大單元視角下構(gòu)建題組深度復(fù)習(xí)的教學(xué)實踐與反思
——以“立體幾何解答題專題復(fù)習(xí)教學(xué)”為例

廣東 潘敬貞 駱妃景

1.授課背景

本節(jié)課是筆者開展基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)深度教學(xué)模式研究，探究“大單元復(fù)習(xí)”課堂變革的一節(jié)復(fù)習(xí)型展示課，大單元視角下構(gòu)建題組深度復(fù)習(xí)是把相關(guān)聯(lián)的知識和方法，通過題目精心設(shè)置和順序編排，變成一系列問題或題組，題組中的試題由易到難，由單一到綜合，呈現(xiàn)遞進(jìn)關(guān)系，螺旋上升，突出一題多變，展示數(shù)學(xué)問題的可變性，將章節(jié)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本方法和基本思想連成線，織成網(wǎng)，鋪成面，以題組驅(qū)動復(fù)習(xí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和課堂復(fù)習(xí)效率.本文將教學(xué)過程做一整理與各位同行交流探討.

2.教學(xué)構(gòu)思

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，是培育學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)以及厚植學(xué)生理性精神的沃土，也是培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成懂理講理良好習(xí)慣的絕佳素材.立體幾何是歷年高考考查的重點內(nèi)容，利用空間向量解決立體幾何問題是高二第一學(xué)期重點學(xué)習(xí)的內(nèi)容，也是高二第一學(xué)期期中考試重點考查內(nèi)容，立體幾何解答題也是高考必不可少的試題.

因此，在二輪復(fù)習(xí)中對相關(guān)知識進(jìn)行回顧復(fù)習(xí)是很有必要的,然而，時間緊迫，內(nèi)容多，任務(wù)重，迫切需要一種復(fù)習(xí)模式來提升考前復(fù)習(xí)效率，大單元視角下構(gòu)建題組深度復(fù)習(xí)則提供了一種有效思路.

立體幾何解答題主要以常見幾何體為載體，結(jié)合空間向量工具，考查立體圖形中的線線、線面和面面位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.試題的第一問主要考查線線垂直、線面平行、線面垂直、面面垂直的求證為主；第二問主要考查線面夾角、點面距離、面面夾角、幾何體的體積等問題，主要考查學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運算與數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).因此本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計重點是通過結(jié)合常見的幾何體，梳理常見的建立空間直角坐標(biāo)系的策略，歸納總結(jié)求證線面平行、線線垂直、線面垂直、面面垂直的思想方法，求解線面夾角、點面距離、面面夾角等問題的求解思路和解題思維痛點.以“問題解決”貫穿始終，設(shè)計層層遞進(jìn)的題組，讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下分析問題、解決問題，使得章節(jié)知識方法系統(tǒng)化，發(fā)展直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.教學(xué)過程

3.1 以任務(wù)為驅(qū)動，促進(jìn)回顧復(fù)習(xí)

【問題1】如圖，四棱錐P-ABCD，底面ABCD是平行四邊形，M，N分別是PC，AB的中點，過AP作平面APGH交平面BDM于GH，求證：

(1)AP∥平面BDM；

(2)MN∥平面PAD；

(3)AP∥GH.

設(shè)計意圖:問題1試題難度較低，第(1)問只需通過連接AC即可構(gòu)造三角形的中位線，從而證明線面平行；第(2)問是取PD中點通過構(gòu)造平行四邊形來證明線面平行；第(3)問是在第(1)問的基礎(chǔ)上進(jìn)一步利用線面平行的性質(zhì)來證明線線平行.問題1的3個問難度都比較低，但低起點能夠很好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，在問題解決中提高學(xué)生自我效能感，回顧復(fù)習(xí)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，回顧復(fù)習(xí)證明線面平行的一般方法(中位線法和構(gòu)建平行四邊形法)，進(jìn)一步深化知識的理解和方法的應(yīng)用.

【問題2】如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，且四邊形BB1C1C是菱形，證明：AC1⊥B1C.

【變式1】在三棱柱ABC-A1B1C1中，四邊形AA1B1B是矩形，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C，四邊形BB1C1C是菱形，求證：AC1⊥B1C.

變式1只將問題2已知條件中的AB⊥平面BB1C1C改為平面AA1B1B⊥平面BB1C1C，利用面面垂直的性質(zhì)定理轉(zhuǎn)化為直線垂直于平面，雖然只做微小的改變，但更有利于學(xué)生掌握證明有關(guān)垂直關(guān)系的解題套路和平面垂直平面的性質(zhì)定理的內(nèi)涵.

【變式2】在三棱柱ABC-A1B1C1中，四邊形BB1C1C是菱形，∠ABB1=∠ABC，求證：AC1⊥B1C.

