例談整體性思維在高三數學復習課中的培育

【摘 要】 整體性思維視域下的高三復習課，是對數學知識、思想方法進行梳理歸納、優化重構和理解升華，從舊知中尋找新的知識生長點，通過新舊知識的相互關聯作用，實現對知識的整體建構，體現教與學的整體性.

【關鍵詞】整體性思維;高三復習課;素養培育

整體性思維是指在研究問題時，利用全方位的研究視角去思考知識整體及局部的內在結構.章建躍博士指出，數學課堂教學要“注重數學的整體性”，“強調知識的邏輯連貫性”，加強對“數學學習理論和思考方法”的指導.在課堂教學中，我們不僅要關注知識內容和知識結構的完整性，還要重視教學過程和教學方法的完整性.教師要引導同學們發現知識的內在聯系，深入分析共性特征，歸納抽象出新的知識體系.還可以從整體角度思考，著眼于問題的秩序化，形成完整的知識體系，避免出現“只見樹木，不見森林”的狀況.本文以高三復習課《平面向量的數量積》為例，談談筆者的一些認識與思考.

1" 環節1 溫故知新

引導學生共同回顧數量積的定義、運算律及其相關結論：

2.向量數量積滿足哪些運算律？

3.向量數量積有哪些相關結論？請對照填寫下表：

已知非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2）

結論 幾何表示 坐標表示

模 |a|=a·a

|a|=x21+y21

夾角 cos θ=a·b|a||b|

cos θ=x1x2+y1y2x21+y21·x22+y22

a⊥b的充要條件 a·b=0 x1x2+y1y2=0

|a·b|與|a||b|的關系 |a·b|≤|a||b| |x1x2+y1y2|≤x21+y21x22+y22

2" 環節2" 小試身手

引導學生完成下列基礎自測題：

2.設向量a，b滿足|a|=|b|=1，a·b=-12，則|a+2b|=（ ）

（A.2.（B）3.（C）5.（D）7.

3.在正方形ABCD中，E，F分別是AB，BC的中點，求證：AF⊥DE.

3" 環節3新課探究

教師出示例1，引導學生獨立思考，小組交流探討：

例1在Rt?ABC中，已知AC=4， ， 則 =________.

法1（定義法） .

法二（數量積的幾何意義）

因為 為 在 上的投影，所以 .

法3（從特殊到一般）令BC=5， AB=3， 此時 ，滿足題意.如圖建系，則A（0，0），B（0，3），C（4，0）" .

設計意圖例1從同學們已掌握的知識出發，深度拓展已有知識，挖掘內在邏輯關系，通過不同視角轉換，幫助同學們理解平面向量數與形的雙重特征，實現形數轉化，發展整體性思維.

變式1在平行四邊形ABCD中， ，且AP=3，則 =________.

法1（數量積的幾何意義）過C作CH^AP交AP延長線于點H，則 為 在 上的投影， 所以 .

法2（從一般到特殊）將平行四邊形特殊化為正方形，此時點P與點O重合，從而 為 在 上的投影，根據數量積的幾何意義可得： .

變式2在矩形ABCD中，AB= ，BC=2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若 ，則 的值是________.

解如圖建系，B（ ，0），E（ ，1），D（0，2），C（ ，2）.設F（x，2）（0≤x≤ ），由 得x=1，所以F（1，2），故 =（2，1）·（1-2，2）=2.

設計意圖變式1側重從形的角度，利用向量數量積的幾何意義解題，變式2側重從數的角度，通過建系設點解方程得到結果，兩道變式從不同側面體現了向量形數轉化的特征，體現數學知識的邏輯連貫性.

變式3已知 是邊長為1的等邊三角形，點 ， 分別是邊 ， 的中點，連接 并延長到點 ，使得 ，則 的值為（" " ）

（A） （B） （C） （D）

法一（基底法）

.

法2（坐標法）如圖建系，則 .

.

法3（數量積的幾何意義）連接 ，過點 作 ，垂足為" .

設計意圖數學素養的真正核心是數學思維的發展，變式3從整體視角出發，遵循數學學習的邏輯連貫性，使同學們在掌握基底法、坐標法等基本方法的同時，更深地體會直觀想象在解題中的重要作用.

變式4在 中， 是 的中點， ， 是 上的兩個三等分點， ，則 的值是________.

法1（坐標法）：如圖建系，設點 則 ， ，

.

解得：

法2（坐標法2）將原題中的一般三角形模型特殊化為等腰三角形，此時采用坐標法可簡化計算量：

在等腰 中，設點 則 ，

，解得：

.

法3（基底法）

.

聯立解得： .

.

設計意圖變式4采用不同的視角，引領通法的實施.并不斷優化解法，把握知識的發展脈絡，構建完善的知識體系.

變式5在平面四邊形 中，" " 若點 為邊 上的動點，則 的最小值為（ ）

A. B." "C. D.

法1（坐標法）如圖所示，以 為原點，以 所在直線分別為 軸、 軸，過點 作 軸，過點 作 軸，

設 則

所以當 時， 取得最小值 故選A.

法2（基底法）類似坐標法，注意到已知條件： 可得： 從而進行如下轉化：

所以當 時， 取得最小值

設計意圖強化通性通法，滲透數形結合思想、函數思想、化歸與轉化思想，培養學生的直觀想象、邏輯推理與數學運算等核心素養.

高三數學復習課應從小處入手、大處著眼，在整體思維的視域下對知識進行優化重構、理解升華，從舊知識中尋找新的知識生長點，通過新舊知識的相互關聯作用，分層次漸進式推進，最終形成一個多層次、強關聯的有序整體.本節課遵循高三復習課“低起點、高立意”的要求，循序漸進舉一反三，對平面向量數量積相關知識、思想方法進行梳理歸納和拓展延伸，實現對知識的整體建構，體現教與學的整體性.在課堂教學中，教師應多層次、多角度挖掘知識內涵，引導學生發現數學問題的本質，善于返璞歸真、以簡馭繁，發展理性思維，養成科學精神，使數學學習成為同學們獲得知識、形成方法、感悟價值、提升素養的豐富歷程.

（本文系福建省教育科學“十四五”規劃2021年度教改專項課題 《核心素養視域下高考數學命題研究》（課題編號：Fjjgzx21-006）的階段性研究成果）

參考文獻

[1] 朱先東，潘云超. 例談數學整體性教學設計的策略[J].中國數學教育，2012（7-8）：16-18.