深度學習

【摘 要】近年來，無論是社會研究實踐、信息技術應用，還是課堂教育和教學，越來越多的人追求深度學習.深度學習也成為高頻出現(xiàn)的一個詞語.本文以普通高中課程標準實驗教科書數(shù)選修2-1中的第二章第2節(jié)“橢圓的標準方程”為例，探究如何設計和優(yōu)化一節(jié)深度學習的課堂.

【關鍵詞】深度學習;數(shù)學核心素養(yǎng);橢圓;標準方程

深度學習是指在我們教師的引領下，學生圍繞一些具有挑戰(zhàn)性的學習主題或任務，積極參與、體驗成功、獲取發(fā)展的學習過程. 深度學習，首先應該深在對學情的準確把握和教學內(nèi)容的深刻理解上，這就要求我們能有一個較好的深度和廣度的教學設計.下面筆者以《橢圓的標準方程》教學設計為例探索這個問題.

1" 創(chuàng)設情境，引入課題

問題引入 北京時間2021年10月16日0時23分，翟志剛、王亞平、葉光富3名航天員在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心乘坐神舟十三號載人飛船飛向太空，開啟了為期6個月的在軌駐留.“神州十三號”的發(fā)射讓我們再次體會到了航天事業(yè)的博大精深和航天人的奮斗情懷.

教師利用多媒體技術，PPT展示衛(wèi)星運行軌道的圖片，同時播放生活當中有關橢圓形狀的一些圖片：學校的操場、公園里的花壇，一些著名的建筑物……

設計意圖" 教師應不斷學習，了解數(shù)學知識之間、數(shù)學與生活的聯(lián)系，創(chuàng)設出符合學生認知規(guī)律的教學情境.一方面可以讓學生體會到數(shù)學與生活的聯(lián)系，另一方面也可以實現(xiàn)數(shù)學的育人價值，培養(yǎng)學生深厚的愛國情懷.

2" 復習舊知，提出新問

（1）復習已學知識：初中里我們學習了圓，上一節(jié)課我們學習了曲線與方程.那么曲線和方程這兩者的關系是什么？如何求曲線的方程？

（2）引出本節(jié)課問題：生活中橢圓的存在非常普遍，接下來請大家觀察實驗——橢圓的形成過程，并思考橢圓的定義是什么？

設計意圖 通過對曲線與方程、圓的方程復習回顧，喚醒學生已有知識體系，讓學生對學習產(chǎn)生熱情和求知欲望，同時把教材內(nèi)容和學生已有經(jīng)驗知識建立聯(lián)系，為深度學習奠基.

3" 合作討論，得出概念

探究1 取一條長度固定的細繩，把繩子的兩端用圖釘固定在圖板的同一處，再把繩子套上鉛筆，順著繩子作圖，觀察畫出的軌跡是什么圖形？（圓）

探究2 請同學們把繩子的兩端分開一小段距離，用2枚圖釘把繩子兩端固定在不同處，再套上鉛筆拉緊繩子作圖，觀察軌跡是什么圖形？（橢圓）

探究3 當繩子長度等于或小于兩枚圖釘之間的距離時，還能畫出橢圓嗎？

探究4 若要得到的軌跡是橢圓，筆尖到兩枚圖釘?shù)木嚯x之和有什么要求？如果把兩枚圖釘看作定點 、 ，把筆尖看作動點 ，那么動點 到兩定點 、 距離之和有什么規(guī)律？

學生分組探究得出結(jié)果. 教師板書橢圓的定義.

設計意圖 教師通過引導學生觀察、操作、討論、概括、形成概念等活動環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學生提出問題、分析問題和解決問題的能力，同時加深對橢圓概念的理解.

4" 層層遞進，步步推導

教師 同學們，對于一般的曲線，我們常分哪幾個步驟來推導它們的方程？

學生 建（建立坐標系）、設（假設動點坐標）、限（找出限制條件）、代（將坐標代入）、化（方程化簡）.

