借助整體思想，巧解數學難題

摘要整體思想是一種解決數學問題的重要思想，用于解答高中數學習題，可降低計算繁瑣度，提高解題效率.本文結合具體例題展示如何借助整體思想，解答數學習題，以供參考.整體思想是將某一式子或圖形看成一個整體，以更好把握相關邏輯關系，迅速地找到解決問題的途徑與方法.教學實踐中應認識到整體思想的重要性，做好整體思想在解題中的應用講解，促進學習者應用意識與解題能力地有效提升.

關鍵詞整體思想;數學難題;解題能力

例1已知x1，x2為函數f（x）=2a（lnx-x）+x2（a>0）的兩個極值點，且滿足x1>x2，則f（x1）+f（x2）的取值范圍為____.

解由函數f（x）的解析式易知x>0，

對函數求導得到： （x）=2a（ -1）+2x= .

由極值和對應方程之間的關系可知x1，x2為方程2x2-2ax+2a=0的兩個正根.

由根與系數之間的關系可得x1+x2=a>0，x1x2=a>0， =4a2-16a>0，解得可得a>4.

則f（x1）+f（x2）=2aln（x1x2）+（x12+x22）-2a（x1+x2）

=2aln（x1x2）+[（x1+x2）2-2x1x2]-2a（x1+x2），

將x1+x2、x1x2整體代入得到f（x1）+f（x2）=2alna-2a-a2.

令g（a）=2alna-2a-a2，則 （a）=2lna-2a，

則 （a）= -2<0，

則 （a）在a>4上單調遞減，

則 （a）max= （4）=4ln2-8<0，

則函數g（a）在a>4上單調遞減，

則g（4）=16ln2-24，則其取值范圍為（-∞，16ln2-24），

即，f（x1）+f（x2）的取值范圍為（-∞，16ln2-24）.

例2已知函數f（x）=ex（2-ex）+（a+2）|ex-1|-a2存在三個零點，其中e為自然對數的底數，則a的取值范圍為_____.

解觀察可知函數f（x）的解析式較為復雜，尤其帶絕對值，不容易處理，而將|ex-1|看成一個整體，將絕對值去掉，問題便能能得到很好地解決.

令m=|ex-1|，則函數f（x）可化為f（m）=-m2+（a+2）m+1-a2.

函數f（x）有三個零點等價于-m2+（a+2）m+1-a2=0存在兩根，

結合m=|ex-1|的圖象可知一根在（0，1），

一根在[1，+∞）上，

則f（0）=1-a2<0，f（1）=-a2+a+2≥0，

解得1

則a的取值范圍為（1，2].

例3已知首項為2的數列{an}滿足x2019·sinx+an+1·cosx-3an=-2存在唯一實根，則數列的前n項和為_____.

解根據題意，設f（x）=x2019·sinx+an+1·cosx-3an+2，

而f（-x）=-x2019·sin（-x）+an+1·cos（-x）-3an+2

=x2019·sinx+an+1·cosx-3an+2=f（x），

則函數f（x）為偶函數.

方程x2019·sinx+an+1·cosx-3an=-2存在唯一實根，

表明f（x）=x2019·sinx+an+1·cosx-3an+2有唯一零點.

對于偶函數應有f（0）=0，

代入得到：an+1-3an+2=0，

變形得到an+1-1=3（an-1），

將an+1-1、an-1看成一個整體，

可知{an-1}是以a1-1=1為首項，以3為公比的等比數列，

即，an-1=3n-1，則an=3n-1+1，

其前n項的和為n+ = .

例4已知直線l和拋物線y2=4x交于A、B兩點，其中O為坐標原點，若四邊形OAMB為矩形，則直線OM斜率的最大值為_____.

解設A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），

設直線l的方程x=my+t，

將其和拋物線方程聯立整理得到：y2-4my-4t=0，

由根與系數的關系可知y1y2=-4t.

由OA⊥OB可得 · =x1x2+y1y2= +y1y2=0，

由y1y2≠0，可得t=4.直線l的方程過定點（4，0）.因四邊形OAMB為矩形，

則 = · =（x1+x2，y1+y2），

則直線的OM的斜率k= = ，

整體代入整理得到：k= ，

顯然當其最大時m>0，

則k= = ≤ = ，

當且僅當m= 時取等號，

即，直線OM斜率的最大值為 .

綜上所述，整體思想在高中數學中有著廣泛的應用，不同的題型應用細節有所區別.為使學習者更好地掌握相關應用細節，提升其應用的靈活性，在完成相關例題講解后要求其認真總結與反思，把握相關的應用技巧，反思應用中的不足，尤其及時組織其開展專題訓練活動，給其提供應用整體思想解題的機會，不斷地積累整體思想解題經驗，在以后遇到類似題型能夠高效解答.