數形結合思維與高中物理解題教學的融合

陳 龍

(福建省福安市第一中學 福建 福安 355000)

引言

數形結合思想在高中物理解題中有著較高的應用率與較為廣闊的應用面。教師在解題教學中，應加強對學生數形結合思維的培養，引導學生將幾何圖像與數理表達式結合在一起，對物理問題實施形象化、直觀化、簡化處理，將數理關系轉變為圖形，或將圖形解析為簡單的數理關系，把握物理問題的本質，快速找到正確的解題思路，實現高效解題。期望本文能夠為廣大物理教學工作者帶來一定的參考作用。

1.高中物理與數形結合的關聯

高中物理教學中，處處可見數形結合思想的影子。如師生對一系列物理現象的分析，通常需建立在物理模型之上，而圖形與數字是表現物理模型的重要工具，這便體現了數形結合在物理課堂中的滲透。如教學“動能定理”習題時，教師會引導學生以作圖、標點、標量的形式，表達狀態變化過程、狀態量與過程量，等等，尤其是在教學“動量守恒定律”時，教師會要求學生借助數形結合方式，表達矢量的大小及方向，這也體現了數與形的轉化。總之，數形結合在高中物理課堂中的滲透既是廣泛的，又是深刻的，為培養學生的物理素養、強化學生的物理解題能力，在教學過程中，教師應重視為學生滲透數形結合思想，為學生傳授一些科學的數形轉化方法，以促進學生學習能力的持續發展[1]。

2.數形結合思維在高中物理解題中的價值

2.1 數形結合可幫助學生實現高效解題。實踐解題中，數形結合不失為一種行之有效的解題工具，學生可利用這一工具，完成高效解題。具體而言，相較于初中物理題目，高中物理題目的抽象性、嚴謹性與邏輯性陡增，很多學習基礎尚可的學生，在解答一些抽象性強的問題時，都會頻頻出錯。分析學生的解題現狀可知，難以理清題干、分析清楚物理量、數量之間的關系，是阻礙學生實現高效解題的重要因素。而培養學生的數形結合思維，無疑能夠幫助學生更好地解決如上問題。例如，學生可利用數形結合思想，以數形轉換的方式，對一些抽象的物理量進行直觀化、形象化處理，以更好地梳理題干，快速找到解答問題的正確思路，這與高中生本身的認知特點也是相符合的。

2.2 數形結合可增強學生的學習興趣、學習信心。高中生的抽象思維尚在發育，形象、直觀的事物，對他們而言仍然有著較強的親近感，學習起來較為容易。因此在解題教學中，教師也可借助數形結合思想，激活學生的學習主動性，鼓勵學生自主尋找物理解題點，讓學生自覺感受到物理題目并非是晦澀難懂的，而是充滿趣味的，進而幫助學生樹立更為堅定的物理學習信心，這與課程改革倡導的“學生是課堂的主體，教師是課堂的組織者、參與者與引導者”的教育理念不謀而合[2]。久而久之，學生的物理思維也會得到長足的發展。

3.數形結合思維與高中物理解題教學的融合

教師可從如下四角度出發，理清數形結合思維與高中物理解題的關系，之后循序漸進地為學生滲透這種解題思想，潛移默化增強學生的解題能力：

3.1 把握數形結合與物理題的關聯。為實現數形結合與高中物理解題的深度融合，教師應當理清數形結合與高中物理解題之間的關系，即數形結合在物理題中的具體體現，以有的放矢地培養學生的數形結合思維。這要求教師在平時吃透教材，加強習題歸納，形成系統性的解題教學思路，為解題教學的順利進行打下良好的鋪墊[3]。以高一物理為例，學生在解題過程中，對數形結合思維的運用集中于如下三種圖：

(1)速度時間圖像(v-t圖)。

解析：本題條件過少，采用公式進行解決難度過大，且耗費時間過長，因此在考場上不建議學生如此解題。但條件過少的物理題目，往往暗示著我們可以借助數形結合思想，以畫圖的方式解決。如圖1，可借用中間時刻速度與初末速度的關系，學生在畫圖時，通常會畫出勻變速直線運動的圖像，將線條畫至C點，但題目給出B點是位移中點，為保證前后位移一致，圖線只能移至A點，則可判斷a1及a2的大小關系是a1

