重視課堂教學 提升思維能力
——以“兩角差的余弦公式”教學為例

山東 孫 浩

英國哲學家培根說：“數學是思維的‘體操’.”數學課堂上，學生的思維就應活躍，讓學生在習得數學知識的同時，養成正確的思維方式是數學教育的主要任務.結合具體數學知識進行思維訓練是培養學生數學思維最基本也是最重要的形式.數學教學是數學活動的教學，而數學活動的核心是數學思維活動.在數學活動中，學生學會觀察、實驗和比較，提升分析、綜合、抽象和概括能力，并能進行合理的推理，嘗試合乎邏輯地闡述自己的思想與觀點，逐漸形成良好的思維品質.

在平時教學中，大多數老師重視知識的應用，忽視知識產生、發展、形成的過程，即重視“應用”的訓練，重視做題，而忽視對學生嚴謹思維能力的培養.在指導年輕教師參加市級優質課評比活動時，與老師們一起研討《兩角差的余弦公式》這節課的設計與處理時，老師們說：在平時教學中，我們一般都是讓學生直接記住公式，然后就開始做題，根本就沒有考慮如何進行公式的推導，更談不上培養學生的思維能力.這是大多數老師平時教學的常態，在平時的課堂教學中，老師們認為只要學生能記住公式，會做題就行，公式是怎么得出來的不用管，學生也沒有必要知道，知道不知道沒多大差別，何必浪費學生寶貴的學習時間去講公式的推導過程呢.

獲取知識的能力比知識本身更重要.知識是客觀存在的，只要有能力就能學到.但能力是不能學習和傳承的，只能靠培養和領悟.現代教育最重要的不是知識本身，而是教會學生獲取知識或分辨知識的能力.

知識的產生、發展、形成和應用的過程，是有章可循的，絕不是憑空產生的，它一定有其根基、有其萌發點，這就需要我們去挖掘、去探究.在教學中，只要我們有意識地去引導學生發現知識的根基和萌發點，知識的生成就會順理成章、水到渠成.那么在課堂教學中我們應如何開啟“尋根找點”的夢幻之旅呢？下面以《兩角差的余弦公式》的公式推導為例，談談在課堂教學中如何培養學生的思維能力.

由于前面學生已經完成了對誘導公式的學習和掌握，當角α為非銳角時，我們可以借助誘導公式把角α的三角函數值轉化為其對應銳角的某一三角函數值，因此我們可以借助誘導公式來求cos(α-β)的值.基于此我們只需研究當角α，β為銳角，且α>β，兩角差的余弦公式的推導情況就可以了.

一、在探尋解決辦法中培養學生的思維能力

數學是思維的體操,問題是思維的靈魂.在課堂教學中要善于幫助學生打開大腦的“搜索引擎”，通過合理設計問題，開啟學生思維能力培養之旅.通過引入和分析，問題就呈現在學生眼前，如何借助銳角α和β的三角函數值來求cos(α-β)的值？目前我們沒有現成的辦法可以利用，只好去探索、去挖掘.

解決新問題的一般思路和辦法，是借助學生已有的知識和經驗基礎.為了培養學生“尋法”的能力，筆者設計了這么一個問題：回顧以前所學知識，在哪兒接觸過求一個角的余弦值呢？當時是如何求解的？引導學生從小學、初中到高中逐一回顧，尋求知識和經驗基礎.

(1)小學階段我們沒有接觸過三角函數值問題；

(3)高中在三角函數一章中學習過任意角的三角函數.設角α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x,y)，那么x叫做α的余弦，記作cosα，即cosα=x；

在課堂教學中通過引導學生回顧以前所學知識，逐步探索問題的解決思路，是培養學生思維能力的有效途徑.找到了知識根基，就要對知識進行對比分析，思考哪些可以用來解決問題，從而制定有效的解決辦法，進一步培養學生的數學思維能力.

二、在構造轉化中培養學生的思維能力

平面向量法推導兩角差的余弦公式是老師們在平時教學中主要施教的方法，但是這個方法推導容易,想到難.因此在教學中必須處理清楚這兩個問題：(1)如何才能想到利用向量法來推導公式呢？(2)角α和β如何與向量建立聯系？只有解決好這兩個問題，才能更好地提高學生的思維能力.

構造轉化能力是學生解決問題的必備能力之一.向量法的推導重在“尋法”，只要讓學生學會如何利用所學知識，借助已有經驗來解決新問題，就能切實培養學生的思維能力.

