高三數學習題“會而不對”現象研究

【摘" 要】 在高三復習階段，學生在答題時會出現一種“會而不對”的現象，即學生貌似了解解題的方法，然而解題時卻出現錯誤.這種現象出現與學生缺乏審題訓練、沒有深入理解數學概念、數學思想學習不深入、數學計算能力不足有關.如果要提高學生的解題能力，就要從這四個方面著手解決.

【關鍵詞】 高三數學;高考復習;會而不對

在高三復習的階段，學生會應用解習題的方式來發現自己的學習不足，然后有針對性的完善知識結構，達到查漏補缺的目的.學生在復習時，發現自己存在“會而不對”的學習情況，即學生認為自己了解這一題要考核的知識點，并且覺得依自己的學習水平能夠解決這類數學問題，然后解題之后卻發現自己做錯了習題.學生需要了解高三數學答題“會而不對”現象的原因，并能夠提出有針對性的對策.

1 沒有正確完成審題

部分習題中包含有隱含習題，由于學生沒有受過系統的審題訓練，從而導致學生在解題時沒有挖掘隱含條件意識、沒有掌握挖掘隱含條件技巧、不會充分應用挖掘隱含條件的途徑轉化問題，于是學生出現了解題錯誤.

題1 在銳角三角形中， ， ， 成等差數列，函數 滿足 ，求函數 的解析式.

解根據已知條件， ，并且從誘導公式可得 .聯立兩式，應用挖掘導向性隱含條件的方式來聯立兩式，可得 ，從而得到隱含條件 .這一步是應用挖掘導向性隱含條件的方式簡化式子，找到解題條件典型應用.該題通過把式子外型條件的特征與三角函數的式子聯立起來，通過重整式子，讓式子得簡單，這為后續簡化數學問題打下了基礎.

從 中可得 ，應用補充性隱含條件挖掘的方式，簡化函數表達式可得，令 . 為銳角， .這一步是應用挖掘補充性隱含條件求值的典型應用，它利用三角函數計算公式作為補充條件再次簡化式子，學生應用這種方式能夠快速解答習題.這種應用了兩種不同的思路挖掘隱含條件的過程，對于部分學生而言，是比較復雜的，在解題的過程中，學生需要全面思考習題，分析習題中是否存在制約性隱含條件，是否存在能夠化簡式子的導向性隱含條件，是否能夠讓解題順利完成的補充性隱含條件等.綜合性隱含條件考核的是能否從解題需求出發，全面應用隱含條件的挖掘方法，然后通過分析問題、簡化問題、轉化問題的思路，應用現有的已知條件和挖掘出來的隱含條件完成解題.

隱含條件就是指數學問題中沒有直接給出，需要結合解題的需求去挖掘出來的條件.根據常見的隱含條件表現形式，可將隱含條件分為四類：（1）從問題的字母、變量、關系式中或者從實際生活或需求出發，隱含著制約性質的條件，這是制約性隱含條件.（2）從問題的概念、性質、圖形特征出發，包含著的帶有補充性特征的答件，這是補充性隱含條件.（3）從問題和問題的關聯出發，通過把一個問題推導成另一個問題時，呈現出來的條件，這是導向性隱含條件.（4）需要應用以上三種方法來進行多次轉換，才能獲得的條件，這是綜合性隱含條件.學生需要在解題時，接受系統的審題訓練，其中包含隱含條件挖掘的訓練.不同表現形式的隱含條件，挖掘的方式不同，在解題時，為了順利的解答習題，學生需要學會有效的挖掘和利用隱含條件.

2 數學概念理解錯誤

在解數學習題時，學生常常需要從數學概念著手分析問題.部分學生在學習時認為自己理解了概念，然而卻不知道自己存在很多知識漏洞.學生需要了解在學習時最常出現的知識漏洞是什么及如何完善自己的知識結構.只有深入的理解概念，才能夠正確完成習題.

2.1 混淆概念

部分數學概念非常容易混淆，學生在探討數學問題時，需要從深入數學概念著手學習，避免因為錯誤的理解數學概念導致解錯習題.

題2 設集合A={（ ， y）∣ +2 y=5}，B={（ ， y）∣ -2 y=-3}，求A B.很多學生看到該題，覺得自己能理解它的意思，于是給出錯解：

由" "得 從而A B={1，2}.

此時學生以分析數集的方式來分析點集，導致出現了錯誤.學生在學習集合時，曾經學習過集合的分類，于是在探討數學問題時，就要深入的分析該數學問題探討的概念對應的分類是什么，然后應用正確的概念來解決問題.

正解據題意，A∩B的元素為兩條直線的交點，那么A∩B={（x，y）|x+2y=5，x-2y=-3}，于是可知x+2y=5，x-2y=-3，從而可得可得x=1，y=2，繼而可得A∩B={（1，2）}.

在學習概念的時候，學生需要辨析概念，在該題中，學生需要了解自己探討的集合問題是數集問題，還是點集問題，兩種類型的集合它的表現形式是什么.只有深入的理解概念，才不會出現沒有深入理解概念導致解題出錯的問題.

2.2 邏輯錯誤

邏輯錯誤是指在探討數學概念時，要依數學概念建立的邏輯來一一分析問題，學生不能夠忽略概念建立的邏輯，導致出現解題漏洞.

題3 已知集合A={a，a+b，a+2b}，B={a，ac，ac2}.若A=B，求c的值.