變式2是將問題2已知條件中的AB⊥平面BB1C1C改為通過已知∠ABB1=∠ABC先證明△AB1C為等腰三角形，再利用等腰三角形三線合一性質(zhì)得到AB⊥B1C，相對于問題2和變式1，題目條件更加隱蔽，更有利于制造思維的沖突，對調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，創(chuàng)造合作學(xué)習(xí)、互動交流的氛圍和機會，提高學(xué)生分析問題和解題能力都有很好的幫助.

變式3是想切換另外一個角度，將問題2已知條件中的AB⊥平面BB1C1C改為已知圖形元素的數(shù)量關(guān)系，通過運算和利用正弦定理得到線線垂直的結(jié)論，因此在證明有關(guān)垂直問題時可以考慮空間中直線與平面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，由此拓寬學(xué)生思考問題的角度，提高學(xué)生的應(yīng)變能力，審題提取信息的能力和解題能力.

通過問題2以及變式1，2，3的分析與證明，學(xué)生可以熟悉掌握以菱形、直線與平面垂直、等腰三角形、勾股定理的逆定理、平面與平面垂直等為素材證明直線垂直于直線乃至有關(guān)垂直問題的解題套路.

【變式4】在三棱柱中ABC-A1B1C1，AB⊥B1C，四邊形BB1C1C是菱形，求證：AC=AB1.

變式4是將問題2中的問題，求證：AC1⊥B1C改為求證AC=AB1，這樣題目的目標(biāo)就相對更具隱蔽性，解決這個問題就需要將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為一系列相對較為復(fù)雜的過程，可以將學(xué)生的學(xué)習(xí)思維強度、課堂合作學(xué)習(xí)、互動交流的氣氛等推向高潮，有效地培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力與創(chuàng)新思維，提高學(xué)生的解題能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力等.

【變式5】在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，且四邊形BB1C1C是菱形，求證：平面ABC1⊥平面AB1C.

變式5做了一個溫和的變式，將問題2中的問題，求證：AC1⊥B1C改為求證平面ABC1⊥平面AB1C，改變問題視角，強調(diào)空間轉(zhuǎn)化，解答過程又回到起點.這樣利于反思總結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，促進(jìn)教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成.

設(shè)計意圖：問題2的主要目的是讓學(xué)生在對問題的求解過程中回顧復(fù)習(xí)立體幾何中有關(guān)垂直證明問題，梳理有關(guān)垂直證明問題的構(gòu)建要素和一般求解思路以及規(guī)范表達(dá).激發(fā)學(xué)生通過問題與變式螺旋上升的分析與解決過程中復(fù)習(xí)內(nèi)化已學(xué)知識和方法的熱情.

【問題3】如圖，已知四邊形ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1，試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.

(1)求平面ABCD的一個法向量；

(2)求平面SAB的一個法向量；

(3)求平面SAD的一個法向量；

(4)求平面SBC的一個法向量；

(5)求平面SBD的一個法向量；

(6)求平面SCD的一個法向量；

(7)求BC與CD所成角的余弦值；

(8)求點B到平面SCD的距離；

(9)求直線SB與平面SCD所成角的正弦值；

(10)求平面SAD與平面SCD所成角的余弦值.

設(shè)計意圖：問題3是以直角梯形為底面，線面垂直為載體，要求學(xué)生建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，利用向量解決異面直線夾角、線面夾角、二面角、點面距等常見問題.本道試題直接已知三條共點且兩兩互相垂直的直線使得空間直角坐標(biāo)系容易建立，提出的問題也很基礎(chǔ)，問題呈現(xiàn)層層遞進(jìn)，螺旋上升.學(xué)生通過簡單復(fù)習(xí)可以順利解答本道試題，同時回顧立體幾何解答題常考的問題，引導(dǎo)學(xué)生逐漸構(gòu)建知識體系，使知識系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化.

3.2 換問題情境，夯實四基，提升四能

(1)求證：平面EAC⊥平面FAC；

(2)求直線BC與平面AEF所成角的大小.

【解析】(1)設(shè)AC∩BD=O,利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)及等腰三角形中線性質(zhì)得到AC⊥EO，再利用勾股定理及勾股定理的逆定理證明EO⊥OF，由線面垂直的判定定理得到EO⊥平面FAC，最后由面面垂直的判定定理得到平面EAC⊥平面FAC；

(2)解法一：如圖，延長CB到點H，使得BH=BC，連接AH，F(xiàn)H，易知四邊形AEFH為平行四邊形，故A，E，F(xiàn)，H四點共面，所以直線BC與平面AEF所成的角.即直線HC與平面AEFH所成的角.

因為EF∩AG=G，EF，AG?平面AEFH，所以CG⊥平面AEFH.

連接HG，則∠CHG即直線BC與平面AEF所成角.在Rt△HGC中，CG=2，HC=4，

解法二：取EF的中點G，連接OG，易知OA，OB，OG兩兩垂直，故以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA，OB，OG所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

所以直線BC與平面AEF所成的角為30°.