通過分析我們可以看出，無論在初中，還是在高中，研究一個角的余弦值常用的辦法是把要研究的角放在一個直角三角形中.辦法找到了，我們通過引導學生思考研究以下問題，在思考研究中、在知識辨析中、在構造轉化中培養學生熟練運用知識的能力，提升學生的思維能力.

(1)如何選取構造直角三角形的基本量；

(2)如何構造關于角α-β的直角三角形；

(3)探尋角α和β所在的直角三角形；

(4)如何與已知角α和β的三角函數值建立聯系；

(5)尋求不同直角三角形中角α和β的三角函數值之間的關系.

構造直角三角形的基本原則是有更多的共同點，盡量把更多的已知量和求得量構造在同一直角三角形里面.根據這個原則，我們來研究當角α和β的頂點和始邊重合時，兩角差的余弦公式是如何推導的.

1.構造角α和β所在平面直角坐標系

以角α和β的頂點為原點，始邊為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，角α和β的終邊與單位圓的交點分別為P和M.

2.構造角α-β所在直角三角形

思路一:如圖，過點P向OM作垂線，垂足為A，則角α-β處于Rt△OAP中，∠OAP=90°，所以cos(α-β)=OA.

思路二:如圖，過點M向OP作垂線，垂足為A，則角α-β處于Rt△OAM中，∠OAM=90°，所以cos(α-β)=OA.

3.構造轉化角α和β所在直角三角形

根據構造直角三角形的原則，要有更多的共同點，思路一構造的起點應該選取點P，思路二構造的起點應該選取點M.在課堂教學中，我們主要應該教給學生如何去思維，思維的源頭是如何發現的，而不是直接告訴學生如何去做，讓學生學會思維，提升能力.

(1)思路一的構造轉化，以點P和角α為基本量構造直角三角形.如圖，過點P向x軸作垂線垂足為B，與OM交于點C.在Rt△OBP中，∠POB=α，OB=cosα，BP=sinα.

(2)思路二的構造轉化，以點M和角β為基本量構造直角三角形.如圖，過點M向x軸作垂線垂足為B.在Rt△OBM中，∠MOB=β，OB=cosβ，BM=sinβ.

4.尋找構造另一角所在直角三角形

尋找構造要借助已經求得的量，不能另起爐灶、另辟蹊徑，要借力打力、搞接力賽、打擂臺賽，按照已有的量進行構造，思維之河才能順暢，培養思維能力才能有章可循.

(2)根據“構造轉化角α和β所在直角三角形”的思路二中已求得量有OB和BM，現在就要尋找角α與OB或BM所在的直角三角形.我們以OB和α為基本量構造直角三角形，過點B向OA作垂線垂足為C，在Rt△OBC中，因此可得OC=cosαcosβ，BC=sinαcosβ(如圖所示).

5.構造轉化推導量完成推導思路建構

由上面的分析可以看出cos(α-β)=OA，OA=OC+CA，經過上述構造轉化，我們利用角α和β的三角函數值可以表示OC，下面分析研究如何推導CA.

(2)在思路二中我們分析發現，CA沒有處于現成的直角三角形中，但可以推導出∠MBC=α，并且BM=sinβ，因此我們可以以∠MBC和BM為基本量構造直角三角形，過點M向BC作垂線垂足為D，在Rt△BDM中MD=AC，從而得出MD=sinαsinβ，所以OA=cosαcosβ+sinαsinβ，即cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

三、在嚴謹推證中培養學生的思維能力

數學是一門嚴謹的學科，它對思維能力的培養起著獨特的作用，經過一定的訓練，可以使人清晰、有條理地表達自己的思考過程，做到言之有理、落筆有據.在課堂教學中我們不但要讓學生能想清楚，而且要讓學生能寫明白.

在學生明晰了問題的解決思路和辦法后，嚴謹的推證是培養思維能力不可或缺的重要一環.因此在教學中必須要大膽放手讓學生去思考、去解決，在解決過程中優化思維，這是嚴密思維能力訓練的必由之路.為了加深學生對推導思路再理解、再研究，使思維能力訓練再上一個層次，我們有必要讓學生把推導過程系統完整地整理出來.

推導過程的條理有序是培養學生嚴謹思維能力的必由之路，在教學中不可省略，也不可由老師用課件展示代替，要留出足夠的時間讓學生去寫，在書寫中感悟，在不斷思考中內化.(1)向量法推導，(2)利用直角三角形推導的思路一和思路二，這三種推導過程要讓學生全部推導一遍，不要只讓學生選擇其一，每一種推導方法都有對學生思維能力培養的獨到作用，是不可替代的.系統整理推導過程是思維能力的深化過程，是培養嚴謹思維能力的有效途徑.