活用概念、公式，優化解題思路

【摘要】數學概念是數學的“根”，對數學學習來說極其重要，脫離數學概念的數學學習是沒有“靈魂”的，更是無效的.對數學概念的把握程度深刻影響著解題過程，是解題能力提高的前提條件.解題過程中，若能根據問題的背景、所求代數式的結構特征等出發，類比數學概念的抽象過程、公式的推導背景等，定能優化解題思路，簡化解題過程，提高解題效率.

【關鍵詞】類比;活用;優化

1類比公式結構，構建解題思路

例1已知實數x，y滿足（x-2）2+y2=1，則x+yx2+y2的值域為.

這是筆者所在學校的一次月考測試題，該題以圓為背景的二元分式函數求值域問題，試題結構雖簡單、明了，但是內涵豐富，筆者在課堂評講該題前，給學生布置任務，要求學生對該題嘗試一題多解，圖1

課上學生積極發言，從六個不同角度給出了六種解法.

解法1如圖1，圓C：（x-2）2+y2=1恒在直線x+y=0上方，

得x+ygt;0，

則x+yx2+y2=（x+y）2x2+y2

=1+yx21+yx2=1+2yx1+yx2.

設yx=k，直線3x-y=0和3x+y=0均與圓C相切，

結合圖形得-33≤k≤33，

問題轉化為求函數y=1+2k1+k2的值域.

設函數f（k）=k1+k2，

求導得f′（k）=1-k2（1+k2）2，

由-33≤k≤33，得

f′（k）gt;0，

所以f（k）在-33，33上單調遞增，

即f（k）∈-34，34，

故1+2k1+k2∈3-12，3+12，

即所求值域為3-12，3+12.

解法2設P（x，y）為圓C：（x-2）2+y2=1上一點，則

|OP|=x2+y2.

如圖2，過點P向直線x+y=0引垂線，垂足為Q，

則|PQ|=x+y2，

x+yx2+y2

=2|PQ||OP|

=2sin∠POQ，

直線3x-y=0和3x+y=0分別與圓C相切于P1，P2兩點，且

∠P1OC=∠P2OC=30°，

則∠POQ∈[15°，75°]，

sin∠POQ∈6-24，6+24，

故x+yx2+y2的值域為3-12，3+12.

解法3設P（x0，y0）為圓C：（x-2）2+y2=1上一點，

則x0+y0x20+y20可以視作點A（1，-1）到直線OP：y0x-x0y=0的距離.

如圖3，直線3x-y=0和3x+y=0均與圓C相切，

又點A到兩切線的距離分別為

d1=3-12，d2=3+12，

結合圖形知3-12≤x0+y0x20+y20≤3+12，

故所求值域為3-12，3+12.

解法4設M（1，1），P（x，y）為圓C：（x-2）2+y2=1上一點，

則OM·OP=x+y，

|OM|=2，

|OP|=x2+y2，

所以x+yx2+y2

=2OM·OP|OM||OP|

=2cos∠MOP.

如圖4，直線3x-y=0和3x+y=0分別與圓C相切于P1，P2兩點，

且∠P1OC=∠P2OC=30°，

則∠MOP∈[15°，75°]，

cos∠MOP∈6-24，6+24，

故x+yx2+y2的值域為3-12，3+12.

解法5如圖5，設P（x，y）為圓C：（x-2）2+y2=1上一點，且∠POC=θ，

則θ∈[-30°，30°]，

根據三角函數的定義，有

cosθ=xx2+y2，sinθ=yx2+y2，

則x+yx2+y2=cosθ+sinθ

=2sin（θ+45°）∈ 3-12，3+12，

故所求值域為 3-12，3+12.

解法6如圖5，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.

設P（ρ，θ）為圓C上一點，

則θ∈[-30°，30°]，

所以x+yx2+y2

=ρcosθ+ρsinθρ

=cosθ+sinθ，

下同解法5.