教師 建系有什么原則，怎樣建系才能使求出的方程簡潔？

學生 要考慮對稱性，要讓盡可能多的點落在坐標軸上.

教師 觀察橢圓的形狀，你認為怎樣選擇坐標系才能使橢圓的方程簡單？

學生繼續(xù)分小組討論，比較各種建系的優(yōu)缺點.

教師 不同的建系得出了不同形式的橢圓方程，接下來我們選擇較為簡潔的一種來推導.

（1）建立坐標系：如圖1，我們以 所在的直線為 軸，以線段 的中垂線為 軸，建立坐標系.

（2）假設動點坐標：假設橢圓上任意一點 ，兩焦點的坐標分別為 .又假設 與兩個焦點的距離之和為 .

（3）找出限制條件：" （幾何條件）

（4）坐標代入： （幾何條件代數(shù)化）

（5）方程化簡：為了化簡這個方程，我們將方程左邊的一個根式移到右邊，兩邊平方，同時為了使方程的形式更加簡潔優(yōu)美，我們令 ，進行推導.

教師 方程 叫做焦點在 軸上的橢圓的標準方程.

探究5 如圖2，如果橢圓的焦點在 軸，那么橢圓的方程是否相同？

教師 方程 叫做焦點在 軸上的橢圓的標準方程.

設計意圖 橢圓方程的推導過程是本節(jié)課的重點和難點，教學過程中，教師應該學會等待，給學生留足思考運算的時間，這樣也能避免教學中經(jīng)常出現(xiàn)的“學生的思維跟著老師走”的現(xiàn)象.

5" 例題研討，變式精析

例1 已知方程 表示焦點在 軸上的橢圓，求 的取值范圍.

解析 焦點在 軸上的橢圓，說明 項的分母大，故 .

例2 已知橢圓的兩個焦點坐標分別是 ，并且經(jīng)過點 求橢圓的標準方程.

解法1 待定系數(shù)法.假設焦點在 軸上的橢圓標準方程.

.

解法2 由橢圓定義 ， ，

又 ， ， .

變式 已知 ，求橢圓的標準方程.

解析 由題意 ，" "或 .

設計意圖" 教學過程中，教師可以引導學生說出自己的想法，并對不同解法進行比較，也可以引導學生如何“優(yōu)化方法”，從而達到深度學習.

6" 沙場練兵，練習鞏固

書本P42：練習1、2、3

設計意圖 課堂上，學生是否深度學習？用一句話來概括就是學生是否存在深刻的思維活動？課堂練習就是檢測學生是否深度學習最直接的方法.

7" 課堂收獲，分享喜悅

請各小組派一名代表，回顧一下本節(jié)課所學的知識與內(nèi)容，過程和方法，談談自己的收獲.

8" 課后思考，欲求新知

思考 （1）請同學們課后到圖書館或通過上網(wǎng)查找更多關于衛(wèi)星和天體運行的資料.

（2）在本節(jié)課的探究活動中，若筆尖到兩枚圖釘?shù)木嚯x之差為定值，則得到的軌跡是什么圖形？

設計意圖 深度學習要求教師能創(chuàng)設具有挑戰(zhàn)性的問題，對課堂進行延伸.通過布置課后思考，也為學有余力的學生留有進一步探索和發(fā)展的空間，更好地挖掘他們內(nèi)在的潛能，調(diào)動學生學習數(shù)學的積極性.

總之，深度學習是遵循學生認知規(guī)律、適應學生認知水平的學習，是全面挖掘教材的教育價值、促進學生思維素質(zhì)全面提升的學習，更是學生真切而深入地參與探究、教學氛圍追求活而實的學習.

參考文獻：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標準實驗教科書：數(shù)學（選修2-1）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]橢圓及其標準方程.全國高中數(shù)學說課一等獎課件說課稿.2019.

[3]陳柏良.構(gòu)建深度學習的數(shù)學課堂.陳柏良名師工作室，2020.