圖1

(2)矢量圖。

【例2】小船在靜水中速度為u，水速為v，且v>u，若需以最短航線渡過寬度為L的河流，應如何行駛？求最短航線長。

解析：題目給出了v>u的條件，未給出小船的速度方向，學生在解題時，可使用數學中的圓工具和矢量合成的三角形法則，以v右端點為圓心，u的大小為半徑畫出半圓圖，航線最短時，小船合速度應盡可能靠攏垂直于岸的方向，如圖2所示，v合與u垂直時，小船航線最短，cosɑ=u/v，船身應以偏向上游ɑ=arccos(u/v)行駛，最短航線長度為smin=L/cosθ=L/cosɑ=vL/u。

(3)運動示意圖。

在實踐教學中不難發現，在解答物理習題特別是追逐類問題時，學生繪出運動示意圖后，往往能夠較為清晰地察覺物體間的位移關系，即線段長度的關系，解題難度迅速降低，結合運動圖像，可實現高效解題。

在實踐教學的解題過程中，常遇到的可以用數形結合思想進行解題的題目，或繪制的圖像的類型做出歸納，在課堂中，引導學生初步構建起以數形結合解決物理問題的系統化框架，之后再循序漸進地培養學生對以數轉形、以形轉數、數形互補三種具體解題方法的了解。

3.2 滲透“以數轉形”思想，簡化物理題目。學生在解答物理題目時，面對題目中給出的復雜的代數量，往往會產生迷茫的心態，找不到解題的正確切入點[4]。此時物理教師便可不失時機地引導學生轉變自己的思維，從數形結合的角度出發，利用形象、直觀的圖形，梳理題目中的代數關系，簡化題目，以實現高效解題。這種“以數轉形”的解題方式，也是數形結合思想應用于高中物理解題的最為基礎的形式。

【例3】百米賽跑中，計時員聽到槍響后，開始記錄運動員的跑步成績。當計時員看到第一個運動員到達終點后，暫停秒表，得出該運動員的賽跑成績是12.2s。請問，這種計時方法合理嗎？若不合理，應如何計時才能夠保證計時結果的準確性？

解析：依據圖中信息，我們簡單地繪出圖形，用AB代表兩名運動員的百米賽跑跑道，A為起點，B為終點，持槍者與運動員一同站在A點位置，計時員站在B點位置，忽略運動員的反應時間，可將槍響與運動員起跑視作在同一時間點上發生的行為，但槍聲傳至B點，還需經歷一段的時間，運動員已在這段時間內跑了一定的距離，從這一角度上來看，題目所述的計時方法是不合理的。學生結合生活經驗不難判斷出，合理的計時方法是看到槍響冒出的煙開始計時，即現實中百米跑比賽最常用的計時方法，這一方法主要借助了光的傳播原理，即光在空氣中的傳播速度比聲音快。

3.3 滲透“以形轉數”思想，歸納數據關系。實際解題中，有的物理題是帶有圖像的，包括運動狀態圖、實物圖等，但題目卻并未給出詳細的數據信息，此時，學生就應仔細觀察題目，歸納數據關系之后做出正確的計算，這便是“以形轉數”。

【例4】一個半徑R=0.8m的1/4光滑圓弧軌道固定在豎直平面內，其下端切線是水平的，軌道下端離地h=1.25m。現有質量m=0.1kg的小物塊A由軌道頂點從靜止開始釋放，落至B點，忽略空氣阻力，其重力加速度g取10m/s2，求A落至軌道下端時的速度大小。

3.4 滲透“數形互補”思想，培養綜合思維。分析學生常做的高中物理習題可知，很多物理習題有著較強的綜合性，在應用數形結合思維進行解題時，學生需綜合考慮數、形之間的關系，以“數形互補”思想，找到正確的解題思路[5]。因此實踐教學中，教師也應加強對學生綜合思維的培養，讓學生能夠從更寬廣的視角出發，思考物理習題，結合題目給出的條件，理清圖形、數量之間的關系。