綜合以上6種解法，解法1抓住的是分式齊次的特征，解法2和3是類比距離公式構建解題思路，解法4從向量夾角余弦公式的角度構建解題思路，解法5結合三角函數定義分析函數式構建解題思路，解法6另辟蹊徑考慮極坐標換元法.

2深刻理解概念，優化解題思路

例2在平面直角坐標系xOy中，已知點F1（-17，0），F2（17，0），點M滿足|MF1|-|MF2|=2，記M的軌跡為C.

（1）求C的方程;

（2）設點T在直線x=12上，過T的兩條直線分別交C于A，B兩點和P，Q兩點，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

解法1設T12，m，

A（x1，y1），B（x2，y2），

直線AB與直線PQ的斜率分別為

k1，k2（k1≠k2），

則直線AB的方程為y-m=k1x-12，

代入x2-y216=1，整理得

（64-4k21）x2+（4k21-8k1m）x-

（k1-2m）2-64=0，

則x1+x2=2k1m-k2116-k21，

x1x2=-（k1-2m）2-6464-4k21，

于是|TA|·|TB|

=1+k21x1-12·1+k21x2-12

=（1+k21）x1x2-12（x1+x2）+14

=（1+k21）·

-（k1-2m）2-6464-4k21-12·2k1m-k2116-k21+14

=（m2+12）（k21+1）k21-16，

同理|TP|·|TQ|=（m2+12）（k22+1）k22-16.

由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，

得（m2+12）（k21+1）k21-16=（m2+12）（k22+1）k22-16，

化簡得k21=k22，則k1+k2=0，

故直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

解法2設T12，m，直線AB與直線PQ的傾斜角分別為α，β（0lt;αlt;βlt;π），

則直線AB的參數方程為

x=12+tcosα，y=m+tsinα（t為參數），

代入x2-y216=1，整理得

（15cos2α+1）t2+（16cosα-2msinα）t-

（m2+12）=0，

設A，B兩點對應的參數分別為t1，t2，

則|TA|·|TB|=|t1|·|t2|=m2+1215cos2α+1，

同理|TP|·|TQ|=m2+1215cos2β+1.

由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，

得m2+1215cos2α+1=m2+1215cos2β+1，

化簡得cos2α=cos2β，

則α+β=π，

所以kAB+kPQ=tanα+tanβ=0，

故直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

解法3設T12，m，直線AB與直線PQ的斜率分別為k1，k2（k1≠k2），

則直線AB與直線PQ的方程分別為

y-m=k1x-12，y-m=k2x-12，

即A，B，P，Q四點滿足方程

k1x-y+m-12k1·

k2x-y+m-12k2=0，

又A，B，P，Q四點在曲線C上，

所以A，B，P，Q四點滿足方程

k1x-y+m-12k1·k2x-y+m-12k2+

λx2-y216-1=0（*）

又|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，

由圓的相交弦定理的逆定理知

A，B，P，Q四點共圓，

由圓的一般式知方程式（*）中xy項系數為0，且x2項與y2項的系數相等，

即-（k1+k2）=0，

且k1k2+λ=1-λ16，

所以k1+k2=0，

故直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

活用概念、公式，構建、優化解題思路，關鍵在于深刻理解概念、公式.解題時，從概念的抽象過程、公式的生成背景中得到啟發，多角度思考問題，在不同解法的對比中優化解題思路.《中國高考評價體系》中指出：“高考圍繞學科主干知識，加強對基本概念、基本思想方法的考查，引導教學重視教材，夯實學生學習基礎，給學生提供深度學習和思考的空間”.在教學過程中，教師要注重基本概念、公式的教學，從數學知識的發生、發展過程和理解數學知識的心理過程為基本線索設計教學，這樣學生才能深刻理解數學基本概念、公式，掌握其背后蘊含的數學思想方法，實際解題中才懂得類比、聯想、遷移，構建、優化解題思路.