化歸思想在高中數學解題中的應用

【摘要】高中數學思想包括分類討論思想、函數思想、數形結合思想等，但所有思想的本質即化歸思想，其中函數思想展現一般問題與函數性質的轉化，數形結合展現數與形轉化，分類討論思想則展現整體與局部間轉化，所以化歸思想即高中數學思想核心.由于高中生思維活動逐漸脫離直接經驗與具體形象影響，思維也具有較強的獨立性與批判性，所以，在解題中融入思想方法能將簡化復雜問題，完善知識體系，強化解題能力.對此，本文從多方面分析在數學解題中應用化歸思想，望給予相關教育者提供參考.

【關鍵詞】高中數學;化歸思想;應用策略

1 化歸思想在數列中應用

數列是高考數學必考知識點，解決此類問題的關鍵即求數列通項公式，同時近年高考也將遞推公式求數列通項公式作為必考點.該類題型解題方式較為多變，但細細分析可發現，大部分求遞推數列通項公式可轉為等比數列或等差數列進行解決.一般運用遞推公式求數列通項公式有多種類型，每種類型都專屬于解決方式.

1.1轉化至等差數列 ，運用疊加法求解是數列通項公式

在考試中經常出現 類似于等差數列的數列遞推公式，可將其稱之為等差型數列，所以可采取疊加法解答此類問題.

例題1已知a=1，an-an-1=n-1，求an

題目解析：運用疊加法可解答等差型數列.

解析因為 ，

，

···

，

上述各式相加可得出 ，

所以， ，

解題反思在解答遞推數列通項公式時運用疊加法有以下兩個特征：其一經疊加，等式左邊可進行錯項相消，再進行化簡.其二等式右邊可便于求和.

1.2轉化至等比數列 ，運用迭乘法求數列通項公式

縱觀數學教材，在推導等比數列通項公式時，運用將若干等式左邊和右邊分別相乘的累乘法，針對類似于 遞推公式，可運用跌乘法推導.

例題2 已知數列 ，求數列an 通項公式.

解析根據題意可得知， ， ， ，···， .

上述各式相乘后的得出 ，

所以 .

解題反思在解答 數列通項公式時運用迭乘法.通過各項相乘，最后得出 和 的關系式，根據已知條件便不難得出最終結果.

1.3轉化至常數數列求數列通項公式

除上述常見題目類型外，高考數學常見以下數列： ，縱觀數學參考資料，會采取特定系數將上述數列轉為等比數列后進行解題，過程相對豐富.本文研究認為，將上述數列轉至常數數列也能直接解決.

例題3已知數列 滿足 ， ，求數列 通項公式

解析：已知 ，兩邊同時除以 ，可得出 ，

經變形得出 ，

所以數列 為常數列.

因此， ，

2化歸思想在立體幾何中的應用

立體幾何是高考數學重要考點內容，試題難度因空間向量引入而有所下降.立體幾何主要研究平面與簡單幾何體、空間直線等，其中直線與平面位置關系、空間兩條直線位置關系、兩個平面位置關系屬于聯系十分緊密的內容，可采取相互轉化進行解決.與此同時，立體幾何在于研究三維空間幾何問題，要求學生在解題中具備較強的空間想象能力，無形中加大立體幾何難度，所以將其轉化至平面問題簡化問題難度，換言之通過降維轉化達到簡化抽象復雜問題目的.

2.1從高維降轉化至低維

立體幾何是基于平面幾何基礎上對幾何基礎知識的深層次研究，所以，研究立體幾何重要方式即從三維空間轉化至二維平面.

例題3如圖1所示，設正三棱錐A-BCD的底面邊長以及側棱長分別為1、2，過B作與側棱AC、AD相交的截面BEF，求該截面周長的最小值.

圖1

解析在立體幾何中求周長最小值需展開圖形，再將其轉化為平面圖形后再進行解決.圖2為該立體幾何圖形的展開圖.

圖2

根據題意當截面周長最小時，B、E、F、 處在同一直線上.由平行線性質以及對稱性可知， F=BE= D=BC=1.由AD=A ，可知∠AD =∠A D=∠ FD，則△ DF∽△AD ，由對應邊成比例可求得AF= .由EF∥CD，可知EF/CD=AF/AD，則EF= ，所以B =2+ = .

2.2 將幾何問題轉化至代數問題解答立體幾何問題

毫無疑問，向量是現代數學重要標志，也稱為中學數學難點之一.所有立體幾何問題均可運用代數方式解決，所以當前高考命題專家十分青睞運用空間向量解決立體幾何問題.

例題4以圖3所示，AB為圓O直徑，點C為圓O上異于A與B的點，直線PC 平面ABC，E與F分別為PA和PC的中點.

圖3

求①如果平面ABC與平面BEF交線為l，請判斷直線l與平面PAC位置關系并進行證明.

②設①中直線l與圓O另一交點為D，且點Q滿足 =" ，同時直線PQ與平面ABC所成角為 ，異面直線PQ與EF所成的角為 ，二面角E-l-C平面角大小為 ，證明 .

解析①直線l//平面PAC，證明如下：

與EF連接，因為E與F分別為PA與PC中點，

所以EF//AC，

又EF過平面ABC且AC 平面ABC，

所以EF//平面ABC，

而EF 平面BEF其平面BEF 平面ABC=l，

所以EF//l，

因為l 平面PAC，EF 平面PAC，

所以直線l//平面PAC.

圖4

②還可采取向量法，如圖4所示，由 ，作DQ//CP且 ，

之后連接EF、PQ、BF、BE、BD，由①可得知，交線l為直線BD.

圖5

點C為原點，向量 所在直線x軸， 所在直線y軸， 所在直線Z軸，建立圖5空間直角坐標系，設CA=a，CB=b，CP=2c，則可得C（0，0，0），A（a，0，0），P（0，0，2c），Q（a，b，c）， ，F（0，0，c）.于是，

cos = = ， ，

設平面ABC一個法向量為 =（0，0，1），得sin = = ，

設平面BEF一個法向量為 =（x，y，z），所以 ，得出 ，

取 =（0，c，b），于是 = = ， ，

故" ，

即 .

參考文獻：

[1]包文真.解析由難化易由繁化簡 ——高中數學解題過程中化歸思想的應用[J].數理化解題研究，2021（22）：2.

[2]吳德發.由難化易，由繁化簡——高中數學解題過程中化歸思想的應用[J].高考， 2020（2）：1.

[3]林彥文.化歸思想在高中數學解題過程中的應用分析[J].試題與研究：教學論壇， 2021（17）：1.