高中數學解題中正難則反思想的應用

摘要 正難則反屬于解題學中一個十分常用的思維方法，就是當從問題的正面思考遇到阻力難于下手時，可通過逆向思維從問題的反面出發，逆向地應用知識去解決問題.在高中數學解題教學中，當學生拿到一個題目仔細審題后，發現順推有困難就要嘗試進行逆推，借助逆向思維讓他們茅塞頓開，獲得意想不到的效果，使其應用正難則反思想順利解答數學題目.

關鍵詞 正難則反;數學解題;集合問題

1 應用正難則反思想，順利解答集合問題

集合屬于高中數學知識體系中的基礎部分，該類問題主要考察學生的邏輯思維能力，他們應對需計算的集合模型具有清晰的思路.但是部分集合問題難度相對較大，如果從正面求解顯得較為復雜，思路不夠清晰明了，要考慮到很多因素，極易出現錯誤，這時高中數學教師可提示學生應用正難則反思想，結合補集反演出要求的結論，幫助他們簡化求解過程.

例1 已知集合A={x丨x2-4mx+2m+6=0}，集合B={x丨x<0}，如果A∩B≠?是假命題，求m的取值范圍.

解析：根據題設得知集合A中至少存在一個正根，因為存在x和m兩個未知數，假如細分比較繁瑣，這時可應用正則反推思想，通過原命題的補集來求解，令A∩B=?，則集合A中只有無根與有兩個非負根兩種情況，這樣分析起來比較容易.解：當集合A無根時，△<0，代入集合A中的一元二次函數能夠得到—1—1，采用補集思想可知m≤—1.

如此，學生應用正難則反思想分析題目內容，結合原命題的補集來求解，只需分兩種情況討論即可，不僅解題過程清晰明了，處理起來還較為容易，使其順利解答這一結合問題.

2 利用正難則反思想，準確解決函數問題

函數知識都是高中數學教學中的重點內容，在解題訓練中，反函數法是正難則反思想的主要表現形式，如果把原函數歸為“正”，則反函數就是“反”.在解答部分函數值域問題時，假如原函數存在反函數，且容易求出，高中數學教師就可指導學生利用正難則反思想先求出原函數的反函數及定義域，再讓他們結合反函數的定義域是原函數的值域準確解決問題.

例2 求函數y= 的值域.

解 如果學生直接求解難度較大，教師可提示他們利用正難則反思想，先證明原函數存在反函數，再結合反函數的定義域來求原函數的值域.具體解答過程如下：為證明y= 存在反函數，先設x1

上述案例，學生需意識到函數與其反函數的定義域、值域有著互逆關系，利用反函數的定義域就能夠準確求出原函數的值域，同樣也可以利用反函數的值域來求原函數的定義域.

3 采用正難則反思想，處理對立事件問題

在判斷事件時，假如事件A成立時存在多種情況，很難分析和計算，就能夠嘗試運用其對立事件來判斷，特別是碰到無限、唯一、至少、至多等詞語時，要聯想到正難則反思想在對立事件中的應用.在處理部分數學題目時，假如正向判斷存在多種可能時，高中數學教師可指引學生考慮對立事件的情況，使其轉變思維視角，讓他們準確、快速的求解問題.

例3 已知事件A是關于x的方程x2+4ax—4a+3=0，x2+（a—1）x+a2=0，x2+2ax—2a=0，其中至少有一個方程存在實數根，如果事件A成立，那么實數a的取值范圍是什么？解析：題目中的原命題是至少有一個方程存在實數根，基于原命題視角來看，這三個方程中至少一個方程存在實數根的情況有多種可能性，很難做到逐個分析，不過可以使用正難則反思想，從對立事件來考慮，即為上述方程均沒有實數根，據此求a的取值范圍。

解 原事件A的對立事件是這三個方程均沒有實數根，采用判別式法判斷方程的實數根，則△1=16a2-4（-4a+3）<0，△2=（a-1）2-4a2<0，△3=4a2-4（-2a）<0，分別求解后得到a對應的取值范圍是— 、—2

對于上述案例，學生采用正難則反思想從已知事件的對立事件角度出發，不過當他們得出最終結論后，要注意把原事件和對立事件進行轉換，確保解題的完整性，以免前功盡棄.

4 運用正難則反思想，基于反證視角解題

從正難則反思想的本質來看，當從正面思考難度較大時，或者遇到多種情況需要討論時，可基于反證視角切入突破思維瓶頸，找到準確的解題思路.在高中數學解題教學中，學生運用正難則反思想時，教師可引領他們基于反證視角展開思考和分析，其邏輯是問題的結論和該結論的反面存在有且只有一個是成立的，即為P和非P之間必定一個為真、一個為假.

例4 在正實數數列{an}中，a1=1，a2=5，且有數列{an2}是等差數列，請證明數列{an}中存在無窮多項是無理數.

解析：本題要求證的是存在無窮多項是無理數，假如從正向求證，很難羅列出所有的無理數，即使能夠描述無理數，也要用到大量的文字，這違背數學解題的初衷，不過可以基于反證法的視角切入，推斷出存在矛盾就能求證題設.

解 假設數列{an}的項都是有理數，由于{an2}是等差數列，能夠得到關系式an2=1+24（n—1），據此推導出an= ，因為數列{an}的項都是有理數，可以得出n—1=242k—1，即為能夠把an化簡成 ，且必有an是正整數，an>24k，必有an—24k>1，這與（an—24k）（an+24k）=1相矛盾，即為假設數列{an}的項都是有理數不成立，綜合起來說數列{an}中存在無窮多項是無理數.

針對上述案例，教師指導學生應用正難則反思想，結合反證法來解題，使其從要證明的結論反向視角切入，通過推理和求證發現與已知條件存在矛盾，從而讓他們得出正確答案.

在高中數學解題訓練中，正難則反是一種十分重要且有效的思想方法，教師應給予格外關注，讓學生也重視起來，根據具體題目靈活、恰當的應用正難則反思想分析和解題，使其不斷突破思維定勢、開闊思路、轉變角度，促使他們真正學習正難則反、逆向推理和出奇制勝，最終不斷提高自身的解題水平.