2021年高考試卷中的圓錐曲線問題

【摘要】本文結合2021年的高考試題，根據考查圓錐曲線的不同形式進行分類歸納，并探討其解題規律.

【關鍵詞】橢圓;雙曲線;準線方程

1利用定義或性質求值

例1已知F1，F2為橢圓C：x216+y24=1的兩個焦點，P，Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，且|PQ|=|F1F2|，則四邊形PF1QF2的面積為.（2021年全國甲卷）

解由P，Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，

知坐標原點O平分線段PQ，

所以線段PQ與F1F2互相平分，

所以四邊形PF1QF2為平行四邊形，

又|PQ|=|F1F2|，

所以四邊形PF1QF2為矩形.

由橢圓的定義，得

|PF1|+|PF2|=8，①

由PF1⊥PF2，得

|PF1|2+|PF2|2=4c2=48，②

由①②，得|PF1||PF2|=8，

所以四邊形PF1QF2的面積為8.

例2已知雙曲線C：x2m-y2=1（mgt;0）的一條漸近線為3x+my=0，則C的焦距為.（2021年全國乙卷）

解因為雙曲線C：x2m-y2=1（mgt;0）的一條漸近線為3x+my=0，

即y=-3mx，

所以3m=1m，即m=3.

所以c=m+1=2，

雙曲線C的焦距為4.

例3已知O為坐標原點，拋物線C：y2=2px（pgt;0）的焦點為F，P為C上一點，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點，且PQ⊥OP.若|FQ|=6，則C的準線方程為.（2021年全國新高考1卷）

解如圖1，不失一般性，

假設P在第一象限，

則由PF與x軸垂直，知

xp=p2，

所以yp=p，

即|PF|=p，

所以|OP|=|OF|2+|FP|2

=p22+p2=52p.

在Rt△OPQ中，

由射影定理，得

|OP|2=|OF||OQ|，

即5p24=p2|OQ|，

所以|OQ|=52p，

|FQ|=2p=6，p=3，

所以C的準線方程為x=-32.

例4已知拋物線y2=2px（pgt;0），若第一象限的兩點A，B在拋物線上，焦點為F，|AF|=2，|BF|=4，|AB|=3，則直線AB的斜率為.（2021年上海卷）

解如圖2，過A、B分別作準線l的垂線，垂足分別為M、N，過B作AM的垂線，垂足為D，

則∠BAD為直線AB的傾斜角.

過A作AE⊥NB于E，

則|AD|=|BE|=4-2=2.

由拋物線的定義，得

|AM|=|AF|=2，

|BN|=|BF|=4，

所以|BD|=|AE|

=32-22=5，

所以tan∠BAD=|BD||AD|=52，

故直線AB的斜率為52.

例5雙曲線C：x2a2-y2b2=1過點（2，3），且離心率為2，則該雙曲線的焦距為.

解由雙曲線C：過點（2，3），得2a2-3b2=1，

由離心率為2，得c=2a，

所以c2=4a2，即b2=3a2，

得a2=1，b2=3，

所以c2=4，c=2，2c=4.

例6已知拋物線C：y2=4x（pgt;0），焦點為F，M為拋物線C上的點，且|MF|=6，則M的橫坐標為;作MN⊥x軸于N，則S△FMN=.（2021年北京卷）

解由拋物線的定義知

M到準線x=-1的距離等于|MF|，

即xM+1=6，

所以xM=5，|NF|=4，

于是|MN|=25，

所以S△FMN=12|FN|·|MN|=45.

2利用性質求離心率

例7已知F1，F2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，則C的離心率為（）

（A）72.（B）132.（C）7.（D）13.（2021年全國甲卷）

解由雙曲線的定義，得

||PF1|-|PF2||=2a，

因為|PF1|=3|PF2|，

所以|PF1|-|PF2|=2a，

于是|PF1|=3a，|PF2|=a，

由余弦定理，得

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-

2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，

即4c2=7a2，

所以e2=c2a2=74，即e=72，故選（A）.

例8設B是橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的上頂點，若C上的任意一點P都滿足|PB|≤2b，則C的離心率的取值范圍是（）

（A）22，1.（B）12，1.

（C）0，22.（D）0，12.（2021年全國乙卷）

解橢圓C上的任意一點P都滿足

|PB|≤2b|PB|max≤2b.

易知B（0，b）.

設P（x0，y0）（-b≤y0≤b），

則x20a2+y20b2=1，

即x20=a21-y20b2，

所以|PB|2=x20+（y0-b）2

=a21-y20b2+y20-2by0+b2

=-c2b2y20-2by0+a2+b2.

因為對稱軸為直線y0=-b3c2lt;0，

所以若-b3c2≤-b，即 b≥c，

則函數在區間[-b，b]上單調遞減，

所以當y0=-b時，|PB|2取得最大值4b2，

此時|PB|=2b符合條件，

故只需滿足-b3c2≤-b，即b2≥c2，

所以a2-c2≥c2，即a2≥2c2，

所以e≤22，

又0lt;elt;1，

所以0lt;e≤22;

若-b3c2gt;-b，即blt;c，

則當y0=-b3c2時，

|PB|2取得最大值b4c2+a2+b2≤4b2，

即a4-4a2c2+4c4≤0，

于是（a2-2c2）2≤0，

所以a2-2c2=0，

a2=2c2，b2=c2，b=c（舍去）.

綜上知，e∈0，22，故選（C）.

3求最值

例9設B是橢圓C：x25+y2=1的上頂點，點P在C上，則|PB|的最大值為（）

（A）52.（B）6.（C）5.（D）2.（2021年全國乙卷·文）

解易知B（0，1）.

設P（x0，y0）（-1≤y0≤1），

則x205+y20=1，

即x20=5-5y20，

所以|PB|=x20+（y0-1）2

=-4y20-2y0+6

=-4y0+142+254≤52，

當y0=-14時取等號，

故選（A）.

例10已知F1，F2是橢圓C：x29+y24=1的兩個焦點，點M在C上，則|MF1|·|MF2|的最大值為（）

（A）13.（B）12.（C）9.（D）6.（2021年全國新高考1卷）

解由橢圓的定義，得

|MF1|+|MF2|=6，

所以|MF1|·|MF2|≤|MF1|+|MF2|22=9，

當且僅當|MF1|=|MF2|=a時取等號，

故選（C）.