淺談函數(shù)零點(diǎn)問題

【摘要】函數(shù)與方程是高考中新增的知識(shí)點(diǎn)，而函數(shù)零點(diǎn)是函數(shù)與方程中的重要知識(shí)之一.函數(shù)的零點(diǎn)若與函數(shù)圖象與性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)等知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起，可以綜合考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，研究函數(shù)零點(diǎn)問題的解決方法，提升我們數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等能力，培養(yǎng)分析問題，解決問題的能力.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)零點(diǎn);圖象與性質(zhì)

1求函數(shù)零點(diǎn)

例1已知二次函數(shù)y=g（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y=2x平行，且y=g（x）在x=-1處取得最小值m-1（m≠0）.設(shè)函數(shù)f（x）=g（x）x.

（1）若曲線y=f（x）上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q（0，2）的距離的最小值為2，求m的值;

（2）k（k∈R）如何取值時(shí)，函數(shù)y=f（x）-kx存在零點(diǎn)，并求出零點(diǎn).

分析（1）由導(dǎo)函數(shù)和兩直線平行關(guān)系等知識(shí)，可求出二次項(xiàng)系數(shù)，再利用二次函數(shù)的對(duì)稱性及最值等知識(shí)一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，即得函數(shù)y=g（x）的解析式，然后利用f（x）=g（x）x可得y=f（x）的解析式，利用兩點(diǎn)之間距離公式和基本不等式可以求出兩點(diǎn)P、Q距離的最小值，從而得到m的值;

（2）要研究函數(shù)y=f（x）-kx的零點(diǎn)，根據(jù)第（1）問可得函數(shù)y=f（x）-kx的解析式，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，可以把函數(shù)y=f（x）-kx存在零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程根的問題，利用分類討論的思想來解決.

解（1）設(shè)g（x）=ax2+bx+c（a≠0），

則g′（x）=2ax+b，

由g′（x）的圖象與直線y=2x平行得

2a=2，即a=1，

又y=g（x）在x=-1處取得最小值m-1（m≠0），

所以-b2=-1，

且g（-1）=a-b+c=m-1，

則b=2，c=m.

f（x）=g（x）x=x+mx+2.

設(shè)P（x0，y0），則

|PQ|2=x20+（y0-2）2=x20+x0+mx02

=2x20+m2x20+2≥22m2+2，

所以22m2+2=4，

解得m=±22.

（2）由（1）知，函數(shù)y=f（x）-kx存在零點(diǎn)，即方程（1-k）x+mx+2=0有實(shí)數(shù)根，

故（1-k）x2+2x+m=0有非零實(shí)數(shù)根.

當(dāng)k=1時(shí)，方程（1-k）x2+2x+m=0的解為x=-m2（m≠0），

則函數(shù)y=f（x）-kx有一個(gè)零點(diǎn)x=-m2;

當(dāng)k≠1時(shí)，若Δ=4-4m（1-k）gt;0，

則方程（1-k）x2+2x+m=0有兩解，

若mgt;0，則kgt;1-1m，

函數(shù)y=f（x）-kx有兩個(gè)零點(diǎn)

x1，2=-2±4-4m（1-k）2（1-k）

=1±1-m（1-k）k-1;

若mlt;0，klt;1-1m，

函數(shù)y=f（x）-kx有兩個(gè)零點(diǎn)

x1，2=-2±4-4m（1-k）2（1-k）

=1±1-m（1-k）k-1;

當(dāng)k≠1時(shí)，

若Δ=4-4m（1-k）=0，即k=1-1m，

則方程（1-k）x2+2x+m=0有一解，x=1k-1，函數(shù)y=f（x）-kx有一個(gè)零點(diǎn)x=1k-1.

2研究整數(shù)零點(diǎn)

例2設(shè)n∈N+，一元二次方程x2-4x+n=0有整數(shù)根的充要條件是n=.

分析本題中一元二次方程已知，可以直接利用求根公式求出根，然后用完全平方數(shù)、整除等進(jìn)行判斷計(jì)算.

解由題意知Δ=4（4-n）≥0，

又因?yàn)閚∈N+，

所以n=1，2，3，4，

而由求根公式得

x=4±16-4n2=2±4-n，

因?yàn)閤是整數(shù)，

即2±4-n為整數(shù)，

所以4-n為整數(shù)，

驗(yàn)證可知n=3，4符合題意;

反之，n=3，4時(shí)，可推出一元二次方程x2+4x+n=0有整數(shù)根，

所以一元二次方程x2+4x+n=0有整數(shù)根的充要條件是n=3或4.

3研究函數(shù)零點(diǎn)所在范圍

要研究函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間，常用如下兩種方法進(jìn)行處理，第一，利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，考查函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn);第二，把函數(shù)拆成兩個(gè)函數(shù)，從而利用兩個(gè)圖象交點(diǎn)來估計(jì)零點(diǎn)存在的范圍.

例3已知函數(shù)f（x）=logax+x-b（agt;0，且a≠1）.當(dāng)2lt;alt;3lt;blt;4時(shí)，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)x0∈（n，n+1），n∈N*，則n=.

分析函數(shù)f（x）=logax+x-b的零點(diǎn)是方程組y=g（x）=logax，y=h（x）=b-x公共解中x的值，

即為函數(shù)g（x）=logax與h（x）=b-x圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0.

解在平面直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)g（x）=logax與h（x）=b-x圖象，如圖1所示.

當(dāng)x=a時(shí)，g（a）=logaa=1，

h（a）=b-agt;1=g（a）;

當(dāng)x=3時(shí)，

g（3）=loga3lt;2，

且g（3）gt;1，

h（3）=b-3lt;1lt;g（3），

所以圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

x0∈（a，3），

即x0∈（2，3），

所以n=2.

