數(shù)形結(jié)合視角下圓錐曲線習(xí)題的突破

【摘 要】 圓錐曲線以計(jì)算量大而著稱.對于部分圓錐曲線習(xí)題從數(shù)形結(jié)合視角進(jìn)行分析，可大大降低計(jì)算繁瑣程度，提高解題效率.本文從數(shù)形結(jié)合視角展示圓錐曲線中離心率、最值問題、參數(shù)取值范圍、漸近線方程問題的求解思路，以供參考.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)形結(jié)合;圓錐曲線;習(xí)題突破

1 數(shù)形結(jié)合視角下求離心率

例1 已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F， （-1，0），若點(diǎn)P為拋物線C上的動點(diǎn)，當(dāng) 取得最大值時(shí)，點(diǎn)P恰好在以F， 為焦點(diǎn)的橢圓上，則該橢圓的離心率為（）

（A） ." " " " " " "（B） ." " " " " "（C） -1." " " " " " （D） -1.

解答該題需要首先確定 的值何時(shí)取到最大，而后結(jié)合橢圓的定義，求出離線率.

根據(jù)題意畫出拋物線C的圖象，如圖1所示，由拋物線的第二定義可知，PF=PD，所以 = ，設(shè)直線P 的傾角為 （≤ < ，），則 = = ，由函數(shù)知識可知，當(dāng) 的值最大時(shí)， 最大，此時(shí)線P 和拋物線C相切.設(shè)直線P 為y=k（x+1）與y2=4x聯(lián)立整理得到：k2x2+（2k2-4）x+k2=0， =（2k2-4）2-4k4=0，解得k=±1，所以x2-2x+1=0，解得x=1，則P（1，2）或P（1，-2），容易得出PD=PF=2，P = =2 .在橢圓中P +PF=2 +2=2a，則a= +1，c=1，所以e=c/a= -1，選擇D項(xiàng)." " " " " " " " " " " "圖1

2 數(shù)形結(jié)合視角下求最值

例2 設(shè)雙曲線方程為x2-y2=4，左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2， P為雙曲線上任一點(diǎn)，過F1作∠F1PF2平分線的垂線，垂足為M，則點(diǎn)M到直線x+y-2 的距離最大值為（）

（A） 3." " " " " " " （B）4." " " " " " " （C）5." " " " " " " （D）6.

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)求某點(diǎn)到直線距離的最值，則該點(diǎn)的一定是變化的，因此，求出該點(diǎn)的軌跡是解答問題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意畫出雙曲線圖象，設(shè)點(diǎn)P在雙曲線右側(cè)，延長F1M交PF2的延長線于點(diǎn)N，如圖2所示，則容易得出F1（-2 ，0），F(xiàn)2（2 ，0），設(shè)點(diǎn)M（x0，y0），因?yàn)镻M為∠F1PF2的角平分線，由平面幾何知識得：PM⊥F1N，PF1=PN，點(diǎn)M是F1N的中點(diǎn).所以N（2x0+2 ，2y0），由雙曲線定義可知PF1-PF2=2a=4，所以PN-PF2=4，所以NF2=4，即， =4，整理得到x02+y02=4，所以點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半徑為r=2的圓.圓心到直線x+y-2 的距離d= =2=r，表明該直線和圓剛好相切，則點(diǎn)M到直線x+y-2 的距離最大值為2r=4，選擇B項(xiàng)." " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "圖2

3 數(shù)形結(jié)合視角下求參數(shù)范圍

例3 已知橢圓 + =1（a>b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F，若直線y=kx與橢圓交于AB兩點(diǎn)，且∠AFB=60°，則橢圓離心率的取值范圍是（）

（A）（ ，1）." " "（B）（0， ）." " " （C）（0， ）." "（D）（ ，1）.

求離心率取值范圍要么借助橢圓參數(shù)的有界性，要么使用結(jié)合不等式知識.針對該題需要結(jié)合圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，尋找線段之間的關(guān)系.

設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1，連接AF1，AF，BF1，BF，如圖3所示，由橢圓的對稱性可知四邊形AF1BF為平行四邊形，則" " " " " " 圖3

∠AFB和∠F1AF互補(bǔ)，因?yàn)椤螦FB=60°，則∠F1AF=120°.

在△F1AF中由余弦定理得到：

|FF1|2=|AF1|2+|AF|2-2|AF1|·|AF|·cos∠F1AF

=|AF1|2+|AF|2+|AF1|·|AF|=（|AF1|+|AF|）2-|AF1|·|AF|≥（|AF1|+|AF|）2-（ ）2，又因?yàn)閨AF1|+|AF|=2a，|FF1|=2c，所以4c2≥4a2-a2=3a2，且當(dāng)|AF1|=|AF|取等號，又因?yàn)閗存在，因此，A、B不會在y軸上，因此等號取不到，即， > ，所以

4 數(shù)形結(jié)合視角下求漸進(jìn)線方程

例4 已知雙曲線 - =1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F1且斜率為-3 的直線與雙曲線在第二象限的交點(diǎn)為A，若（ + ）· =0，則此雙曲線的漸進(jìn)線為（）

（A）y=±x." " " " （B）y=± x ." " " " （C）y=± x ." " " （D）y=± x.

求雙曲線漸進(jìn)線方程需要建立a，b兩個(gè)參數(shù)之間的聯(lián)系.根據(jù)題干給出的向量關(guān)系結(jié)合圖形，運(yùn)用平面幾何知識進(jìn)行作答.

根據(jù)題意畫出如圖4所示的圖形，因?yàn)椋?+ ）· =0，由向量知識可得（ + ）⊥ ，則△AF1F2為等腰三角形，所以AF1=F1F2=2c，因?yàn)閗AF1=-3 ，過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，則tan∠AF1B=AB/BF1=3 ，設(shè)BF1=x，在直角△ABF1由勾股定理得到：x2+（3 x）2=（2c）2，解得x= c，則A（- c， c），將其代入到雙曲線方程得到：25b4-54a2b2-63a4=0，整理得到（25b2+21a2）（b2-3a2）=0，所以b2=3a2，b= a，則雙曲線漸進(jìn)線方程為y=± x，選擇D項(xiàng)." " "圖4

綜上所述，數(shù)形結(jié)合視角下解答圓錐曲線習(xí)題應(yīng)用到的平面幾何知識主要有：三角函數(shù)、角平分線、余弦定理、勾股定理等，因此，日常學(xué)習(xí)中應(yīng)做好平面幾何知識的匯總與復(fù)習(xí)，提高數(shù)形結(jié)合應(yīng)用意識，尋找解決圓錐曲線習(xí)題的最優(yōu)思路，實(shí)現(xiàn)解題能力的進(jìn)一步提高.

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