一道高考題的思考與解法展示

【摘要】本文介紹一道2012年江西卷高考題的解法與思考.

【關鍵詞】一題多解;三角函數

1題目展示

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知A=π4，bsinπ4+C-csinπ4+B=a.

（1）求證：B-C=π2;

（2）若a=2，求△ABC的面積.（2012年江西卷）

分析若把bsinπ4+C-csinπ4+B=a中的π4換成A，即在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足bsinB-csinC=a，能否證明B-C=π2.結論是成立的，解法如下.

2解法展示

因為對于一個角邊混合式的處理，一般思路是統一成角或邊來處理.

（1）統一成角

由bsinB-csinC=a，

結合正弦定理得

sin2B-sin2C=sinA.

解法1sinBsin（A+C）-

sinCsin（A+B）=sinA，

展開得sinB（sinAcosC+cosAsinC）-

sinC（sinAcosB+cosAsinB）=sinA，

整理得sinBsinAcosC-sinCsinAcosB=sinA，

又B-C∈（-π，π），

所以B-C=π2，

故sin（B-C）=1.

解法2由sin2B-sin2C=sinA

=sin（B+C）=sinBcosC+sinCcosB，

得2sin2B-2sin2C

=sin2B+cos2C-cos2B-sin2C

=2sinBcosC+2sinCcosB，

即（sinB-cosC）2=（sinC+cosB）2，

從而sinB-cosC=sinC+cosB，①

或sinB-cosC=-sinC-cosB，②

對于①，整理得

sinB-cosB=sinC+cosC，

即sinB-π4=sinC+π4，

從而得B-π4=C+π4+2kπ，

或B-π4=C+π4+π+2kπ（舍去），

即B-C=π2.

對于②同樣處理也可得B-C=π2.

證畢.

注為什么處理①式與②式結果會一樣呢？這正好從另外一個角度說明式子左右兩邊均為0，即B-C=π2.

解法3和差化積

因式分解得

（sinB-sinC）（sinB+sinC）=sinA，

由和差化積公式得

2sinB-C2·cosB+C2·2sinB+C2·cosB-C2

=sinA，

由二倍角公式得

sin（B-C）sin（B+C）=sinA，

即sin（B-C）=1.

證畢

注和差化積讓公式整個解題過程變得“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”.

（2）統一成邊

由bsinB-csinC=a，結合正弦定理得b2-c2=2Ra（其中R為△ABC外接圓的半徑）.

解法4兩邊同時加上a2得

a2+b2-c2=2Ra+a2，

結合余弦定理有

2abcosC=a2-2Ra，

即2bcosC=a+2R，

得2sinBcosC=sinA+1，

再由sinA=sin（B+C）可得

sin（B-C）=1.

證畢

注對著式子結構，能加必然能減，故有解法5.同時對于余弦定理，由于其本身是邊的齊次式，故也可以有角的余弦定理sin2A+sin2B-sin2C=2sinAsinBcosC，如此一來便也可在式子sin2B-sin2C=sinA的基礎上兩邊同時加上或減去sin2A.

解法5兩邊同時減去a2，同理可得

2sinCcosB=sinA-1，

下同解法4.

解法6從所證分析

sin（B-C）=sinBcosC-cosBsinC

=b2R·a2+b2-c22ab-c2R·a2+c2-b22ac

=b2-c22aR=1.

（3）突發其想

解法7由bsinB-csinC=a，

兩邊平方得

a2=b2sin2B-2bcsinBsinC+c2sin2C，

即a2=b2-b2cos2B-

2bcsinBsinC+c2-c2cos2C，

所以b2+c2-a2

=b2cos2B+2bcsinBsinC+c2cos2C，

又b2+c2-a2=2bccosA，

2bcsinBsinC-2bccosA

=2bc[sinBsinC+cos（B+C）]

=2bccosBcosC，

從而得（bcosB+ccosC）2=0，

即bcosB+ccosC=0，

又bgt;c知角B為鈍角，

從而有sin2B=-sin2C=sin（-2C），

所以2B-2C=π，B-C=π2.

證畢.

（4）圖形解析

如圖，當B-C=π2時，作AD⊥CB于點D，則

∠BAD=∠C，

從而bsinB的幾何意義為線段CD長，

而csinC的幾何意義為線段BD長，

故CD-BD=BC，

即bsinB-csinC=a.

即當B-C=π2時，有bsinB-csinC=a成立;那么它的逆定理是否成立，從而有了些題此問.不知道這是不是命題者命制此題的靈感來源.

3試題改編

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bsinB-csinC=a.

（1）求證：B-C=π2;

（2）若A=π4，a=2，求△ABC的面積.

原題中，把不要的A處理掉，把要的B，C留下來（自然會想到把sinπ4+B與sinπ4+C拆開）便能得到要的答案.改編成上題，難度會比原題大，因為式子sin2B-sin2C=sinA與式子b2-c2=2Ra的處理都考查了變形能力，如此可見命題人的良苦用心.