錯在哪里？

【摘要】本文通過一道函數題，分析錯在哪里.

【關鍵詞】函數;取值范圍;最小值

題目已知函數f（x）=mex，g（x）=lnx+1.

（1）若函數f（x）與g（x）有公共點，求m的取值范圍;

（2）若不等式f（x）gt;g（x）+1恒成立，求整數m的最小值.

錯解（1）略.

（2）由不等式f（x）gt;g（x）+1恒成立，

即mexgt;lnx+2恒成立，

所以mgt;lnx+2ex恒成立.

令h（x）=lnx+2ex，得

h′（x）=1x-lnx-2ex，

再令m（x）=1x-lnx-2，得

m′（x）=-1x2-1xlt;0，

所以m（x）在（0，+∞）單調遞減.

又因為m（1）=-1lt;0，m12gt;0，

所以x0∈12，1，

使m（x0）=1x0-lnx0-2=0，

當0lt;xlt;x0時，h′（x）gt;0，

h（x）在（0，x0）上單調遞增，

當x0lt;x時，h′（x）lt;0，

h（x）在（x0，+∞）上單調遞減，

所以h（x）min=h（x0）=lnx0+2ex0=1x0ex0，

x0∈12，1.

令s（x）=1xex，得s′（x）=-x+1x2exlt;0，

所以s（x）在12，1上單調遞減，

即1lt;s12=2elt;2，s（1）=1elt;1，

故整數m的最小值為2.

分析整數mgt;h（x）min=h（x），x0∈12，1，這里h（x0）不是以x0為自變量的函數，而是一個具體的函數值，通過有解區間12，1確定h（x0）的大致取值范圍，本題求整數m的最小值，要求h（x0），即s（x）=1xex在12，1上不能有整數解（并不是值域的區間長度小于1），所以本題應該繼續縮小有解區間，使s（x）=1xex在有解區間上不能有整數解.

正解1由錯解知

m（x）=1x-lnx-2在（0，+∞）上單調遞減，

由m34=43-ln34-2=ln43-23

=029-23lt;0，

m58=85-ln58-2=ln85-25

=047-04gt;0，

所以x0∈58，34，

使m（x0）=1x0-lnx0-2=0，

當0lt;xlt;x0時，h′（x）gt;0，

h（x）在（0，x0）上單調遞增，

當x0lt;x時，h′（x）lt;0，

h（x）在（x0，+∞）上單調遞減，

所以h（x）min=h（x0）=lnx0+2ex0=1x0ex0，

x0∈58，34.

令s（x）=1xex，得s′（x）=-x+1x2exlt;0，

所以s（x）在58，34上單調遞減，

s58=85e58=85×187lt;1，

s34=43e34=43×212lt;1，

所以整數m的最小值為1.

正解2由不等式f（x）gt;g（x）+1恒成立，

即mexgt;lnx+2恒成立，

當x=1時，有megt;ln1+2，m∈Z，

所以m≥1，

即m的最小值是1.

再證exgt;lnx+2，

令m（x）=ex-lnx-2，

則m′（x）=ex-1x，

可知m′（x）在（0，+∞）上單調遞增，

且m′（1）=e-1gt;0，m′12=e12-2lt;0，

所以x0∈12，1，

使m（x0）=ex0-1x0=0，

即ex0=1x0，x0=ln1x0=-lnx0，

當0lt;xlt;x0時，m′（x）lt;0，

m（x）在（0，x0）上單調遞減，

當x0lt;x時，m′（x）gt;0，

m（x）在（x0，+∞）上單調遞增，

所以當x=x0時，

m（x）min=m（x0）=ex0-lnx0-2

=1x0+x0-2

gt;21x0·x0-2=0，

所以m（x）gt;0，

即f（x）gt;g（x）+1恒成立，

故整數m的最小值為1.