妙用對數恒等式解題

廣東 龍 宇

對數恒等式是指：a=elna或a=lnea，通過該表達式可以溝通指數與對數的運算，在求解不等式的相關問題時，為構造函數提供了更多的可能性.例如，在證明aea≤blnb型問題時，可考慮如下證明方式：(1)以不等式的左邊為準，可得aea≤lnb·elnb，其本質即是對“b”利用對數恒等式進行變形，此時即可構造函數y=xex進行求解；(2)以不等式的右邊為準，可得ea·lnea≤b·lnb，其本質即是對“a”利用對數恒等式進行變形，此時即可構造函數y=xlnx進行求解.

一、判斷函數的奇偶性

【例1】判斷函數f(x)=log2(4x+16x)-3x的奇偶性.

分析：若直接利用定義進行判斷，對數運算的過程較為復雜，現考慮利用對數恒等式將表達式變形后再進行判斷.

解析：對“3x”部分利用對數恒等式可得3x=log223x，

【變式1】判斷函數f(x)=loga(a2x+a4x)-3x(a>0且a≠1)的奇偶性.

【變式2】判斷函數f(x)=loga(a-2x+a-4x)+3x(a>0且a≠1)的奇偶性.

解析：類比上式可得3x=logaa3x，則有f(x)=loga[(a-2x+a-4x)·a3x]=loga(ax+a-x)，從而可得函數f(x)為偶函數.

二、構造函數求最值

(一)試題及求解過程

【例2】已知函數f(x)=alnx+x+1.若不等式xef(x)≤ex對任意的x∈(1,+∞)恒成立，求a的取值范圍.

解析：利用對數恒等式可得x-eex=ex-elnx.

將上述函數應用經典不等式：ex≥x+1可得y=ex-elnx≥x-elnx+1.

綜上，a的取值范圍是(-∞,-e].

(二)試題拓展

解析：利用對數恒等式可得x-mex=ex-mlnx.

將上述函數應用經典不等式：ex≥x+1可得ex-mlnx≥x-mlnx+1.

特別地，當m∈(e,+∞)時，存在兩個點使得函數g(x)取到最小值.

拓展方向2：已知函數f(x)=ax-elnx+1.若不等式xef(x)≤ex對任意的x∈(0,+∞)恒成立，求a的取值范圍.

根據上述解題經驗可得x-eex=ex-elnx≥x-elnx+1.

綜上,a的取值范圍是(-∞,1].

三、構造函數判斷單調性

【例3】(2020·新高考Ⅰ卷(僅供山東使用)·21)已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)略;(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

分析：原函數具有兩個變量，分離的難度非常大，筆者嘗試利用對數恒等式將其轉化為相同的結構，再構造函數進行求解.

解析：利用對數恒等式可得aex-1=elna+x-1，則有函數f(x)=elna+x-1-lnx+lna.

條件f(x)≥1等價于elna+x-1+lna+x-1≥lnx+x.

對上述不等式右邊再次使用對數恒等式可得lnx+x=elnx+lnx.

觀察上述不等式構造函數F(x)=x+ex，顯然可得函數F(x)在(-∞,+∞)上單調遞增.

上述不等式等價于F(lna+x-1)≥F(lnx)，結合單調性可得原不等式等價于lna+x-1≥lnx.

此時即可實現參數分離：即有lna≥lnx-x+1.

所以a的取值范圍為[1,+∞).

【變式】已知函數f(x)=eax-lnx+(a-1)x，若f(x)≥0，求a的取值范圍.

解析：條件f(x)≥0等價于eax+ax≥lnx+x.對不等式左邊利用對數恒等式變形可得eax+lneax≥lnx+x.

觀察上述不等式構造函數F(x)=x+lnx，顯然可得函數F(x)在(-∞,+∞)上單調遞增.