與切線相關(guān)最值問(wèn)題的求解思路

【摘 要】 切線問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)部分的重要知識(shí)點(diǎn).其中與切線相關(guān)的最值問(wèn)題在高考中多有考查，難度或難或易.為使學(xué)生掌握與切線相關(guān)最值問(wèn)題的求解思路，應(yīng)做好教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)以及典型例題的匯總，在課堂上與學(xué)生一起剖析相關(guān)的解題思路，使學(xué)生掌握解題的有效突破口.

【關(guān)鍵詞】 高中數(shù)學(xué);最值問(wèn)題;求解思路

高中數(shù)學(xué)習(xí)題情境靈活多變，解題時(shí)應(yīng)能夠透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，將已知條件轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的函數(shù)，從切線的角度尋找解題的蛛絲馬跡，尤其要求學(xué)生養(yǎng)成良好的聽(tīng)課習(xí)慣，做好聽(tīng)課的總結(jié)，及時(shí)開(kāi)展針對(duì)性的訓(xùn)練活動(dòng)，將所學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為自身能力，實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)解題能力的進(jìn)一步提升.

例1 已知實(shí)數(shù)a，b，c，d，滿足 = =1，則（a-c）2+（b-d）2的最小值為（）

（A） e2+1 ." " " " " " "（B） 2ln2+1." " " " "（C）" ." " " " "（D）" .

解 因?yàn)?=1，則點(diǎn)A（a，b）在函數(shù)f（x）=lnx上; =1，點(diǎn)B（c，d）在直線y=2x+1上，所以（a-c）2+（b-d）2=|AB|2

則過(guò)點(diǎn)A的切線和直線y=2x+1平行時(shí)|AB|2的值最小.則 （x）= =2，解得x= ，所以A（ ，-ln2），則點(diǎn)A到直線y=2x+1的距離d= = ，所以 ，選擇D項(xiàng).

解題點(diǎn)評(píng) 乍一看該題無(wú)從下手.但只要認(rèn)真分析給出的等式關(guān)系，通過(guò)巧妙轉(zhuǎn)化構(gòu)造兩個(gè)新的函數(shù)，借助函數(shù)切線將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解兩條平行直線之間的距離問(wèn)題，問(wèn)題便迎刃而解.

例2 已知y=kx+b是函數(shù)f（x）=lnx+x的切線，則2k+b的最小值為（）

（A） 2." " " " " "（B） .ln2." " " " " " " " " （C） 2+ln2." " " " " " " "（D）1+ln2.

解 因?yàn)閥=kx+b是函數(shù)f（x）=lnx+x的切線，設(shè)切點(diǎn)為（m，lnm+m）（m>0），因?yàn)?（x）=1+ ，則 （m）=1+

所以過(guò)切點(diǎn)的直線方程為y-（lnm+m）=（1+ ）（x-m），整理得到：y=（1+ ）x+lnm-1，所以k=1+ ，b=lnm-1，則2k+b=2+ +lnm-1=lnm+ +1.

令g（m）=lnm+ +1，則 （m）= - = ，令 （m）=0得m=2，則當(dāng)02時(shí)， （m）>0，g（m）單調(diào)遞增;則g（m）min=g（2）=2+ln2，所以2k+b的最小值為2+ln2，選擇C項(xiàng).

解題點(diǎn)評(píng) 該習(xí)題難度不大，根據(jù)題干描述設(shè)出直線與函數(shù)的切點(diǎn)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)寫出過(guò)切點(diǎn)的直線方程，通過(guò)對(duì)比兩條直線方程構(gòu)造相關(guān)參數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系.結(jié)合要求解的問(wèn)題，構(gòu)造新的函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)研究新函數(shù)的最值即可.

例3 若曲線f（x）= 在點(diǎn)P（x1，f（x1））處的切線在y軸上的截距為b，則當(dāng)x （1，+∞）時(shí)，b的最小值為（）

（A）e." " " " " （B） ." " " " " " " （C） ." " " " " " " "（D） .

解" 因?yàn)閒（x）= ，所以 （x）= = ，所以k= ，則過(guò)點(diǎn)P的切線方程為：y- = （x-x1），令x=0，則b= ·（-x1）+ = .

令g（x1）= ，則 （x1）= = ，令 （x1）=0，解得x1=e2，所以當(dāng)1e2時(shí)， （x1）>0，g（x1）單調(diào)遞增，所以當(dāng)x1=e2時(shí)，b取得最小值 ，選擇D項(xiàng).

