二次函數兩根式的應用及拓展

【摘要】二次函數的解析式有三種形式，解題時應合理應用兩根式.

【關鍵詞】解析式;求值

例1已知函數f（x）=ax2+bx+c滿足f（1）=f（-6）=0，且圖象經過點（-3，1），求a，b，c的值.

解f（1）=f（-6）=0.

可設函數f（x）=a（x-1）（x+6），

因為圖象經過點（-3，1），

所以1=a×（-4）×3，

故a=-112，b=-512，c=12.

變式函數f（x）=ax2+bx+c滿足f（1）=f（-6）=5，且圖象經過點（-3，1），求a，b，c的值.

解f（1）=f（-6）=5.

令函數g（x）=f（x）-5，則

g（1）=g（-6）=0，

因此可設g（x）=a（x-1）（x+6），

即f（x）=a（x-1）（x+6）+5，

又因為f（x）的圖象經過點（-3，1），

所以a=13，b=53，c=3.

結論1若多項式函數f（x）滿足f（x1）=f（x2）=…=f（xn）=m，可設f（x）=a（x-x1）（x-x2）…（x-xn）+m的形式.

例2已知函數f（x）=ax3+bx2+cx+d，f（1）=f（2）=1，f（3）=f（4）=2，則f（5）=.

解f（1）=f（2）=1.

設f（x）=a（x-1）（x-2）（x-m）+1，

因為f（3）=f（4）=2，

所以a=-13，m=92，

從而f（x）=-13（x-1）（x-2）x-92+1，

所以f（5）=-1.

例3已知函數f（x）=x3+ax2+bx+c，0lt;f（-1）=f（-2）=f（-3）≤3，則（）

（A）c≤3.（B）3lt;c≤6.

（C）6lt;c≤9.（D）cgt;9.

解由f（x）=x3+ax2+bx+c，

0lt;f（-1）=f（-2）=f（-3）≤3.

可設f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）+m，

其中0lt;m≤3，

所以c=m+6，

即6lt;c≤9，

故選（C）.

例4已知函數f（x）=x3+ax2+bx+c，f（2018）=2019，f（2019）=2020，f（2020）=2021，則f（2021）=.

解因為f（2018）=2019，

f（2019）=2020，f（2020）=2021，

所以f（2018）=2018+1，

f（2019）=2019+1，f（2020）=2020+1.

令g（x）=f（x）-x，

所以g（2018）=g（2019）=g（2020）=1.

設三次函數

g（x）=（x-2018）（x-2019）（x-2020）+1，

所以f（x）

=x+（x-2018）（x-2019）（x-2020）+1，

故f（2021）=2021+3×2×1+1=2028.

例5已知函數f（x）=x2+ax+b，且f（m）=n-m，f（n）=m-n，mlt;n，則當x∈（m，n）時，有（）

（A）f（x）+xlt;n.（B）f（x）+xgt;m.

（C）f（x）-xlt;0.（D）f（x）-xgt;0.

解由f（m）=n-m，f（n）=m-n，

得f（m）+2m=m+n，

f（n）+2n=m+n，

令g（x）=f（x）+2x，

所以g（m）=g（n）=m+n，

g（x）=（x-m）（x-n）+m+n，

所以f（x）=（x-m）（x-n）+m+n-2x，

當x∈（m，n），

f（x）+x=（x-m）（x-n）+m+n-x

lt;m+n-xlt;n，

而f（x）-x=（x-m）（x-n）+m+n-3x

lt;m+n-3x，

所以（B）（C）（D）不確定，選（A）.

注上述例4、5兩題的多項式函數f（x）雖不具備上面結論1中的條件，但通過式子等價變形，構造新函數g（x）就具備上面結論1中的條件.

例6已知函數f（x）=ax2+bx+c，a∈N，c≥4，4a+2b+c≥4，方程f（x）=0在區間（0，2）上有兩個不等的實根，求a的最小值.

解設f（x）=a（x-x1）（x-x2），

因為c=f（0）=ax1x2≥4，

4a+2b+c=f（2）=a（2-x1）（2-x2）≥4，

所以（ax1x2）[a（2-x1）（2-x2）]≥16，

由均值不等式得

（ax1x2）[a（2-x1）（2-x2）]lt;a2，

所以a2gt;16，

又因為a∈N，

所以a的最小值是5.