【例5】現有一長木板運動于水平面上，t=0時，放置一個靜止物體至木板上方，之后長木板運動時間與運動速度之間的關系如圖2所示。若靜止物體的質量與長木板質量相等，同時水平面、長木板、靜止物體之間皆有摩擦力，靜止物體與長木板的最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等，整個運動期間，該物體都保持在長木板上，求長木板與物體及長木板與水平面的動摩擦因數。

圖2

解析：解答此題時，學生需先分析小物塊與長木板的受力，進而判斷其運動情況。0s至0.5s階段，長木板與物體間、長木板與地面間皆有摩擦力，小物塊做勻加速運動，長木板做勻減速運動，直至0.5s，二者速度相等。該階段可用加速度定義式算出小物塊加速度大小，再結合牛頓第二定律，求出小物塊與長木板之間的動摩擦因數，計算圖中0s至0.5s圖像斜率可得出長木板加速度，再以牛頓第二定律計算長木板與水平面之間的動摩擦因數。在進行對這道題的解題教學時，教師應重視引導學生繪制受力分析圖，判斷物體運動情況，找到正確的解題思路，之后利用方程求出答案。

4.如何培養學生的數形結合思維

4.1 概念教學入手，滲透數形思維。以對“力學”相關知識內容的教學為例。在講解新內容時，教師可為學生舉“足球”這一實例：球員在罰點球時，足球由靜止狀態轉為運動狀態，守門員接住球時，足球又從運動狀態轉回靜止狀態。教師可引導學生以畫圖方式，分析這一例子，探究物體狀態為何而改變。當學生察覺到，是力的作用引發了物體運動狀態的改變時，教師就可為學生引入力的示意圖，以帶箭頭的有向線段表示力，讓力的概念變得直觀而具體，并以線段長度表示力的大小。顯然，相較于常規教學方式，上述畫圖教學方式，更有利于幫助學生全面理解物理概念、形成初步的數形結合思維。再如，在教學電場、磁場時，教師也可在黑板上繪出電場線、磁場線，以表達物理概念，讓學生形成在學習物理知識、解答物理問題時畫圖的習慣。

4.2 鼓勵自主探究，培養數形思維。在教學過程中，對于一些難度不高的知識內容，教師可將課堂自主權交由學生，引導學生以數形結合思維進行探究，以深化學生對這一思想方法的了解，長此以往，學生必然能夠將數形結合思想熟練地應用到物理解題中，物理素養也能夠獲得長足的發展。

以對“力的合成”相關知識內容的教學為例。教師可為學生引出如下情境：現有一根橡皮筋，原長5cm，重力忽略不計，上端固定。利用彈簧測力計拉伸橡皮筋至15cm，之后再測一次，用兩個彈簧測力計，將橡皮筋拉伸至同一位置，兩個彈簧測力計成一定角度。教師可引導學生結合這一案例，繪制示意圖，分析得出F單獨作用與F1、F2共同作用的效果是相同的。在此基礎上，教師就可為學生直觀地引出合力、分力、等效替代等概念了。

4.3 結合生活情境，培養應用能力。物理知識來源于實際生活、回歸于實際生活、服務于實際生活，進行物理教學的主要目的是培養學生以物理知識，解決生活中的實際問題的能力。因此，當學生對數形結合思想有了充足的了解后，教師應鼓勵學生以數形結合思想，構建生活化的問題情境；反之，在形成一定的物理素養后，學生在實際生活中，也可借助數形結合思想，將真實的場景轉化為物理問題，之后深入分析物理問題，找到正確的解題思路。這便是所謂的“物理抽象”，是學生將生活經驗與學習經驗結合在一起的過程。

結語

綜上所述，在現階段的高中物理解題教學中，數形結合思想有著較高的應用率與較為廣闊的應用面。在日常教學中，教師應堅持為學生滲透數形結合思想，引導學生利用這一思想，更好地判斷物理題隱藏的數理條件，高效地找到正確的解題思路。同時，教師在平時也應引導學生做好對物理習題的歸納總結，分析解題規律，形成數形結合思維，以更為得心應手地解決物理問題。長此以往，學生的物理學科核心素養必將得到突飛猛進的成長。