例4已知f（x）=x3-6x2+9x-abc，alt;blt;c，且f（a）=f（b）=f（c）=0.現(xiàn)給出如下結(jié)論：

①f（0）f（1）gt;0;②f（0）f（1）lt;0;

③f（0）f（3）gt;0;④f（0）f（3）lt;0.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）

（A）①③.（B）①④.（C）②③.（D）②④.

分析本題研究三次函數(shù)的零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn).因?yàn)楹瘮?shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，所以極大值大于0，極小值小于0，可得a，b，c的取值范圍，從而得到f（0），f（1），f（3）的符號(hào).

解由f（x）=x3-6x2+9x-abc，得

f′（x）=3x2-12x+9

=3（x-1）（x-3）.

令f′（x）=0，則x=1或x=3，

當(dāng)xlt;1時(shí)，f′（x）gt;0;

當(dāng)1lt;xlt;3時(shí)，f′（x）lt;0;

當(dāng)xgt;3時(shí)，f′（x）gt;0，

所以x=1時(shí)，f（x）有極大值;當(dāng)x=3時(shí)，f（x）有極小值.

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，

所以f（1）gt;0，f（3）lt;0，

且alt;1lt;blt;3lt;c.

又因?yàn)閒（3）=27-54+27-abc，

所以abcgt;0，即agt;0，

因此f（0）lt;f（a）=0，

所以f（0）f（1）lt;0，f（0）f（3）gt;0.

故選（C）.

4研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)

例5求函數(shù)f（x）=2x|log05x|-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

分析本題中函數(shù)f（x）=2x|log05x|-1的圖象不便直接作出，而函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即方程2x|log05x|=1根的個(gè)數(shù)，圖2可以轉(zhuǎn)化為方程組y=12xy=|log05x|公共根的個(gè)數(shù)來研究，從而轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)y=12x與y=|log05x|圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù).作出函數(shù)y=12x與y=|log05x|圖象，如圖2所示，觀察發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)圖象共有2個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)f（x）=2x|log05x|-1有兩個(gè)零點(diǎn).

例6若函數(shù)y=f（x）在x=x0處取得極大值或極小值，則稱x0為函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn).已知a，b是實(shí)數(shù)，1和-1是函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx的兩個(gè)極值點(diǎn).

（1）求a和b的值;

（2）設(shè)函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)g′（x）=f（x）+2，求g（x）的極值點(diǎn);

（3）設(shè)h（x）=f[f（x）]-c，其中c∈[-2，2]，求函數(shù)y=h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

分析本題研究復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)，由條件在得到函數(shù)的解析式后，利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，解決第（1）問和第（2）問.要研究函數(shù)h（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，那么需要利用函數(shù)的定義，先討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性和x在對(duì)應(yīng)法則的作用下對(duì)應(yīng)的y值的情況，即研究不同的函數(shù)值y有幾個(gè)自變量x和其對(duì)應(yīng)，然后利用整體思想、數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)f（x）的圖象與性質(zhì)研究函數(shù)h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解（1）由題設(shè)知f′（x）=3x2+2ax+b，

又f′（-1）=0，f′（1）=0，

所以a=0，b=-3.

（2）略.

（3）令f（x）=t，則h（x）=f（t）-c.

先討論關(guān)于x的方程f（x）=d根的個(gè)數(shù).

f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）.

令f′（x）=3（x+1）（x-1）gt;0，

解得xlt;-1，或xgt;1，

所以函數(shù)f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上單調(diào)遞增.

令f′（x）=3（x+1）（x-1）lt;0，

解得-1lt;xlt;1，

所以函數(shù)f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減.

所以函數(shù)f（x）在x=-1時(shí)有極大值f（-1）=2，

在x=1時(shí)有極小值f（1）=-2，

且f（-2）=-2，f（2）=2.

根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)作出函數(shù)f（x）的圖象，如圖3所示.

當(dāng)|d|=2時(shí)，由圖3知，方程f（x）=d有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且兩個(gè)實(shí)數(shù)根為-1，2或-2，1;

當(dāng)|d|gt;2時(shí)，方程f（x）=d有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根x0，且x0lt;-2或x0gt;2;

當(dāng)|d|lt;2時(shí)，方程f（x）=d有三個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，

且x1，x2，x3∈（-2，-1）∪（-1，1）∪（1，2）.

下面再來考慮h（x）的零點(diǎn).

當(dāng)|c|=2時(shí)，f（t）=c有兩個(gè)實(shí)數(shù)根t1，t2，且滿足|t1|=1，|t2|=2，

而f（x）=t1有三個(gè)根，f（x）=t2有兩個(gè)根，

所以函數(shù)y=h（x）共有5個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)|c|lt;2時(shí)，f（t）=c有三個(gè)實(shí)數(shù)根t3，t4，t5，且t3，t4，t5∈（-2，-1）∪（-1，1）∪（1，2），而f（x）=t3，f（x）=t4，f（x）=t5都有三個(gè)實(shí)數(shù)根，

所以函數(shù)y=h（x）共有9個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)|c|=2時(shí)，函數(shù)y=h（x）有5個(gè)零點(diǎn);當(dāng)|c|lt;2時(shí)，函數(shù)y=h（x）有9個(gè)零點(diǎn).

通過導(dǎo)數(shù)這一研究函數(shù)的重要工具，結(jié)合函數(shù)圖象，在充分研究函數(shù)的性質(zhì)、理解掌握函數(shù)的性質(zhì)的基礎(chǔ)上去認(rèn)識(shí)、研究零點(diǎn)問題，注意函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在分析問題解決問題過程中的應(yīng)用，只有這樣，零點(diǎn)問題才能得心應(yīng)手.