設(shè)計意圖：問題4以正方形和面面垂直為問題情境，學(xué)生可以快速找到三條共點且兩兩互相垂直的直線即可建立空間直角坐標(biāo)系，同時提出面面垂直和線面夾角問題，第(1)問學(xué)生利用立體幾何中相關(guān)定理、性質(zhì)解決問題，第(2)問則用向量工具解決問題，學(xué)生進(jìn)一步熟悉相關(guān)知識和問題的求解思路.

(1)求證：CE∥平面SAD；

(2)求證：BD⊥平面SAC；

(3)求直線CE與平面SAC所成角的余弦值.

設(shè)計意圖：問題5結(jié)合勾股定理的逆定理證明線線垂直，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系，并解決常規(guī)的立體幾何問題，通過問題5的求解進(jìn)一步提升學(xué)生建立空間直角坐標(biāo)系與解決問題的能力.

【問題6】如圖1，已知△ABC是邊長為6的等邊三角形，點D，E分別是邊AB，AC上的點，且滿足AD=CE=2，如圖2，將△ADE沿DE折成四棱錐A1-BCED，且有平面A1DE⊥平面BCED.

圖1

圖2

(1)求證：A1D丄平面BCED；

(2)記A1E的中點為M，求二面角M-DC-A1的余弦值.

設(shè)計意圖：問題6是以翻折問題為載體，結(jié)合面面垂直作為問題情境，設(shè)置線面垂直和二面角問題.問題情境和提出的問題都是學(xué)生熟悉的問題，學(xué)生在老師的引導(dǎo)和生生互動交流中很快就能找到解決問題的突破口.

(1)若M是AB的中點，N是棱PC上一點，且CN=2PN，求證：MN∥平面PAD；

【解析】(1)如圖，連接CM并延長，交DA的延長線于點E，連接PE.

所以△ADC≌△ABC，所以∠ACD=∠ACB，

所以△DOC≌△BOC，所以DO=BO，∠COD=∠COB=90°.

因為AB⊥AD，所以O(shè)A=OB=OD=1，易得OC=2，所以CM=2ME，又CN=2PN，所以MN∥PE，

因為PE?平面PAD,MN?平面PAD，所以MN∥平面PAD.

令x=1，則y=1，z=1，所以平面PAB的一個法向量為m=(1,1,1).

令x1=1，則y1=-2，z1=-2，

設(shè)計意圖：通過問題1,2,3的求解，學(xué)生回顧復(fù)習(xí)了立體幾何解答題中的相關(guān)知識和求解思路，經(jīng)過對問題4,5,6的分析與交流，學(xué)生進(jìn)一步熟悉立體幾何解答題的常規(guī)問題的求解思路，提升運算求解能力，此時給出問題情境相對復(fù)雜，試題難度有所提升的問題7，在老師的引導(dǎo)以及與同學(xué)們的交流中，學(xué)生受到啟發(fā)，完全能找到解決問題的突破口.

3.3 全面提升數(shù)學(xué)能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

(1)求證：CM⊥平面PAB；

【解析】(1)先證明CM⊥AB，然后連接PM，利用題目所給的邊長關(guān)系，根據(jù)勾股定理證明CM⊥PM，然后根據(jù)線面垂直的判定定理即可得到CM⊥平面PAB；

平面PMD的一個法向量為m=(x1,y1,z1)，直線PN與平面PMD所成角為θ.

【評析】本題考查線面垂直的證明及空間中的探索性問題，一般地，對于探索性問題的解答方法如下:

(1)可先假設(shè)所求的點存在，合理設(shè)元；(2)然后建立空間直角坐標(biāo)系，標(biāo)出各點的坐標(biāo)，求出直線的方向向量、平面的法向量等；(3)結(jié)合已知條件列出有關(guān)線面夾角、面面夾角成立的含參方程；(4)解方程，得出參數(shù)的值即可.

【問題9】如圖，四棱錐P-ABCD的底面為菱形，且∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，M為BC的中點.

【評析】利用空間向量計算二面角的常用方法：1.法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的大小；

2.方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.

設(shè)計意圖：問題8的第二問和問題9的第一問都采用探究性設(shè)置問題，有很濃的探究味道，有很好的開放性，對學(xué)生辯證思維和邏輯推理以及運算求解能力都提出了更高的要求，對培育學(xué)生的理性精神和創(chuàng)新意識有重要意義.問題9的第二問通過已知二面角得到點的位置，進(jìn)而求幾何體的體積和異面直線夾角問題，問題有一定的靈活性，但歸根結(jié)底還是二面角問題，必經(jīng)過建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量解決問題，通過對這兩道題的求解進(jìn)一步提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

【問題10】如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB=BC=2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點，D為棱A1B1上的點，BF⊥A1B1.

