊圖形帶領(lǐng)學(xué)生得出結(jié)論，即直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。我們知道這樣得出的結(jié)論是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模瑳]有經(jīng)過證明的定理是不能用于證明其他題目。教師可以帶著學(xué)生用幾何圖形進(jìn)行證明，這一步絕對(duì)不能省，不能因?yàn)檎n時(shí)緊而省略。我們來看看用圖形證明勾股定理其中兩種方法。方法一：做4個(gè)直角邊長(zhǎng)分別為a、b（b﹥a）的直角三角形，斜邊長(zhǎng)為c，兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a和b的正方形，拼成圖1的大正方形，則大正方形的邊長(zhǎng)是（a+b），面積是a2+b2+4·ab。再做4個(gè)直角邊長(zhǎng)分別為a、b（b﹥a）直角三角形，斜邊長(zhǎng)也為c，和一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形，拼成圖2的大正方形，我們可以看出大正方形的邊長(zhǎng)也是（a+b），面積是c2+4·ab， 可以看出兩個(gè)大正方形面積相等，整理得a2+b2=c2。方法二：如圖3，做4個(gè)全等的直角三角形，直角邊為a、b（b>a）， 斜邊為c，兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a和b的正方形，拼成圖1的大正方形，則大正方形的邊長(zhǎng)是（a+b），面積是a2+b2+4·ab。再做4個(gè)直角邊長(zhǎng)分別為a、b（b﹥a）直角三角形，斜邊長(zhǎng)也為c，和一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形，拼成圖2的大正方形，我們可以看出大正方形的邊長(zhǎng)也是（a+b），面積是c2+4·ab， 可以看出兩個(gè)大正方形面積相等，整理得a2+b2=c2。方法二：如圖3，做4個(gè)全等的直角三角形，直角邊為a、b（b>a）， 斜邊為c，拼成圖3所示形狀，每個(gè)直角三角形的面積等于ab. ∵ RtΔDAE ≌ RtΔABF，∴ ∠EDA = ∠FAB.∵ EDA + ∠EAD = 90°，∴ ∠FAB + EHAD = 90°;∴ 四邊形ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形，它的面積等于c2.∵ GH =HE =EF=FG= b-a ，∠AED = 90°.∴ 四邊形GHEF是一個(gè)邊長(zhǎng)為（b-a），面積等于（b-a）2的正方形.∴（b-a）2=c2-4·ab∴ a2+b2=c2。

四、防止盲目類比，糾正學(xué)生容易產(chǎn)生的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)

采用類比可以讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中嘗到許多甜頭，所以他們樂意使用類比，但學(xué)生在使用類比時(shí)往往只根據(jù)形式類似就進(jìn)行了類比，從而造成錯(cuò)誤。例如：八年級(jí)（上）冪的運(yùn)算中，積的乘方就是先的把積中的每一個(gè)因數(shù)分別乘方，再把所得的冪相乘。 （ab）n=an·bn當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了積的乘方后，往往會(huì)把之前學(xué)過的完全平方公式給混淆了，會(huì)寫成這樣（a+b）2=a2+b2或（a-b）2=a2-b2，這就是簡(jiǎn)單的類比所造成的錯(cuò)誤。又例如在學(xué)習(xí)了分式的基本性質(zhì)后，在化簡(jiǎn)分式時(shí)常出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤，學(xué)生簡(jiǎn)單的把分子分母中的a約去，好像分式（a+2）/（a-2）學(xué)生化簡(jiǎn)后等于-1，這也是簡(jiǎn)單的類比，造成的錯(cuò)誤。類似這種錯(cuò)誤，學(xué)生在整個(gè)初中階段會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)，所以就需要教師在用類比法進(jìn)行教學(xué)時(shí)，務(wù)必引導(dǎo)學(xué)生想通想透，不能盲目類比。

類比是數(shù)學(xué)方法論中最基本的方法之一，也是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力的其中一項(xiàng)，用好了能獲得新的成果，但是要真正用好它并不容易，這需要教師的知識(shí)面廣，并且能預(yù)知學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤，才能引導(dǎo)學(xué)生在類比中想通想透。又需要學(xué)生自己能夠在教師引導(dǎo)下，自覺的探究、反思，最后形成自己的邏輯思維能力。

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