一個三角不等式的拓展

【摘要】本文介紹一個三角不等式及其拓展.

【關鍵詞】三角不等式;引理;拓展

在眾多的三角不等式中，有一個奇特的三角不等式：

332≥cosA2+cosB2+cosC2≥32M，

其中M=cosB-C2+cosC-A2+cosA-B2.

拓展在△ABC中，設正數x，y，z滿足x2+y2+z2=3，且xyzgt;32，

記m=5+3（xyz）2∈[8，9），

n=yzcosB-C2+zxcosC-A2+

xycosA-B2，

則3（m+1）2≥34（m-3）+n

≥xcosA2+ycosB2+zcosC2≥43mn.

顯然，當x=y=z=1時，m=8，n=M.

引理p，q，r為任意實數，α，β，γ∈（0，π），且α+β+γ=π，則

2（qrcosα+rpcosβ+pqcosγ）≤p2+q2+r2，

當且僅當pcscα=qcscβ=rcscγ時等號成立.

證明令∠NOR=π-α，

∠ROM=π-β，∠MON=π-γ，

且|OM|=p，|ON|=q，|OR|=r，

則（OM+ON+OR）2≥0，

p2+q2+r2+

2（ON·OR+OR·OM+OM·ON）≥0，

p2+q2+r2+

2[qrcos（π-α）+rpcos（π-β）+pqcos（π-γ）]≥0，

2（qrcosα+rpcosβ+pqcosγ）≤p2+q2+r2，

當且僅當-OM=MO=ON+OR時等號成立，

應用平行四邊形法則和正弦定理，易知

當且僅當

psin（π-α）=qsin（π-β）=rsin（π-γ），

即pcscα=qcscβ=rcscγ

等式成立.

令（p，q，r）=（x，y，z），

且（α，β，γ）=π-A2，π-B2，π-C2，

由α+β+γ=π，得

yzcosπ-A2+zxcosπ-B2+xycosπ-C2

≤12（x2+y2+z2）=32，

即yzsinA2+zxsinB2+xysinC2≤32，

當且僅當

sinπ-A2x=sinπ-B2y=sinπ-C2z，

即xsecA2=ysecB2=zsecC2，

且x2+y2+z2=3時等號成立.

令（α，β，γ）=（A，B，C），得

2（qrcosA+rpcosB+pqcosC）≤p2+q2+r2，

2qr2cos2A2-1+rp2cos2B2-1+

pq2cos2C2-1≤p2+q2+r2，

qrcos2A2+rpcos2B2+pqcos2C2

≤14（p+q+r）2.

再令（qr，rp，pq）=（x2，y2，z2），得

（p，q，r）=yzx，zxy，xyz，

于是xcosA22+ycosB22+zcosC22

≤14yzx+zxy+xyz2

=（y2z2+z2x2+x2y2）2（2xyz）2

≤13（x2+y2+z2）22（2xyz）2

=13×322（2xyz）2，

所以xcosA22+ycosB22+zcosC22

≤32xyz2，

當且僅當x2=y2=z2=1，且

psinA=qsinB=rsinC，

即x2sinA=y2sinB=z2sinC時等號成立，

所以x=y=z=1時，△ABC為正三角形.

記Tx=xcosA2+ycosB2+zcosC2，

則T2x=xcosA2+ycosB2+zcosC22

=xcosA22+ycosB22+zcosC22+

2yzcosB2cosC2+zxcosC2cosA2+xycosA2cosB2，

注意到，2cosB2cosC2=cosB+C2+cosB-C2

=sinA2+cosB-C2，

得T2x

≤32xyz2+yzsinA2+zxsinB2+xysinC2+

yzcosB-C2+zxcosC-A2+xycosA-B2

≤32xyz2+32+（yz+zx+xy）

=34（m-3）+（yz+zx+xy）

≤34（m-3）+x2+y2+z2

=34（m-3）+3

=34（m+1），

所以3（m+1）2≥34（m-3）+n≥Tx，

當且僅當x=y=z=1時等號成立.

令（qr，rp，pq）=（x，y，z），得

（p，q，r）=yzx，zxy，xyz，

且xcosA22+ycosB22+zcosC22

≤14yzx+zxy+xyz2

=（yz+zx+xy）24xyz

≤（x2+y2+z2）4xyz，

所以xcosA22+ycosB22+zcosC22

≤94xyz，

應用柯西不等式有

T2x=xcosA2+ycosB2+zcosC22

≤（x+y+z）·

xcos2A2+ycos2B2+zcos2C2

≤3（x2+y2+z2）·94xyz

=274xyz，

即Tx=xcosA2+ycos2B2+zcos2C2

≤323xyz，

當且僅當x=y=z=1時等號成立.

記Px=xsinA2+ysin2B2+zsin2C2.

令（α，β，γ）=π-A2，π-B2，π-C2，

得qrcosπ-A2+rpπ-B2+pqcosπ-C2

≤12（p2+q2+r2）.

令（qr，rp，pq）=（x，y，z），得

Px=xsinA2+ysin2B2+zsin2C2

≤12yzx+zxy+xyz

=y2z2+z2x2+x2y22xyz

≤（x2+y2+z2）26xyz

=32xyz，

即Px=xsinA2+ysin2B2+zsin2C2≤32xyz，

當且僅當x=y=z=1時，即△ABC為正三角形時等號成立.

由sin2θ+cos2θ=1，得

T2x+P2x

=xcosA2+ycos2B2+zcos2C22+

xsinA2+ysin2B2+zsin2C22

=x2+y2+z2+

2yzcosB2cosC2+sinB2sinC2+

2zxcosC2cosA2+sinC2sinA2+

2xycosA2cosB2+sinA2sinB2

=3+

2yzcosB-C2+zxcosC-A2+xycosA-B2

=3+2n，

得2n=T2x+P2x-3

≤T2x+32xyz2-3.

設λgt;0，tgt;0為待定系數，

則有Tx-332（Tx+λ）≤0，

即T2x+λ-332Tx-332λ≤0.

設t滿足不等式

T2x+3322-3≤tTx，

即T2x-tTx+32xyz2-3≤0，

比較對應的系數得

-t=λ-332，-332λ=32xyz2-3，

解得λ=23-32（xyz）2gt;0，t=1235+3（xyz）2gt;0，

所以2n≤T2x+32xyz2-3≤tTx，

即Tx≥2tn=43mn，

當且僅當x=y=z=1，且△ABC為正三角形時等號成立.