(1)證明：BF⊥DE；

(2)當(dāng)B1D為何值時，平面BB1C1C與平面DFE所成的二面角的正弦值最小?

設(shè)計意圖：問題10是通過設(shè)參數(shù)，并利用二次函數(shù)或基本不等式解決最值問題，試題具有較高的綜合性，問題的求解對學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力要求也比較高，對訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維和提升學(xué)生的分析問題和解決問題的能力具有重要意義.

4.幾點思考

大單元視角下構(gòu)建題組深度復(fù)習(xí)避開常規(guī)復(fù)習(xí)課講題做題的套路，用題組串聯(lián)已學(xué)知識，形成更完整的知識脈絡(luò)，讓復(fù)習(xí)課更有新意.深度復(fù)習(xí)過程的核心是設(shè)置層層遞進(jìn)，螺旋上升的題組，指向大單元深度復(fù)習(xí)的高效題組設(shè)計有哪些顯著的特征呢？

4.1 以問題驅(qū)動復(fù)習(xí)為構(gòu)建題組的邏輯起點

問題是數(shù)學(xué)的心臟，思維從問題開始，創(chuàng)設(shè)合適的問題情境，以問題引領(lǐng)學(xué)習(xí)，啟發(fā)學(xué)生思考，翻閱教材、筆記本等，自主梳理基本知識、基本思想方法.本課例題組一為問題1至問題3突出一題多變，一題多問，主要設(shè)置常規(guī)且簡單的問題情境，提出常規(guī)且簡單的數(shù)學(xué)問題.問題指向清晰明了，學(xué)生可以直接讀懂題意.因此筆者將題組一作為課前任務(wù)單讓學(xué)生在課前自主完成解答，然后收取課前任務(wù)單并檢查學(xué)生完成情況，同時與部分學(xué)生當(dāng)面交流，聽取學(xué)生感想和意見.筆者發(fā)現(xiàn)，在此之前絕大部分學(xué)生對立體幾何解答題的一些常見問題和求解思路已經(jīng)遺忘，但通過題組一的任務(wù)驅(qū)動，學(xué)生能夠自主翻閱教材和筆記，能夠很快回憶起相關(guān)知識以及常見問題的求解思路.由于題組一試題難度不大，起點較低，問題較為直接、單一，學(xué)生能夠順利解答問題，通過題組一的求解學(xué)生基本能夠?qū)崿F(xiàn)回顧復(fù)習(xí)立體幾何的基本概念、基本知識，平面法向量的求解，歸納梳理求證線面平行、線線垂直、線面垂直、面面垂直的基本思想方法，求線線夾角、線面夾角、點面距離、面面夾角的思路與步驟等已學(xué)內(nèi)容.學(xué)生在完成課前任務(wù)單過程中沒有較大心理壓力，而且感到較為輕松、愉快.課堂上讓學(xué)生上臺展示，學(xué)生相互交流，教師點評，課堂氣氛活躍，取得很好的教學(xué)效果，達(dá)到預(yù)期的目的，為下一環(huán)節(jié)(題組二)的學(xué)習(xí)奠定了堅實的基礎(chǔ).

4.2 構(gòu)建不同的問題情境促進(jìn)學(xué)生自主構(gòu)建

題組二為問題4至問題6，提供了思維生長點，構(gòu)建了認(rèn)知結(jié)構(gòu)的固著點，設(shè)置了不同情境的問題來驅(qū)動學(xué)生加深對基本知識、基本思想方法的理解，著重培養(yǎng)學(xué)生在不同問題情境(幾何體)中快速尋找到(或作)三條共點并兩兩互相垂直的直線，然后建立空間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)點的坐標(biāo)和所需的向量，歸納常見幾何體的建系策略，厘清常見問題的求解思路，訓(xùn)練學(xué)生的規(guī)范表達(dá).經(jīng)歷了題組一的展示與交流之后，很多學(xué)生信心滿滿、胸有成竹，課堂氣氛活躍.此時筆者先讓學(xué)生分析題組二的建系思路，尋找最優(yōu)的建系方法(盡可能地使得更多點落在坐標(biāo)軸上或在軸面上)，并說出自己的想法，學(xué)生發(fā)言踴躍，然后將學(xué)生分組進(jìn)行動手解決問題，并派代表展示本組的學(xué)習(xí)成果.在整個過程中學(xué)生動作迅速，得到充分表達(dá)，師生和生生間充分交流，取得很好的教學(xué)效果.整個課堂以環(huán)環(huán)相扣的問題串來推進(jìn)復(fù)習(xí)，在求解問題過程中生生交流、師生交流中相互促進(jìn)，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生獨立思考，自主構(gòu)建，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4.3 構(gòu)建題組應(yīng)注重學(xué)生的思維能力的發(fā)展