由課本“題源”到章末“微專題”的教學感悟
——由遞推數列求通項公式引發的思考

四川 陳澤剛 杜海洋

實行新課改以來,一線教師為改變以往的低效教學，不斷嘗試新的教學方法.近幾年,微專題教學盛行,普遍做法是將學習中的重點、難點進行同類堆積，所選例題大都來源于一些輔導資料書或網站上選題，進而集中講解,以期提升這類試題的得分率.殊不知，這樣只會讓學生產生嚴重的挫敗感，尤其是新授課章末微專題，這類試題往往脫離學生的“最近發展區”,學生對這類試題的參與積極性也不高,從而造成很多試題一帶而過，學生理解問題似是而非,效果大打折扣.微專題的“題”的質量直接影響教學效果，因此,對于微專題選擇的“題”應慎重，要結合學生的實際情況，逐步提升.

1.問題診斷，確定主題

微專題教學依然離不開解題，談到解題歷來是課堂教學的重點、核心.教師常常把注意力集中在“題型”及其技巧上，而且往往把技巧直接告訴學生,然后讓學生再通過模仿訓練記住技巧，而對技巧的來龍去脈則語焉不詳,實際上，技巧往往是“可以意會不可言傳”的，就像專業運動技巧、魔術表演技巧等一樣,需要經過長時間的、枯燥的千百次重復.例如筆者發現遞推數列通項公式的題型總結，因為二十世紀八九十年代，由于高考常常出以遞推數列為背景的壓軸題，所以對遞推數列的題型總結也成了重點關注考向，但因為控制難度、糾偏等,遞推數列在高考中又漸漸銷聲匿跡了，所以教學中也鮮少講解.但近幾年這個問題又熱鬧起來,于是遞推數列的題型及其解題技巧又再次成為關注熱點.在遞推數列的代數變換中,由于涉及“巧法”較多,而這些確實是學習的難點,因此教師在技巧上大做文章,并總結以下典型題型：

(1)構造法/待定系數法

具體分為四大類：常數型、一次多項式型、二次多項式型、指數型.

例如常數型：形如an+1=pan+q(p,q為常數且pq≠0,p≠1)，構造等比數列{an+k}.

(2)取倒數法

(3)特征方程

形如an+2=pan+1+qan(p,q為常數,q≠0)的數列型.

教學上發現大部分是題型套題型，題型何其多，數列問題也逐漸成為題型的雜亂無章的堆砌.講授時教師只是把這些題型及方法技巧強加給學生，沒有對解法的來源有任何交代，使學生不能理解，只能依葫蘆畫瓢，結果是在以后遇到稍有變化的情境中，因為沒有數學思想方法的支撐，“特技”失靈，“動作”變形，靈活運用數學知識解決問題的能力成為“泡影”.在高考中出現“講過練過的不一定會，沒講沒練的一定不會”的局面.

2.課本“題根”，建構模式

美國著名教育心理學家加涅曾經指出，“教學的目的是幫助人們學習.”微專題的主題確定后,接下來就是進入起始問題的設計環節.起始問題的作用是在喚醒學生在已有認知的基礎上建立起與目標問題聯系的橋梁,從而為后續的學習做好必要的思維鋪墊.因此，起始問題的設計應該回歸教材，回歸到思維的起點，其中支撐專題的“題”是核心.本專題可以這樣設計：利用學生最近發展區，筆者發現以上題型大多都在課本找到其“母題”，筆者將課本2007年人教A版新課標教材必修《數學5》出現的相關類型“母題”進行歸納組合，為了便于說明，下面標注為引例，列舉如下：

【引例1】(課本30頁遞推數列定義)如果一個數列{an}的首項a1=1，從第2項起每一項等于它的前一項的2倍再加1,即an=2an-1+1(n>1)，…,其中an=2an-1+1(n>1)稱為遞推公式.

【引例3】(課本33頁習題2.1A組第4題)寫出下面數列{an}前5項;

答案：略

【引例4】(課本34頁習題2.1B組第3題)已知數列{an}的第1項是1，第2項是2，以后各項由an=an-1+an-2(n>2)給出.