該題很多學生覺得自己會做這道題.根據已知條件A=B，那么可知a+b=ac，a+2b=ac2，聯立兩式解方程即可得到答案.然而學生忽略了集合中元素存在確定性、互異性，無序性的關系，即學生的探討是不全集的，學生沒有結合數學概念建構的邏輯來探討問題.正確的答案如下.

解分兩種情況進行討論. （1）聯立a+b=ac和a+2b=ac2，消去b得：a+ac2-2ac=0，分類探討問題，當a=0時，集合B中的三元素均為零，和元素的互異性相矛盾，故a≠0，那么可知c2-2c+1=0，于是可得c=1，然而c=1時，B中的三元素又相同，此時無解.（2）聯立a+b=ac2和a+2b=ac，消去b得2ac2-ac-a=0，由于a≠0，那么可得2c2-c-1=0，于是可知（c-1）（2c+1）=0，又c≠1，那么可知c=- .

部分學生在學習概念時，了解概念建構的邏輯，然而在解題時，似乎又忘記了數學概念的建構邏輯.在學習概念時，學生要應用科學的邏輯理解概念，然后在探討問題時，要把數學概念建構的邏輯應用到數學問題的探討中.

2.3 理解片面

題4 已知集合A={x|x2-3x-10≤0}，集合B={x|p+1≤x≤2p-1}，如果B A，那么請求出實數p的取值范圍.

該題最常出現的錯誤為學生忽略了探討集合B存在空集的情況，從而出現解題錯誤.其中最易出現錯誤的問題為A∩B= 、A∪B= ，A B等集合問題，學生通常忽視空集的探討而出現漏解.該題正確的解法如下.

解①當B≠ 時，那么p+1≤2p-1 p≥2.因為B A，那么可知-2≤p+1且2p-1≤5，又因為-3≤p≤3，所以可得2≤p≤3.②當B= 時，那么p+1gt;2p-1 plt;2.聯立①、②可知p≤3.

學生在學習時，曾學習過空集的概念.然而在具體的應用時，學生卻不能夠理解哪些類型的集合相交會產生空集;在探討哪些問題時，需要探討空集.這就是學生片面理解數學概念的體現，學生一方面需要深入的理解概念知識，一方面要積累做題經驗.了解概念學習存在的重點和難點，攻克數學概念學習障礙.避免不能把數學概念正確的應用于問題的探討中.

3 數學思想應用錯誤

在解高中數學問題時，學生常常需要應用數學思想來探討問題.然而由于學生對數學思想了解得不夠深刻，于是學生會出現即使了解需要應用什么樣的數學思想來探討問題，也應用了數學思想來探討問題，卻在解題過程中出現了錯誤的問題.數學思想是高考考核的重點，學生必須深刻的了解常用數學思想應用的方法.

3.1 應用目標錯誤

題5 已知 ，求 .

很多學生看到這一道題，結合數學式子的特征便能了解要應用整體思想來解決問題.然而很多學生選擇的換元方法為 ，在計算時，發現這道題中出現了x和u兩個字母，從而讓數學計算過程變得非常麻煩.學生應用整體思想，使用換元法解題，其目標是為了降冪降次，只有貫徹這一目標，才能正確應用整體思想簡化問題.

解設" ，那么可知" ，從而可知" ，那么可知 = （ ）.

學生在應用數學思想解題時，需要了解數學思想的應用優勢、目標、過程、原則等，而不能只是片面的理解數學思想.只有全面的、深入的掌握數學思想應用的方法，才能夠順利的應用數學思想解決數學問題.

3.2 問題轉化錯誤

在應用數學思想解題時，學生往往了解為了解題，他們需要把一個數學問題轉換化另一個數學問題，然而在轉化的過程中，學生往往忽略了問題與問題之間的差異性，于是犯下了等量轉化的錯誤.

題6 已知 ，試求 的最大值.

很多學生的解題方法為：由" 得" ，那么可得

，從而可得當 時， 取最大值，它的最大值為 .此時學生沒有意識到在把方程問題轉化為函數問題時，必須等量轉化.該題要求 的最大值，將 變為一元二次函數 ，此時要分析 中存在根據極值點的 值，可以了解 ，這一隱含的制約，只有了解這一條件條件帶來的制約，才能正確解答習題.

解由 得 ，又因為 ，那么可得 ，從而可得 .又根據" ，得到當 時， 有最大值，最大值為

在解數學習題時，把方程轉化為函數問題時，會存在條件的制約;在把數學公式轉化為圖像時，要分析數學圖像繪制可能會存在失真的問題.學生必須在解題時，牢記等量轉化的原則，避免在轉化問題時出現解題錯誤.

4 結語

高三數學答題，學生存在“會而不對”現象，與學生沒有全面審題、沒有深刻的理解數學概念、沒有真正掌握數學思想應用的方法、沒有訓練出扎實的計算能力有關.教師需要從這幾個方向著手，引導學生熟悉解題方法、夯實數學基礎、深入數學思想學習、訓練計算技能，從而讓學生能夠提高解題的能力.

參考文獻：

[1]周如俊.高考數學解題\"隱性失分\"舉隅與教學對策[J].教學月刊：中學版（教學參考）， 2019（9）：6.

[2]毛俊英.高三數學有效備考策略研究[J].科學咨詢，2020（45）：2.

[3]王康垣.對2020年高考數學考前沖刺階段復習備考的幾點建議[J].教學考試， 2020（20）：1-1.

[4]許蘇華.典型錯題錯因辨析與編制新題防錯對策[J].中學數學教學參考， 2021（10）：4.