解題點(diǎn)評(píng) 該題難度不大，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求出過(guò)曲線上已知點(diǎn)切線的斜率，求出對(duì)應(yīng)的切線，而后令x=0時(shí)y的值就是b的值.因整理后y的表達(dá)式不屬于基本函數(shù)，因此需要運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，找到其取得最小值時(shí)x1的值，代入到b的表達(dá)式中即可.

例4 若存在實(shí)數(shù)a，b使不等式2elnx≤ax+b≤ x2+e對(duì)一切正數(shù)x都成立（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則a的最大值為（）

（A） ." " " " " （B）2e." " " " " " "（C）2 ." " " " " " （D） 2.

解 題干中不等式成立的臨界條件為y=ax+b剛好為f（x）=2elnx，g（x）= x2+e的公切線.設(shè)在f（x）=2elnx上的切點(diǎn)為（x1，y1）（x1>0），則 （x）= ，所以 =a;在g（x）= x2+e上的切點(diǎn)為（x2，y2）（x2>0）， （x）=x，所以x2=a，所以 =x2，x1x2=2e.

因?yàn)?=a=x2，所以2lnx1+ -3=0，令h（x1）=2lnx1+ -3（x1>0），則 （x1）= - = ，則當(dāng) （x1）=0時(shí)，x1= .當(dāng)0 時(shí)， （x1）>0，h（x1）單調(diào)遞增;因?yàn)閔（ ）=1+2-3=0，當(dāng)x1→+∞時(shí)，h（x1）>0，所以方程的另一個(gè)零點(diǎn)一定大于 ，因此，方程的最小零點(diǎn)為 ，所以amax=2e/ =2 ，選擇C項(xiàng).

解題點(diǎn)評(píng) 該題難度較大，一般是選擇題或填空題的壓軸題.解答該題不僅需要對(duì)給出的不等式進(jìn)行合理的抽象尋找到不等式成立的臨界條件，將其中一條直線看成是其他兩個(gè)函數(shù)的切線，而且需要進(jìn)行大量的運(yùn)算，求解出相關(guān)參數(shù)之間的等量關(guān)系，最終通過(guò)構(gòu)造新的方程，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究方程零點(diǎn)與a的值之間的關(guān)系.

綜上所述，能夠運(yùn)用切線求解最值問(wèn)題的情境較多[1].為提高學(xué)習(xí)者運(yùn)用切線解題的意識(shí)，使其能夠針對(duì)不同的習(xí)題，采取不同的解題思路，進(jìn)一步增強(qiáng)其解題能力，現(xiàn)對(duì)相關(guān)的適用情境進(jìn)行總結(jié)：

情境1" 題干中給出的等式中相關(guān)參數(shù)數(shù)目成對(duì)出現(xiàn)時(shí)，常將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題.將參數(shù)看成函數(shù)圖象上的點(diǎn)，借助導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)圖象特點(diǎn)，而后從平面幾何視角進(jìn)行分析[2].如例1就是這種情況.

情境2" 導(dǎo)數(shù)與切線有著密切聯(lián)系.部分習(xí)題會(huì)直接給出切線，要求學(xué)習(xí)者求解相關(guān)問(wèn)題[3].解答該類問(wèn)題應(yīng)在充分理解題意的基礎(chǔ)上，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化求函數(shù)最值問(wèn)題.針對(duì)基本函數(shù)可直接運(yùn)用性質(zhì)求解，針對(duì)特殊函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行分析，如例2.

情境3" 題干中給出的是特殊函數(shù)，求特殊函數(shù)切線相關(guān)參數(shù)的最值.解答該類問(wèn)題需要通過(guò)求導(dǎo)表示出切線，而后在轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題求解，如例題3.

情境4" 題干中涉及單個(gè)或多個(gè)不等式時(shí)通過(guò)對(duì)不等式合理的拆分構(gòu)建不同的函數(shù)，而后通過(guò)分析找到函數(shù)之間的特殊關(guān)系，通過(guò)構(gòu)造新的函數(shù)求出最終結(jié)果，如例4.

總之，針對(duì)不同的問(wèn)題情境采用切線問(wèn)題進(jìn)行求解時(shí)，應(yīng)具備靈活思維，將問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，化陌生為熟悉，才能盡快地加以突破.

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