數學分析背景下的一道高考導數題的解法探究

【摘要】針對2017年全國高考新課標卷Ⅱ文科函數與導數壓軸題所考察的含參數不等式在某個區間上恒成立，求解參數的取值范圍的問題，給出了數學分析觀點下求解該問題的方法——拉格朗日中值定理法、洛必達法則法和泰勒公式法，通過求解的過程表明這三種方法的適用條件和可行性，從而，使得不易求解的問題變得簡單化，進一步拓展了高中生的數學知識層面.

【關鍵詞】導數;參數;拉格朗日中值定理;洛必達法則;泰勒公式

1考題展示

設函數f（x）=（1-x2）ex.

（1）討論f（x）的單調性;

（2）當x≥0時，f（x）≤ax+1，求a的取值范圍.（2017年全國Ⅱ卷）

分析（1）考查了學生利用導數知識研究函數的單調性問題，屬于基礎知識，解題過程略;

（2）考查了利用導數解決含參不等式的恒成立問題，這類問題題型常規，難度較大，綜合性較強，解題方法不唯一，不僅注重考查學生的分離參數法、構造函數法、分類討論思想、數形結合思想和等價與轉化等思想方法，更注重考查學生的基本運算能力、邏輯推理能力和解題能力，符合高考導數壓軸題的命題特征，下面給出三種解法.

2解法研究

拉格朗日中值定理函數f（x）滿足以下兩個條件：

（1）f（x）在閉區間[a，b]上連續;

（2）f（x）在開區間（a，b）內可導，則在（a，b）內至少存在一點ξ，使得f（ξ）=f（b）-f（a）b-a.

解法1（2）當x=0時，f（x）≤ax+11≤1，顯然成立;

當xgt;0時，f（x）≤ax+1可轉化為a≥（1-x2）ex-1x對所有xgt;0恒成立.

令h（x）=（1-x2）ex-1，

G（x）=（1-x2）ex-1x=h（x）-h（0）x-0，

由拉格朗日中值定理可知在（0，+∞）內至少存在一點ξ（ξgt;0），使得

h′（ξ）=h（x）-h（0）x-0，

即G（x）=h′（ξ）=（1-ξ2-2ξ）eξ，

由ξgt;0，

得h″（ξ）=-（ξ2+4ξ+1）eξlt;0，

所以h′（ξ）在（0，+∞）上是減函數，

故h′（ξ）=（1-ξ2-2ξ）eξ的最大值為

h′（0）=1，

即G（x）max=h′（0）=1，

所以a的取值范圍是a≥1.

注當xgt;0時，則f（x）≤ax+1可轉化為

a≥f（x）-1x，

即a≥（1-x2）ex-1x.

令h（x）=（1-x2）ex-1，

因為h（0）=0，則其可化為a≥h（x）-h（0）x-0，這樣就滿足拉格朗日中值定理適用的條件，這樣做可簡化計算量，易于求解.

洛必達法則若函數f（x）和g（x）滿足以下條件：

（1）limx→af（x）=0及limx→ag（x）=0;

（2）在點a的某去心鄰域內，f（x）與g（x）均可導，且g′（x）≠0;

（3）limx→af′（x）g′（x）=l（l為常數）.

則limx→af（x）g（x）=limx→af′（x）g′（x）=l.

我們把這種在一定的條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式“00”型或“∞∞”型等值的方法稱之為洛必達法則.

如果f′（x）g′（x），當x→a時仍屬00型，且f′（x）和g′（x）均滿足定理中的條件，洛必達法則可連續多次使用，直到求出極限為止.

即limx→af（x）g（x）=limx→af′（x）g′（x）=limx→af″（x）g″（x）=l.

解法2（2）當x=0時，f（x）≤ax+11≤1，顯然成立;

當xgt;0時，f（x）≤ax+1可轉化為a≥（1-x2）ex-1x對所有xgt;0恒成立.

令F（x）=（1-x2）ex-1x，

則F′（x）=（x-x3-x2-1）ex+1x2.

令h（x）=（x-x3-x2-1）ex+1，

得h′（x）=-（x3+4x2+x）ex，

顯然h′（x）lt;0，

所以h（x）在（0，+∞）上單調遞減，

從而h（x）lt;h（0）=0，

所以F′（x）lt;0，

則F（x）在（0，+∞）上單調遞減，

于是，當xgt;0時，a≥（1-x2）ex-1x，

即a≥limx→0（1-x2）ex-1x，

由洛必達法則可知

limx→0（1-x2）ex-1x=limx→0（1-2x-x2）ex1=1，

所以a≥1.

注當xgt;0時，則f（x）≤ax+1可轉化為a≥（1-x2）ex-1x，該含參不等式恒成立問題的難點在于構造的函數h（x）=（1-x2）ex-1x的最值不易求解，應用洛必達法則只需求導一次便可解出.

泰勒公式設函數f（x）在點x0處的某鄰域內具有n+1階導數，則對該鄰域內異于x0的任意點x，在x0與x之間至少存在一點ξ，使得f（x）=f（x0）+f′（x0）1！（x-x0）+f″（x0）2！（x-x0）2+…+fn（x0）n！（x-x0）n+o（（x-x0）n），這里o（（x-x0）n）為佩亞諾型余項，稱f（x）在點x0的n階泰勒公式.

當x0=0時，其變成f（x）=f（0）+f′（0）1！x+f″（0）2！x2+…+fn（0）n！xn+o（xn），稱此式為（帶有佩亞諾余項的）麥克勞林公式.

解法3函數f（x）=ex的泰勒公式展開式

ex=1+x1！+x22！+x33！+…+xnn！+Rn（x），

容易證的ex≥1+x.

（2）當x=0時，f（x）≤ax+1等價于1≤1，顯然成立;

當xgt;0時，f（x）≤ax+1可轉化為

ax≥（1-x2）ex-1≥（1-x2）（1+x）-1

對所有xgt;0恒成立，

即a≥（1-x2）（1+x）-1x=1-x-x2.

令h（x）=1-x-x2，

配方得h（x）=-x+122+54，

所以h（x）max=h（0）=-0+122+54=1，

所以a≥1.

注泰勒公式是高等數學中一個非常重要的公式，它能將一些復雜的函數近似地表示為簡單的多項式函數，本題就是將ex展開為多項式函數，容易證得ex≥1+x，從而起到了化繁為簡的功能.

上述這道導數壓軸題是屬于不等式恒成立問題中求參數的取值范圍的問題，盡管將參數與變量分離開較為容易，但是求解分離出來的新函數的最值時比較麻煩，利用數學分析中的拉格朗日中值定理、洛必達法則和泰勒公式展開式可以很容易求解它的最值，因此，這三種方法可以快速提高解題效率，值得廣大師生借鑒.