(1)寫出這個數列的前5項；

答案：略

如果教師以課本題型作為素材，這樣能夠利用學生最近發展區，并且教材在例習題的設置上精挑細選，特別是例習題的選擇順序上，有很好的示范性和導向性，尤其對思維的螺旋式上升培養極佳，下面筆者僅以課本遞推數列定義，即引例1所舉例進行變式逐步探究，以饗讀者.

3.變式探究，內化提升

變式1:已知數列{an}中，a1=1，an=2an-1+1(n>1且n∈N*)，求an.

教學過程設計:

這是一個遞推數列問題.一般地，抽象問題具體化，一般問題特殊化是數學中采用的基本策略.因此，先考查幾個特殊的具體問題，以便從中找到思路.

設計意圖:本例題源于課本引例1的改編，體現了用課本素材及方法研究通項公式的基本方法.本題是解決后面變式題的關鍵,分析一下這個遞推公式，如果沒有“1”那么這個通項公式就簡單了.但式子結構an-1的系數為2，我們容易觀察出其結構特點，并可以采用“湊”的辦法即兩邊同加1，將數列化歸為等比數列，即an+1=2(an-1+1)，則數列{an+1}是以a1+1=2為首項，2為公比的等比數列，即an+1=2·2n-1=2n，即an=2n-1.

變式2：已知數列{an}中，a1=1，an+1=2an+3，求an.

答案：an=2n+1-3

設計意圖：主要是為了鞏固變式1中獲得的方法，由變式1可知，等式兩邊同加3，轉化化歸為等比數列.

變式3：已知數列{an}中，a1=1，an+1=2an+t(t為常數),求an.

設計意圖：在變式1,2的交流探討中，學生感悟這個問題的構造技巧方法，這里t是將問題一般化，通過變形,等式兩邊同加t，即an+1+t=2(an+t)，對引出“待定系數法”很有啟發.

變式4:已知數列{an}中，a1=1，an+1=3an+1，求an.

設計意圖:在前面幾個問題的鋪墊下，這一問題的解決已經水到渠成.通過從特殊到一般地引導學生發現這類問題的結構特征，讓學生通過獨立思考而得到這類題型的一般解法，即問題的本質為結構轉化.

設計意圖:對前面待定系數法進行鞏固，為后面取“倒數”型作鋪墊.

設計意圖:本質與變式5一樣，繼續為取“倒數”型作鋪墊，層層遞進，給學生“搭臺”，即所謂“跳一跳，摘得到”.

設計意圖：對比變式6，將變式7兩邊取倒數轉化為變式5的類型，通過以上幾組簡單變式，使學生感覺方法的“合情推理”結果，即在建立學生已有的知識和方法的基礎之上，自然生成.

4.遷移運用，拓展思維

為了實現在微專題教學中“做一題，通一類；得一法，通一遍”的學習效果，還需要老師提供類型更豐富的題型，以便學生能夠把所學到的方法遷移到其他問題中，在體會方法的普遍性，使學生的思維得到進一步的拓展.

由以上推導可知，數列結構特征是變式的核心，有了以上思維策略，下面我們來探究引例5.

【引列5】已知數列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2(n≥3)對于這個數列的遞推公式作一研究，能否寫出它的通項公式？

5.教學建議

數學微專題是通過題來發現學生存在的問題，通過題搭建思維的“橋梁”，通過題來獲得新的思想方法，一連串的相互關聯的題就形成了一張“良方”，專門治療思維的“疑難雜癥”，建構良好的認知結構，促進學生深度學習.因此,選題要具備主題性與針對性，凸顯認知策略，以“易于學生理解”的方式呈現出來，使學生的學習成為一種“再發現、再創造”的過程，這是數學微專題設計的核心所在.

在教學中，利用學生最近發展區，從課本例習題出發，進行變式教學，無論從方法還是內容上都起著“固體拓新”之用，可收到“秀枝一株，嫁接成林”之效，同時可培養學生提出問題和解決問題的能力，并使學生的探究能力和創新能力得到發展.